擴展孔徑的電磁矢量多入多出雷達目標定位算法

樊勁宇 蘇衛民 顧 紅 王 釗

（南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇 南京210094）

引 言

源于無線通信多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）技術的雙基地MIMO雷達最近受到了廣泛關注.其最早是由Parker.P等人在文獻［1］中提出的，相比傳統雷達而言具有更大的陣列孔徑、更高的陣列自由度和更好的低截獲性能［2-4］.雙基地MIMO雷達目標定位主要是利用陣列信號處理算法同時測量目標的波達角（Direction of Departure，DOA）與波離角（Direction of Departure，DOD），從而實現交叉定位.文獻［5］將多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法應用到MIMO雷達，利用2維譜峰搜索同時估計目標的DOD和DOA.文獻［6］利用兩次獨立的旋轉不變子空間技術（Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）算法分別估計多個目標的DOD和DOA，避免了譜峰搜索，但需要額外的配對算法.文獻［7］利用MIMO雷達輸出數據的多維結構構造測量張量，通過CP分解（CANDECOMP／PARAFAC decomposition）求解其因子矩陣，可以同時估計多個目標的方位向波離角（Azimuth DOD，ADOD）、俯仰向波離角（Elevation DOD，EDOD）、方位向波達角（Azimuth DOA，ADOA）、俯仰向波 達角（Elevation DOA，EDOA），各參數自動配對.以上算法均要求陣元間距小于半波長，否則得到的角度估計值存在周期性模糊.

電磁矢量天線（Electromagnetic Vetor Antenna，EMVA）同時獲取信號的空域信息和極化域信息，具有比傳統陣列更高的檢測性能，不受陣元間距限制.文獻［8］提出了一種矢量叉積測向法（Vector Cross-Product Direction-Finding，VCPDF），僅用一個完備的EMVA實現目標2維DOA估計.該陣元由3對正交放置的電磁偶極子對組成，對陣元位置無特殊要求，但估計精度不高.文獻［9］利用EMVA陣列獲取入射波電磁場矢量的方向信息，以解決ESPRIT算法中的角度模糊問題，但僅針對無源測向.文獻［10］將完備的EMVA用于MIMO通信領域，利用偶極子天線的極化分集特性增大了信道容量.文獻［11］將EMVA技術引入MIMO雷達，實現了目標DOD和DOA聯合估計，通過擴展孔徑提高DOA估計精度.但該算法無法顯著提高DOD估計精度，且只討論了平面內的目標定位問題，沒有充分利用EMVA中的多維角度信息.

針對雙基地DOD和DOA估計問題，文章提出了一種新的EMVA-MIMO雷達系統.采用完備的EMVA陣元組成均勻矩形發射陣列，在MIMO雷達陣元間發射信號的正交約束條件下，還要求每個陣元的6個偶極子天線發射的信號相互正交，收發陣列幾何結構相同.算法從輸出數據中構造3階測量張量，通過CP分解求取4維陣列流形矩陣、極化信息矩陣和多普勒矩陣.先借鑒ESPRIT算法從陣列流形矩陣中獲取2維收發角的模糊估計.再根據目標極化散射模型，推導出極化信息矩陣的奇異值分解表達式，提出了一種通過該矩陣實現解模糊的算法，最終得到多目標2維DOD和DOA的高精度不模糊估計.該算法無需進行額外的參數配對，且通過擴展收發陣列孔徑使得DOD和DOA估計性能均得到提高.

