基于壓縮感知的穩健單通道波達方向估計方法

王超宇 梅 湄 李洪濤 朱曉華

（南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇 南京210094）

引 言

近年來，信息論和信號處理領域中提出的壓縮感知［1-3］（Compressive Sensing，CS）理論被廣泛應用于雷達、圖像處理、無線通信和生物醫學等諸多工程領域［4］，吸引了研究者們的極大關注.CS理論指出，通過求解一個范數優化問題便可通過少量的非自適應隨機測量值以較高精度重構可稀疏表征的信號［5］.

實際空間中感興趣目標場景的強散射中心僅占據少量的角度分辨單元，照射區域內目標回波信號是稀疏的，由此CS在波達方向（Direction of Arrival，DOA）估計中的應用也得到了廣泛的研究.文獻［6］提出了基于CS的多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIM）雷達DOA估計方法，充分利用雷達回波信號的稀疏性對陣列接收信號進行時域壓縮采樣，降低了陣列接收的時域采樣點數.文獻［7］采用陣元隨機分布的天線陣列對空域信號進行壓縮采樣，降低了接收陣列的前端接收通道個數，隨后通過CS重構算法實現DOA高分辨估計.然而，文獻［6］和［7］將均勻量化感興趣區域角度范圍得到的超完備基矩陣作為冗余字典，不能保證對應感知矩陣滿足約束等容條件（Restricted Isometry Property，RIP）［8］，并且未考慮實際應用中接收陣列射頻通道間增益不一致以及感知矩陣和目標角度信息的匹配關系對DOA估計精度的影響，導致目標角度信息估計誤差增大.文獻［9］從理論上分析了CSDOA中系統模型失配誤差對目標角度信息估計精度的影響，結果表明稀疏基矩陣與目標角度信息匹配關系不理想時，常見CS算法對目標信息重構性能劣化非常明顯.文獻［10］提出一種增加稀疏基矩陣分辨力的方法，降低了系統感知模型失配誤差對目標角度信息重構精度的影響，然而隨著稀疏基矩陣分辨力的提高，感知矩陣的相關系數亦會隨之變大，嚴重影響了CS重構稀疏信號的精度；此外，當稀疏基矩陣分辨力較高時，感知矩陣規模過大，導致CS重構算法運算量急劇增加.

針對上述問題，本文提出一種單通道CS-DOA估計方法.首先，構建系統感知模型與目標角度信息失配背景下的DOA估計模型；其次，引入一種單通道陣列［11］體制，采用0／π移相器對每個陣元進行隨機移相處理，經合路器輸出一路數據以完成空域隨機采樣，克服了射頻通道間增益不一致，幅相不平衡等因素對CS-DOA方法的影響；最后，將丹茨格（Dantzig Selector，DS）［12］算法和遺傳算法相結合，提出一種新的CS-DOA估計方法，實現系統感知模型失配時的高分辨DOA估計.與CS-DOA估計算法RMFOCUSS［13］相比，本文方法有效降低了系統模型失配誤差對DOA估計精度的影響；與傳統的CAPON算法和多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法相比，本文方法能夠對任意相關的信號進行有效估計，具有更高的角度分辨力和更優的估計性能.

1 DOA估計信號模型

1.1 DOA估計壓縮感知模型

假設有K個遠場窄帶信號入射到由L個陣元組成的均勻線性陣列上，考慮噪聲干擾時，陣列接收信號可表示為

設感興趣區域的角度范圍Δθ＝［0°，180°］經均勻量化后獲得角度網格矢量為＝，N為網格總數，φ＝為角度分辨單元，則式（1）可改寫為

式中：s（t）＝［s1（t），…，sN（t）］T是目標角度信息矢量；A）＝［a，…，a）］為角度分辨單元相對接收陣列的導向矢量矩陣.

實際中，照射區域內目標僅占據少量角度分辨單元，即‖s（t）‖0＝K?N，‖v‖0表示矢量v的l0范數，由此陣列接收信號x（t）為K稀疏信號，為稀疏基矩陣，K為目標角度信息矢量的稀疏度.

1.2 系統感知模型失配時DOA估計模型

假設照射區域內K 個目標相對接收陣列的角度矢量θ＝［θ1，…，θK］中的第k個元素θk，即第k個目標的角度信息與系統預先設定的角度網格矢量不匹配，稱系統感知模型與目標角度信息失配.由CS理論可知，系統感知模型失配誤差將導致預先設定的角度網格矢量無法準確表示目標場景，造成常見CS-DOA估計方法目標角度信息估計誤差變大，角度分辨力降低等問題.

