高等數學思想方法在高職工科專業技能中的應用探索

張學茂，李濱恩，王大增

（泰州學院 機電工程學院，江蘇 泰州 225300）

高職院校是為社會培養所需的技術型應用人才，要求具有寬廣的技術理論基礎，同時要求掌握一定的技能。圍繞這一培養目標，許多專家學者從教材建設、教學內容、師資隊伍建設、學習模塊等方面給出了不少真知灼見[1-4]。從這些文獻中可看出，高等數學等基礎課程對培養學生專業技能的功效研究尚處于初始階段。專業技能是指掌握應用專業技術的能力。要掌握專業技能關鍵在于對相關專業技能的認知、理解，要知道為什么這樣做[5]。本課題組通過大量的實踐，充分意識到高等數學思想方法在專業技能實踐中有著重要的應用，它能培養學生的抽象概括能力、邏輯推理能力、分析問題與解決問題的能力，為學生認知與理解相關專業技能的本質屬性提供了必要的理論與思考決策。數學思想方法是指對數學知識、方法、規律的本質認識，并應用于解決實際問題的策略和程序[4]。體現了數學中奠基性和總結性思維成果。高等數學作為一門重要的基礎課程，不僅體現在工具性，更應體現其思想方法對相應專業技能的引導。極限思想、微積分思想、矩陣思想、函數方程思想、概率統計思想等數學思想方法在高職工科專業技能中均有著廣泛的應用，為學生的專業技能實踐提供有效的活動策略。

一、應用極限思想探索終極目標

極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想方法。表示某個無限的變化過程的終極狀態，它思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規律的應用。借助極限思想，人們可以從有限認識無限，從“不變”認識“變”，從直線形認識曲線形，從量變認識質變，從近似認識精確。

例1（投資問題）：國家向某企業投資200萬元，這家企業將投資作為抵押品同銀行貸款，得到相當于抵押品的90%的貸款，該企業將這筆貸款再次進行投資，并又將投資作為抵押向銀行貸款，得到相當于抵押品90%，企業又將新貸款進行再投資，如此反復擴大再投資，問實際效果相當于國家投資多少萬元所產生的直接效果？

分析：企業的投資是一個無限變化的過程，而結果是要顯示顯示其終極狀態，故將該企業每次投資額依次排隊，形成無窮等比數列 200, 200× 90%,…200 × 90%n-1…

設Tn為第n次前投資總額，T表示所有的總投資額，

由分析易知：當n→∞時Tn→T

例 2：（電路信號）求正弦信號 x (t )= Asin(? t)的均值μx，方差和均方差，說明他們間的關系并驗證。

分析：電路信號問題體現了其過程變化的無限性，而主要研究的是其最終的狀態。因此應用極限思想，構建起相應的對應關系，探求出相應的頻譜函數，進而分析出信號的頻域。

解：由極限與連續函數的性質可知，當周期T趨于無窮時，周期信號x(t)等價于瞬態信號。

極限思想方法本質上是一種主觀意識不斷尋求客觀突破的思維過程，融分析、邏輯推理、綜合、拆解重組于一體，是一種層次較高的綜合技能。數控專業中車床刀口的切入點、會計學中的投資與管理等技能中都要運用極限的思想方法。因此對于許多專業技能中有關過程不斷變化而要探求其終極目標的問題，均可通過求相應關系（式）的極限，使一些抽象的復雜問題具體化、簡單化，可達到事半功倍之效果。

二、應用微積分思想打造微元變量

微積分思想方法的是利用“微元”化刻畫一個變量對另一個變量的變化快慢速度，為求出某一時刻的量，用局部“以勻代非勻”求得這個量的近似值，然后再通過取極限的方法實現從近似到精確的過渡。是為了解決客觀實際中諸如“變與不變”、“勻與非勻”、“直與曲”等問題的過程中產生的思想方法[6]，其本質是局部微元化、線性化的思想[7]。

例 3（液體壓力問題）設一個水閘門呈等腰三角形，長為3m的上邊平行于水面，且距水面4m，高為2m，求閘門一側抽受到的水的壓力。

分析：閘門所受的壓力因水深不同而顯示不同的壓力，具體到每一細微的小分割，其所受的壓力可求出，再把各細微分割的壓力相加，可得到閘門所受壓力的近似值，這就是微積分中的微元思想。

例4（流體混合問題）一容器中盛有鹽水100升，含鹽50克。現將濃度為2g/l的鹽水以3l/min的速度注入容器中，假設流入的鹽水與原有的鹽水因攪拌而迅速為均勻的混合物，同時此混合物又以2l/min的速度流出，求60min后容器中混合物的含鹽量。

分析：若設x=x(t)表示含鹽量隨時間變化的函數。則：鹽流入的速度為 3l /min× 2= 6 g/min ，鹽水的濃度為鹽流出的速度從而容器含鹽的變化速度等于

其流入速度與流出速度之差。

解：設設x=x(t)表示含鹽量隨時間變化的函數。由題意得：時， x=261.4 g 。

微積分思想，是辯證法與常量數學交叉且用形式邏輯表達的一種綜合思想方法[8]。在電子技術、船舶制造等專業技能中，總是就用微元的思想，進行“標準化”估計，再加以精確。應用微元化、局部化的思想方法有利于分析客觀事物變化的過程，從而探求出相應的變化規律和結果。