1 系統模型

雙基地MIMO雷達的發射陣列為x-z平面內的均勻矩形陣列，由M＝Mx×Mz個EMVA構成，其參考陣元位于x軸上，對第k個遠場窄帶目標的空間響應為

式中：λ表示信號波長；（·）T表示轉置；ptk＝［utk，vtk，wtk］T＝［sinθtkcosφtk，sinθtksinφtk，cosθtk］T為第k個目標的方向余弦，φtk∈［0，2π）和θtk∈［0，π）是第k個目標的ADOD和EDOD；ti＝［xi，yi，zi］T為第i個EMVA的坐標.每個EMVA包含3對電磁偶極子天線對，且相互正交放置于空間同一點，其響應為［12］

設 發 射 信 號 為S＝［s1，…，sm，…，s6M］T∈C6M×L，且滿足SSH＝I6M，其中（·）H表示共軛轉置，L為脈內采樣點數，I6M為6 M維單位矩陣.第m路發射信號表示為時變向量的形式wm＝，其中為式（2）中矩陣αptk的第i行，由天線的類型和朝向決定.則照射到第k個目標的信號為

ξH，ξV分別為發射波的兩個正交極化分量，“?”為Kronecker積.設第k個目標的極化散射矩陣Ck恒定，在（H，V）基下表示為［13］

式中：chh，cvv為共極化系數；chv，chv為正交極化系數；參數a，b，c和d由散射點類型決定.接收陣列為y-z平面內均勻矩形陣列，由N＝Ny×Nz個EMVA構成，其參考陣元位于y軸上，具有同式（1）和式（2）類似的響應αrk和αprk.則第q個脈沖的接收信號Xq＝［x1，…，xn，…，x6N］T∈C6N×L可寫成

復系數βk包含第q個脈沖內目標雷達截面積（Rada Cross-Section，RCS）信息和多普勒信息，Nq為零均值加性高斯白噪聲.用Q個脈沖的匹配濾波輸出數據構造矩陣Y＝［y1，…，yQ］，其中yq＝vec（XqSH），vec（·）表示矩陣的列向量化.令E＝［e1，…，eQ］，其中eq＝vec（NqSH），則

式中：“⊕”表示Khatri-Rao積；Β＝［β1，…，βK］，βk＝［β1k，…，βQk］T∈CQ×1，在 目 標RCS滿 足Swerling-I模型的條件下可從Β中獲取目標多普勒頻率［7］；A＝［α1，…，αK］∈CMN×K表示收發陣列的4維陣列流形矩陣，等同于相同幾何結構下標量陣MIMO雷達收發陣列流形矩陣的Kronecker積，其列向量滿足

Ap＝［αp1，…，αpK］∈C36×K為極化信息矩陣，包含偶極子天線的響應與目標散射矩陣信息，由式（5）可得，其列向量滿足

基于上述回波模型，提出一種從極化信息矩陣中得到目標二維收發角度不模糊估計的算法，將在2.2節中詳細討論.

2 角度估計算法

2.1 CP分解

為了從觀測數據中得到目標角度和極化信息，在此引入CP分解算法.由式（5）和式（6）可得矩陣Y的任一元素可寫成

式中［·］h，［·］i和［·］j分別表示對應向量的第h，i和j個元素.

定義1［14］：若張量為N個向量的外積，即張量的每個元素等于這N個向量相應元素的乘積，則X為秩1張量.

根據定義1將式（6）中矩陣Y構造成測量張量Y，使其等于K個秩1張量的和，有

“?”表示向量外積.CP分解就是將張量Y分解成式（10）所示結構，從而得到因子矩陣的估計和.交替最小二乘算法（Alteranting Least Squares，ALS）可以利用3階張量Y的3種模式展開矩陣Y（1），Y（2）和Y（3）求解CP分解問題，算法步驟可以參考文獻［7］中相關內容.

Remark 1：當目標個數K滿足2 K＋2≤kA＋kAp＋kB的條件時，ALS算法得到的估計矩陣各列僅存在幅度和順序上的模糊［14］，其中kA，kAp和kB分別表示矩陣A，Ap和B的秩.當快拍數Q≥K時有kB＝K，此時當目標數滿足K≤MN＋34時可以唯一分解出K個秩1張量.每個秩1張量僅包含對應目標的方向余弦信息，因此可以實現目標角度估計的自動配對.