由式（4）可知，當系統感知模型與目標角度信息失配時，Φ為真實導向矢量的二階近似；當系統感知模型與目標角度信息匹配時，Φ為真實導向矢量的零階近似，即β＝［0，…，0］T.

因此，不考慮測量噪聲的近似誤差時，式（2）可近似表示為

1.3 基于單通道陣列的DOA估計模型

由于單通道陣列僅有一個射頻通道（如圖1所示），故除功耗低、成本低、體積小等優點，還可以有效避免接收陣列通道間增益不一致，幅相不平衡等因素對后續信號處理的影響，具有很強的工程應用價值［11，14-15］.

基于上述特點，本文將單通道陣列體制引入基于CS的DOA估計中.首先，將接收陣列中各陣元均連接一個0／π移相器，通過隨機變化各移相器的相位完成對空域的隨機采樣；其次，利用L路合路器將每個陣元加權后的接收信號合為一路信號輸出；最后，經過單路射頻通道和A／D轉換器后輸出數字信號ys（t）：

式中，ψ＝［ψ1，…，ψL］為L組0／π移相器隨機生成的加權系數矢量，ψi＝cos（0／π）.

圖1 單通道體制陣列模型

由于目標在空間是稀疏的，根據目標信號的時間相關性，設在M個快拍期間目標未跨角度單元移動，即si（t）與sj（t）（i≠j）非零元素位置相同，那么單通道陣列對感興趣目標場景的M個快拍測量值可表示為

通過分析式（8）不難發現，采用單通道陣列對空間信號進行接收，可看作采用測量矩陣Ψ對回波信號y（t）進行隨機投影測量，并且感知矩陣Θ為元素服從伯努利分布的矩陣Ψ與逆傅里葉變換矩陣的乘積，在很大概率上滿足RIP條件，保證了采用壓縮感知重構算法進行DOA估計的有效性和穩健性.

2 改進的CS-DOA估計算法

基于CS的DOA估計方法主要有MOMP、MORMP以及RMFOCUSS等.一般情況下，即系統感知模型與目標角度信息匹配時，可利用上述方法直接優化求解欠定性方程組獲得高分辨DOA估計.在系統感知模型與目標角度信息失配情況下，上述方法無法克服失配誤差對DOA估計精度的影響，導致估計誤差增大.

針對上述問題，本文提出一種適用于系統感知模型與目標角度信息失配情況下的CS-DOA估計方法.該方法將DS算法和遺傳算法相結合對系統感知模型失配誤差和目標角度信息交替迭代優化，經過有限次迭代后獲得有效的DOA估計結果，具體步驟如下：

步驟1：初始化迭代次數.p＝0.β（p）＝0，［s（t）］（p）＝ΘHys（t）.

步驟2：當迭代至第p＋1次時，經前p次迭代后估計出的各參數分別記為［s（t）］（p）和β（p），則校正后的導向矢量矩陣為

由此，在感知矩陣Θ（p）＝ΨΦ（p）已知的條件下，利用DS算法重構s（t）的結果為

式中μ是與噪聲有關的常量，并且當μ＝（1＋η-1）時，s（t）能夠以較高的精度進行重構［16］，η為一個正實數，σ為式（8）中噪聲n的方差，vmax為Θ（p）中各列2范數的最大值.

需要指出，在低信噪比情況下，DS算法在抑制噪聲的同時也損失了部分目標回波信號的能量，使得重構目標信號的幅值有所下降，故本文采用后向投影的方法對DS算法估計結果進行校正：

步驟3：當［s（t）］（p＋1）已知時，系統感知模型失配誤差β（p＋1）可通過求解一個最優范數問題進行重構：

需要說明，步驟3中最小化式（12）的優化問題是典型的離散非線性多變量優化問題.目前解決此類優化問題的方法有神經網絡算法，粒子群優化法（Particle Swarm Optimization，PSO），模擬退火算法（Simulated Annealing，SA）和遺傳算法等.其中，神經網絡算法通常收斂至局部最小值；PSO早期收斂速度較快，但到了尋優的后期，其收斂速度減慢，且容易收斂到局部極小值；SA較好地解決了尋求最優時陷入局部解的問題，但增加了算法的復雜度；相比之下，遺傳算法仿照生物進化和遺傳規律，遵循優勝劣汰的自然進化規則，對解空間不同區域的多個點進行搜索，保證了在搜索過程中以最大概率尋找到全局最優解，因此在實際中得到了廣泛應用.本文采用遺傳算法求解式（12）的具體步驟如下：

步驟1：隨機產生若干個系統感知模型失配誤差矢量作為遺傳算法的初始化群體；

步驟2：以式（12）作為適應度函數，計算每個個體的適應度值；

步驟3：采用“輪盤賭”的方式，根據適應度值來選擇優良個體，同時將適應度值最高的個體直接復制到下一代，保證最優個體在遺傳過程中不丟失；

步驟4：以設定的交叉概率采用兩點交叉方法來產生新個體；

步驟5：以設定的變異概率在交叉后的種群中進行變異產生后代；

步驟6：當完成設定迭代次數或得到數學期望的適應度值時，將最優個體取出并進行譯碼得到優化后的系統感知模型失配誤差，算法結束，否則返回步驟2.

