淺談如何利用線段的垂直平分線解題
2014-03-03 04:59:12張俊芝
教育界·上旬 2014年2期
張俊芝
【摘 要】線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，反之，到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的這兩個特征在處理有關線段或角的問題運用十分廣泛，本文特舉例說明。
【關鍵詞】線段垂直 等腰三角形 距離
例1：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB邊的垂直平分線MN交AC于點D，求△BCD的周長。
分析：要求△BCD的周長，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分線，可知DA=DB，于是問題獲解。
解：因為MN是垂直平分線，點D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+AC=13。
說明：這里通過線段的垂直平分線使問題整體求解，同學們不妨從中體會求解的技巧。
例2：如圖 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分線DE交AB于點D，垂足為E，試說明線段BD=CD=AC理由。
分析：要說明線段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由條件可計算出∠DCB=∠B= 36°，進而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知識即可說明。
解：因為AB=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。
又因為BC的垂直平分線DE交AB于點D，所以BD=CD，從而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。
說明：本題的說明過程，實際上就是運用等腰三角形的知識和三角形內角和的知識求出有關角的大小。
例 3：如圖 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F。求∠FAC的大小。
分析：避開∠B= 45°，我們可以設法利用線段的垂直平分線和角平分線、三角形的外角知識來說明∠FAC=∠B，這樣即可求出∠FAC的大小。
解：EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。
又因為AD是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，
因為∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。
說明：綜合運用所學的知識是處理本題的關鍵，所以同學們在求解時一定要靈活運用條件，認真觀察分析圖形的特征，尋找求解的最佳切入點。
例4：如圖 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點，試說明線段BE與DE相等的理由。
分析：要說明線段BE與DE相等，只要能說明點E在以點B、D為端點的線段的垂直平分線上，于是，連接BD，有條件可得AC是線段BD的垂直平分線。
解：連接BD，因為AB=AD，BC=DC，所以AC是線段BD的垂直平分線。因為點E在AC上，所以BE=DE。
說明：線段垂直平分線的這兩個特征被廣泛運用于說明線段的相等關系上，學習時一定要注意深刻領會，并要靈活運用。
例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，求∠B的大小。
分析：本題沒有供圖，所以按照題意我們可畫出如圖5和如圖6所示的兩種情況，所以本題應分兩種情況討論。
解：分兩種情況：（1）如圖5，當交點在腰AC上時，△ABC是銳角三角形，則∠ADE=50°。
此時可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如圖6，當交點在腰CA的延長線上時，△ABC是鈍角三角形，∠ADE=50°，此時，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故這個等腰三角形的底角為70°或20°。
說明：圖6所示的情況最容易漏掉，求解時一定要認真分析題意，畫出可能所畫的圖形，才能正確解題。endprint
【摘 要】線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，反之，到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的這兩個特征在處理有關線段或角的問題運用十分廣泛，本文特舉例說明。
【關鍵詞】線段垂直 等腰三角形 距離
例1：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB邊的垂直平分線MN交AC于點D，求△BCD的周長。
分析：要求△BCD的周長，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分線，可知DA=DB，于是問題獲解。
解：因為MN是垂直平分線，點D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+AC=13。
說明：這里通過線段的垂直平分線使問題整體求解，同學們不妨從中體會求解的技巧。
例2：如圖 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分線DE交AB于點D，垂足為E，試說明線段BD=CD=AC理由。
分析：要說明線段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由條件可計算出∠DCB=∠B= 36°，進而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知識即可說明。
解：因為AB=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。
又因為BC的垂直平分線DE交AB于點D，所以BD=CD，從而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。
說明：本題的說明過程，實際上就是運用等腰三角形的知識和三角形內角和的知識求出有關角的大小。
例 3：如圖 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F。求∠FAC的大小。