2.2 二維收發角估計算法

其中arg［·］表示復數的幅角.同理可得wtk，vrk和wrk的估計.當陣元間距大于λ／2時，方向余弦存在周期性模糊.下面提出一種基于EMVA極化特性的解模糊算法.

式中，ui和vi分別為σi對應的左、右奇異向量.由式（2）易得和均為列滿秩矩陣與Ck等秩.假設Ck滿秩，則有2個非零奇異值，由式（12）可得

式中：gu1，gu2，gv1和gv2為未知復常數，且滿足均為正實數；（·）＊表示取復數的共軛；04表示4×4全零矩陣和分別組成矩陣和的零空間的標準正交基；即為秩等于2時的2個非零奇異值，且慮到矩陣Ck可能存在未滿秩的情況，因此僅利用最大奇異值所對應的左、右奇異向量和估 計目標角度.將劃分為兩個3×1向量，由式（2）和式（13）可得

［·］i表示向量第i個元素.由式（2）和式（15）得

c3為未知實常數，不難得到

下面的表1中列出了算法的基本步驟：

表1 算法基本步驟

3 仿真實驗

通過蒙特卡羅實驗驗證了本文算法的有效性，并與文獻［7］和文獻［11］中算法對比.本文的收發陣列為完備EMVA構成的2×3均勻矩形陣列.為保證可比性，文獻［7］中收發陣列采用6×6均勻矩形標量陣列.文獻［11］中發射陣列與文獻［7］中發射陣列相同，接收陣列與本文接收陣列相同.7個遠場不相關目標的參數如表2所示.快拍數均為100，噪聲為獨立零均值加性高斯白噪聲，以所有目標角度估計均方根誤差衡量算法性能，實驗次數為100次.各圖中實線、虛線和點畫線分別表示本文算法、文獻［7］算法和文獻［11］算法的仿真數據，對應下標分別為v，s和sv.

表2 仿真目標參數

圖1為3種MIMO雷達多目標DOD和DOA估計誤差隨信噪比變化曲線.空間中存在表2中的目標1～3，信噪比變化范圍為［0dB，30dB］，本文和文獻［11］所用EMVA陣元間距為5λ，文獻［7］和文獻［11］中所用標量陣元的間距為λ／2.由圖1（b）可知本文及文獻［11］的算法擴展了接收陣列孔徑，DOA估計精度大于標量陣MIMO雷達.在此基礎上，本文算法還擴展了發射陣列孔徑，由圖1（a）可知本文算法可以獲得更高的DOD估計精度，這一優勢在低信噪比時仍然保持.

圖1 估計誤差與信噪比關系曲線

圖2 估計誤差與陣元間距關系曲線

圖2為本文和文獻［11］所提算法的角度估計誤差隨收發陣元間距變化的對比曲線.空間中存在表2中目標1～3，信噪比為0dB，所有EMVA陣元間距變化范圍為［2λ，23λ］，文獻［11］發射陣列陣元間距為λ／2.由圖2可知，文獻［11］未能提高MIMO雷達的DOD估計性能，而本文算法在保證相同的DOA估計性能的情況下，DOD估計性能也得到了顯著提升.

圖3為MIMO雷達估計性能隨目標個數變化的關系曲線.空間目標個數變化范圍為［1，7］，信噪比為0dB，標量陣元間距為λ／2，EMVA陣元間距為5λ.由圖3可知，隨著目標個數增多，本文所提算法的DOD估計誤差上升幅度低于另兩種MIMO雷達，DOA估計誤差上升幅度低于標量陣MIMO雷達.

圖3 估計誤差與目標個數關系曲線

4 結 論

文章提出了一種收發陣列均采用EMVA技術的雙基地MIMO雷達多維角度估計方法，給出了更嚴格的發射信號正交約束條件.首先利用經典算法（如ESPRIT算法）從張量分解后的4維陣列流形矩陣中估計出存在周期性模糊的目標角度，然后從目標極化散射矩陣出發分析了接收信號極化信息的構成，以此為基礎推導了從極化信息矩陣中求解收發角的不模糊估計的算法，且實現了自動配對.仿真結果表明該算法在不同的信噪比和目標數條件下均具有良好的角度估計性能，且陣元間距無半波長限制，通過擴展孔徑提高了參數估計精度.