3 計算機仿真及分析

本節分別通過非相干信號和相干信號等信號模型，與傳統的CAPON算法、MUSIC算法以及RMFOCUSS算法進行對比，驗證本文方法的有效性.仿真中假設接收陣列的陣元個數為L＝16，陣元間距在［0，Lλ／2］范圍內均勻分布，陣列接收回波信號快拍數為M＝200，DOA估計均方根誤差為

實驗1 非相干信號DOA估計.假設角度分辨單元φ＝1°，當信噪比RSN＝0dB，接收陣列各射頻通道一致性較好，多個非相干信號相對接收陣列的入射角分別 為［31.5°，37.3°，45.5°，50.2°］時，CAPON、MUSIC、RMFOCUSS算法以及本文方法的空域譜估計歸一化輸出結果對比如圖2所示.不同算法DOA估計的均方根誤差隨信噪比變化曲線的500次蒙特卡羅實驗結果如圖3所示.

由圖2可以看出：MUSIC算法和CAPON算法無法對目標角度信息進行高分辨估計；RMFOCUSS算法較傳統DOA估計方法具有更高的角度分辨力，然而系統感知模型與目標角度信息失配極大影響了該方法DOA估計的精度；相比之下，本文方法根據系統模型失配誤差的估計結果對系統感知模型進行了校正，使得DOA估計精度得到了明顯的改善.通過對比圖3中各算法DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線可以看出，在低信噪比條件下，由于本文方法迭代過程中采用后向投影的方式持續對DS估計結果進行修正，提高了低信噪比下CS-DOA方法的適用性，并且通過抑制系統模型失配誤差，降低了系統感知模型與目標角度信息失配對DOA估計精度的影響，故較其他幾種方法具有更好的估計性能；RMFOCUSS算法稍差，但優于傳統的MUSIC和CAPON算法，與圖1的結果相一致.

圖2 非相干信號的空域譜估計輸出

圖3 非相干信號DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線

實驗2 相干信號DOA估計.假設本實驗中多個目標的RCS相關，信噪比RSN＝0dB，其他參數設置與實驗1中非相干信號DOA估計的參數相同.圖4為不同算法的空域譜估計歸一化輸出結果對比.圖5為各算法對相干信號DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線的500次蒙特卡羅實驗結果對比.從圖4可以看出：傳統DOA估計的MUSIC算法和CAPON算法在相干信號條件下，性能下降明顯，無法對目標角度進行高分辨估計；RMFOCUSS算法在相同條件下DOA估計性能存在一定程度的劣化，但是該算法較傳統算法譜估計輸出具有更窄的主峰和更低的旁瓣，優于傳統DOA估計方法；本文方法通過對系統感知模型進行校正，降低了系統模型失配誤差的影響，故較RMFOCUSS算法具有更高的估計精度.對比圖5中各算法DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線，進一步驗證了本文方法在系統感知模型與目標角度信息失配的條件下，具有更高的角度分辨力以及更優的DOA估計性能.

圖4 相干信號的空域譜估計輸出

圖6 射頻通道增益不一致時非相干信號的空域譜估計輸出

圖7 射頻通道增益不一致時非相干信號DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線

實驗3 射頻通道增益不一致時，非相干信號DOA估計.假設本實驗多個非相干信號相對接收陣列的入射角與實驗1相同，接收陣列射頻通道間增益服從均值為1，方差為0.05的復高斯分布.圖6為各算法在RSN＝0dB時空域譜估計歸一化輸出結果對比.圖7為不同算法DOA估計均方根誤差隨信噪比變化關系曲線的500次蒙特卡羅實驗結果對比.從圖6可以看出：MUSIC算法和CAPON算法在接收陣列通道間增益不一致時已經無法進行有效DOA估計；RMFOCUSS算法雖然較傳統DOA方法具有較更高的角度分辨力，但由于無法準確抑制通道間的不同增益和系統模型失配誤差的干擾，導致DOA的估計精度下降非常明顯；相對而言，本文方法通過引入單通道陣列體制，有效避免了各通道間增益不一致對DOA估計的影響，并且采用改進的DS算法提高了系統模型失配誤差存在時目標角度信息的估計精度，保證了DOA估計的有效性.圖7中各算法DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線也驗證了本文方法在接收陣列各射頻通道增益不一致以及系統感知模型與目標角度信息失配等背景下，具有更優的DOA估計性能和更好的穩健性.