三、應用矩陣思想形成決策思維

矩陣思想是指通過對原始感性材料進行矩陣般的分析與規整，形成全面、系統、嚴謹、專業并具有很強邏輯和關聯性的理性思想，從而有助于正確思考、研究、決策等高層次思維形成的思想方法。電子電工、網絡節點等專業技能中，因信息量大、過程復雜，采用矩陣的思想方法，可探索出其蘊含的相應的規律，從而易于問題的解決。

例5（網絡中最短問題）如圖求所有節點之間的最短路

分析：這是計算機網絡中最常見的問題，因節點較多，為使問題計算與推理較簡易直觀，可利用矩陣思想方法，按一定的迭代規律來探索出最短路問題。

解：記最短路長短陣為u，最短路短矩陣為p，按節點1-2-3-4的順序存放信息。

初始值為：

經過第4次迭代后

最后得到的最短路路長可直接由U(5)得到，根據對應的P(5)得到最后短路為

終點 1 2 3 4 1（1，2） （1，3） （1，3）（3，4）起點2 （2，1） （2，3） （2，3）（3，4）3 （3，4）（4，2）（2，1）（4，2）（3，4） （3，4）4 （4，2）（2，1） （4，2） （4，2）（2，3）

有學者認為“矩陣是運動的描述”，“矩陣是線性空間里躍遷的描述”。這表明矩陣是對萬物變化的精練抽象，提取其富有內涵的信息并將其融合。應用矩陣的理論與思想方法可以抓住問題的主要要件，通過對大量信息進行精煉與邏輯推理，形成有針對性的科學決策。矩陣思想及其理論現已廣泛地應用于現代科技的各個領域, 在物理學、控制論、機器人理論、生物學、經濟學等學科有大量的應用。

四、應用函數方程思想構建等量關系

函數與方程思想就是用運動和變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，將問題轉化為方程或方程組問題。通過解方程（或方程組）或者運用方程的性質來分析、轉化問題，使問題得以解決。

例6（電路問題）如圖R-L-C電路中，先將開關K撥向A，使電容充電，當它達到穩定狀態后，再將開關撥向B，設撥向B的時間為t=0，求t＞0時電壓Uc(t)與電流強度i(t)。已知 E=20 v,R=4.8Ω,L=1.6H, C =0.5

分析：回路電壓定律是構建等量關系的核心，利用電荷、電流、電壓、時間等動態變量間的關系可構建方程組是解決問題的關鍵。

解：由回路電壓定律有： UL+UR+UC=0，即

從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。這在工科許多專業技能中都需構建相應的關系式，應用函數與方程思想，就能扣準問題的關鍵，輕松解決相應的問題。

五、應用概率統計思想實施預測控制

概率統計思想方法主要是通過隨機抽樣、對樣本進行科學統計、利用公理化建立數學模型，對可能的結果進行推測與檢驗的一種重要的數學思想。其核心理念是由“非決定論”通過對隨機現象的客觀分析，把握總體的內在規律，進行有效的預測與控制，從而形成科學決策。

例7（生產中的檢驗）某車間生產銅絲，生產一直較穩定，可認為其折斷力X服從正態分布，今從產品中隨機抽取10根檢查折斷力，得數據如下（單位：kg）；

578 572 570 568 572 570 572 570 596 584

是否可相信該車間生產的鋼絲折斷力的方差為64（取α =0.05）?

解 假設 H :δ2=82由樣本計算得=575.2，

0

因為 2070 ＜ χ2=10.65＜19.02

所以接受原假設 H0:δ2=82，可相信該車間生產的鋼絲折斷力的方差為64。

概率與統計思想還蘊含隨機思想、公理化思想、映射思想、建模思想、統計與推斷思想等。這些思想的共性都是通過相應的過程分析，對結果進行科學預測估計，并形成有效的控制和決策，這些思想方法在今后的生產管理、經濟分析等方面均有著較廣泛的應用。

思想方法的掌握與應用將會使學生終身受益。這些數學思想的實質，只有與相應的專業技能相結合，才能從更高的層次上把握它們、運用它們。

[1] 王星. 獨立學院加強高等數學與專業課聯系的探索與實踐[J].中國科技投資，2013，（20）.

[2] 陳曉兵. 高職土建類專業高等數學極限教學的實踐[J]. 職業教育研究，2011，（9）.

[3] 黃裕建. 高等數學在高職機電類專業中的應用分析——以機電一體化技術專業為例[J]. 重慶科技學院學報(社會科學版)，2011，（21）.

[4] Partee.B.H.Matham atical methods in Lingnstics[M]. Kluwer A cademic Publishers.2010.

[5] 林華. 高職高專數學教學學生專業技能培養研究[J]. 職業教育研究，2012，（12）.

[6] 譚偉明. 高等數學中幾個重要概念所蘊涵的數學思想方法分析[J]. 廣西高教研究，2001，（6）.

[7] 傅葦. 極限、導數、定積分概念所蘊涵的數學思想方法剖析[J].重慶科技學院學報(自然科學版)，2012，（3）.

[8] 郭鵬. 微積分思想方法研究[J]. 雞西大學學報，2004，（6）.