［1］RABIDEAU D J，PARKER P.Ubiquitous MIMO multifunction digital array radar［C］／／The Thirty-seventh Asilomar Conference on Signals，Systems and Computers，Pacific Grove，2003：1057-1064.

［2］曾建奎，何子述.慢起伏目標的多輸入多輸出雷達檢測性能分析［J］.電波科學學報，2008，23（1）：158-161.ZENG Jiankui，HE Zishu.Analysis of MIMO detection performance for slow fluctuating target［J］.Chinese Journal of Radio Science，2008，23（1）：158-161.（in Chinese）

［3］程院兵，顧 紅，蘇衛民.雙基地MIMO雷達發射波束形成與多目標定位［J］.電波科學學報，2012，27（2）：275-281.CHENG Yuanbing，GU Hong，SU Weimin.Transmit beamforming and multi-target localization in bistatic MIMO radar［J］.Chinese Journal of Radio Science，2012，27（2）：275-281.（in Chinese）

［4］陳顯舟，楊 源，韓靜靜，等.雙基地多入多出雷達收發方位角聯合估計算法［J］.電波科學學報.2013，28（1）：176-182.CHEN Xianzhou，YANG Yuan，HAN Jingjing，et al.Joint DOD and DOA estimation using polynomial rooting for bistatic MIMO radar［J］.Chinese Journal of Radio Science，2013，28（1）：176-182.（in Chinese）

［5］JI L，CONAN J，PIERRE S.Joint Estimation of channel parameters for MIMO communication systems［C］／／Second International Symposium on wireless Communication System，5-7September，2005：22-26.

［6］DUOFANG C，BAIXIAO C，GUODONG Q.Angle estimation using ESPRIT in MIMO radar［J］.Electronics Letters，2008，44（12）：770-771.

［7］YUANBING C，HONG G，WEIMIN S.Joint 4-D angle and Doppler shift estimation via tensor decomposition for MIMO array［J］.IEEE Communications Letters，2012，16（6）：917-920.

［8］NEHORAI A，TICHAVSKY P.Cross-product algorithms for source tracking using an EM vector sensor［J］.IEEE Transactions on Signal Processing.1999，47（10）：2863-2867.

［9］ZOLTOWSKI M D，WONG K T.ESPRIT-based 2-D direction finding with a sparse uniform array of electromagnetic vector sensors［J］.IEEE Transactions on Signal Processing.2000，48（8）：2195-2204.

［10］SVANTESSON T，JENSEN M A，Wallace J W.Analysis of electromagnetic field polarizations in multian-tenna systems［J］.IEEE Transactions on Wireless Communications.2004，3（2）：641-646.

［11］王克讓，賀亞鵬，朱曉華.多輸入多輸出電磁矢量陣列雷達的DOD和DOA聯合估計［J］.航空學報.2011（2）.WANG Kerang，HE Yapeng，ZHU Xiaohua.Joint DOD DOA and polarization estimation for MIMO radar with electromagnetic vector sensors［J］.Journal of Electronics ＆Information Technology，2012，34（1）：160-165.（in Chinese）

［12］GU C，HE J，LI H，et al.Target localization using MIMO electromagnetic vector array systems［J］.Signal Processing，2013，93（7）：2103-2107.

［13］WEI P S P，HUYNEN J R，BRADLEY T C.Transformation of polarisation bases for radar target scattering matrix［J］.Electronics Letters，1986，22（1）：13-14.

［14］KOLDA T G，BADER B W.Tensor decompositions and applications［J］.Society for Industrial and Applied Mathematics.2009，51（3）：455-500.

［15］NEHORAI A，PALDI E.Vector-sensor array processing for electromagnetic source localization［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42（2）：376-398.