4 結 論

通過校正系統感知模型改善DOA估計性能是CS-DOA方法研究的一個重要方面，對于有效提高CS在實際中的適用性有著重要的理論和現實意義.本文針對接收陣列射頻通道間不一致以及系統感知模型與目標角度信息失配背景下CS-DOA估計性能下降的問題，提出一種單通道陣列體制下的CSDOA估計算法.與常見DOA估計方法相比，該方法有效避免了接收陣列通道間增益不一致，幅相不平衡等因素對DOA估計性能的影響，且通過校正系統感知模型顯著降低了目標角度信息的估計誤差.本文方法改善了多目標波達方向的估計性能，增強了CS-DOA的有效性和穩健性，具有較強的工程應用價值.

［1］JULIO M，CUO S，LAWRENCE C，et al.Task-driven adaptive statistical compressive sensing of Gaussian mixture models［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2013，61（3）：585-600.

［2］朱 豐，張 群，顧福飛，等.合成孔徑雷達運動目標譜圖二維壓縮與重構方法［J］.電波科學學報，2012，27（1）：157-164.ZHU Feng，ZHANG Qun，GU Fufei，et al.Two dimensional SAR moving target spectrogram compressive and reconstruction method［J］.Chinese Journal of Radio Science，2012，27（1）：157-164.（in Chinese）

［3］張順生，常俊飛，李 晶.方位多波束合成孔徑雷達壓縮感知成像研究［J］.電波科學學報，2012，27（5）：979-984.ZHANG Shunsheng，CHANG Junfei，LI Jing.Compressed sensing for multiple azimuth beams SAR imaging［J］.Chinese Journal of Radio Science，2012，27（5）：979-984.（in Chinese）

［4］LI G，ZHU Z，YANG D，et al.On projection matrix optimization for compressive sensing systems［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2013，61（11）：2887-2898.

［5］JULIAN W，SIMON H，MARTIN K.Analysis based blind compressive sensing［J］.IEEE Signal Processing Letters，2013，20（5）：491-494.

［6］YU Y，PETROPULU A P，POOR H V.MIMO radar using compressive sampling［J］.IEEE Journal of Selected Topic in Signal Processing，2010，4（1）：146-163.

［7］BILIK I.Spatial compressive sensing for direction-ofarrival estimation of multiple sources using dynamic sensor arrays［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic System，2011，47（3）：1757-1769.

［8］LIU Z，WEI X，LI X.Aliasing-free moving target detection in random pulse repetition interval radar based on compressed sensing［J］.IEEE Sensor Journal，2013，13（7）：2523-2534.

［9］ALI C G，VOLKAN C，JAMES H M.Bearing estimation via spatial sparsity using compressive sensing［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2012，48（2）：1358-1369.

［10］CHAE D H，SADEGHI P，KENNEDY R A.Effects of basis-mismatch in compressive sampling of continuous sinusoidal signals［C］／／ICFCC.Canberra，May 2010：739-743.

［11］NURUL H N，TUGHRUL A，BRIAN W F，et al.Single-port beamforming algorithm for 3-faceted pahsed array antenna［J］.IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters，2013，12：813-816.

［12］CAI T T，ZHANG A.Compressed sensing and affine rank minimization under restricted isometry［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2013，61（13）：3279-3290.

［13］COTTER S F，RAO B D，ENGAN K，et al.Sparse solution to linear inverse problems with multiple measurement vectors［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2005，53（7）：2477-2488.

［14］IUPIKOV O A，MAASKANT R，IVASHINA M.Towards the understanding of the interaction effects between reflector antennas and phased array feeds［C］／／ICEAA.Cape Town，Sept 2012：792-795.

［15］李洪濤，賀亞鵬，肖 瑤，等.基于壓縮感知的單通道魯棒自適應波束形成算法［J］.電子與信息學報，2012，34（10）：2421-2426.LI Hongtao，HE Yapeng，XIAO Yao，et al.Compressive sensing based single-channel robust adaptive beamforming algorithm［J］.Journal of Electronics ＆Information Technology，2012，34（10）：2421-2426.（in Chinese）

［16］CANDES E J，TAO T.The Dantzig selector：statistical estimation when p is much larger than n［J］.Annals of Statistics，2007，35（6）：2313-2351.