分析：避開∠B= 45°，我們可以設法利用線段的垂直平分線和角平分線、三角形的外角知識來說明∠FAC=∠B，這樣即可求出∠FAC的大小。
解：EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。
又因為AD是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，
因為∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。
說明：綜合運用所學的知識是處理本題的關鍵，所以同學們在求解時一定要靈活運用條件，認真觀察分析圖形的特征，尋找求解的最佳切入點。
例4：如圖 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點，試說明線段BE與DE相等的理由。
分析：要說明線段BE與DE相等，只要能說明點E在以點B、D為端點的線段的垂直平分線上，于是，連接BD，有條件可得AC是線段BD的垂直平分線。
解：連接BD，因為AB=AD，BC=DC，所以AC是線段BD的垂直平分線。因為點E在AC上，所以BE=DE。
說明：線段垂直平分線的這兩個特征被廣泛運用于說明線段的相等關系上，學習時一定要注意深刻領會，并要靈活運用。
例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，求∠B的大小。
分析：本題沒有供圖，所以按照題意我們可畫出如圖5和如圖6所示的兩種情況，所以本題應分兩種情況討論。
解：分兩種情況：（1）如圖5，當交點在腰AC上時，△ABC是銳角三角形，則∠ADE=50°。
此時可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如圖6，當交點在腰CA的延長線上時，△ABC是鈍角三角形，∠ADE=50°，此時，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故這個等腰三角形的底角為70°或20°。
說明：圖6所示的情況最容易漏掉，求解時一定要認真分析題意，畫出可能所畫的圖形，才能正確解題。endprint
【摘 要】線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，反之，到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的這兩個特征在處理有關線段或角的問題運用十分廣泛，本文特舉例說明。
【關鍵詞】線段垂直 等腰三角形 距離
例1：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB邊的垂直平分線MN交AC于點D，求△BCD的周長。
分析：要求△BCD的周長，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分線，可知DA=DB，于是問題獲解。
解：因為MN是垂直平分線，點D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+AC=13。
說明：這里通過線段的垂直平分線使問題整體求解，同學們不妨從中體會求解的技巧。
例2：如圖 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分線DE交AB于點D，垂足為E，試說明線段BD=CD=AC理由。
分析：要說明線段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由條件可計算出∠DCB=∠B= 36°，進而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知識即可說明。
解：因為AB=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。
又因為BC的垂直平分線DE交AB于點D，所以BD=CD，從而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。
說明：本題的說明過程，實際上就是運用等腰三角形的知識和三角形內角和的知識求出有關角的大小。
例 3：如圖 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F。求∠FAC的大小。
分析：避開∠B= 45°，我們可以設法利用線段的垂直平分線和角平分線、三角形的外角知識來說明∠FAC=∠B，這樣即可求出∠FAC的大小。
解：EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。
又因為AD是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，
因為∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。
說明：綜合運用所學的知識是處理本題的關鍵，所以同學們在求解時一定要靈活運用條件，認真觀察分析圖形的特征，尋找求解的最佳切入點。
例4：如圖 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點，試說明線段BE與DE相等的理由。
分析：要說明線段BE與DE相等，只要能說明點E在以點B、D為端點的線段的垂直平分線上，于是，連接BD，有條件可得AC是線段BD的垂直平分線。
解：連接BD，因為AB=AD，BC=DC，所以AC是線段BD的垂直平分線。因為點E在AC上，所以BE=DE。
說明：線段垂直平分線的這兩個特征被廣泛運用于說明線段的相等關系上，學習時一定要注意深刻領會，并要靈活運用。
例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，求∠B的大小。
分析：本題沒有供圖，所以按照題意我們可畫出如圖5和如圖6所示的兩種情況，所以本題應分兩種情況討論。
解：分兩種情況：（1）如圖5，當交點在腰AC上時，△ABC是銳角三角形，則∠ADE=50°。
此時可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如圖6，當交點在腰CA的延長線上時，△ABC是鈍角三角形，∠ADE=50°，此時，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故這個等腰三角形的底角為70°或20°。
說明：圖6所示的情況最容易漏掉，求解時一定要認真分析題意，畫出可能所畫的圖形，才能正確解題。endprint
