海浪實時繪制中波浪譜的選擇

陳麗寧， 金一丞， 任鴻翔

（大連海事大學航海動態仿真與控制交通行業重點實驗室，遼寧 大連 116026）

海浪實時繪制中波浪譜的選擇

陳麗寧， 金一丞， 任鴻翔

（大連海事大學航海動態仿真與控制交通行業重點實驗室，遼寧 大連 116026）

Phillips譜是海浪實時繪制中常用的波浪譜。首先分析了Phillips譜的結構，指出該譜是一個瞬時空間譜，其頻率譜符合Neumann形式，與P-M譜接近，其方向分布函數為國際拖曳水池會議推薦的形式。令P-M譜與Phillips譜具有相同的單位面積波能，給出了Phillips譜風速的確切含義并計算出該譜的常數。除了使用Phillips譜，還嘗試其它形式的譜。用P-M譜和cos-2s形式方向分布函數構造了瞬時空間譜PM-cos2s形式，用JONSWAP譜和Poisson形式方向分布函數構造了瞬時空間譜J-Po形式。比較3種譜的繪制結果發現，使用Phillips譜、PM-cos2s譜的繪制結果均能反映風速對海浪的影響，不能反映風距的影響，使用 J-Po譜的繪制結果既能反映風速、也能反映風距對海浪的影響，且三者的繪制幀率一致。如果要選擇適合航海模擬器中海浪繪制的瞬時空間譜，該譜的風參數既應包括風速，也應包括風距，且生成波應在風向的(-π,π]范圍內，因此J-Po譜在三者中最適合航海模擬器。繪制結果已應用于航海模擬器中。

海浪繪制；Phillips波浪譜；方向分布函數；風速

自然場景中海浪的實時繪制，在計算機動畫、虛擬現實等領域有著廣泛地應用，對航海仿真而言其重要性更是不言而喻的。海浪場景的繪制是復雜的，一直是計算機圖形學研究領域的熱點之一。

Mihalef等[1]指出海浪的繪制可分為 3個尺度，其中精細尺度為飛濺和泡沫、中間尺度為水面的波紋、大尺度為波浪的翻轉和破碎。目前海浪的繪制方法主要包括兩大類：基于物理模型的方法和基于構造的方法。

基于物理模型的方法以納維-斯托克斯(Navier-Stokes, N-S)方程為基礎。對其描述又可分為兩類[2]，拉格朗日法和歐拉法。兩種方法的著眼點不同，拉格朗日法著眼于流體質點，是一種基于網格的方法；歐拉法著眼于流場空間的點，是一種基于粒子的方法。N-S方程描述了流體的運動。使用基于物理模型的方法時，通過求解N-S方程，可以計算得到流體本身的靜止狀態和運動狀態的特性（包括速度、壓強、密度等參數的變化），以及流體和相鄰固體間的相互作用和流動規律。因此，對于液體的模擬，基于物理模型的方法適合于模擬自由液面、混合流、多相流、固液耦合等[3-5]。然而在解算 N-S方程的時候需要耗費大量的計算機資源，因此，基于物理模型的方法通常用于繪制中、小尺度的液體，而且實時性較差。

構造法可以分為兩類：基于幾何模型的方法和基于統計與譜的方法。基于幾何模型的構造法主要是通過擺線、正弦曲線等模擬海浪幾何形狀[6-8]。該方法比較簡單，可以實現大規模海浪場景的實時繪制（幀率大于30f/s），但風等初始條件相同時每次繪制的海浪在同一位置初始波高相同，繪制的波浪是重復的，過于規則，與實際情況不符。基于統計與譜的方法首先對波數進行采樣，用波浪譜計算對應的波數域波幅，然后對波數域波幅進行二維快速傅里葉逆變換(Inverse Fast Fourier Transform, IFFT)，獲得位置域波幅和水平方向位移，進而在位置域構造海浪[9-14]。

Michel[10]提出了一種多尺度 IFFT的海浪模擬方法，在比較粗糙的網格上采用IFFT生成海浪的高度圖，在精細的采樣網格上生成波浪的法線圖來實時計算海浪光照，模擬了航跡以及淺水區的波浪衰減現象。在IFFT構造海面的基礎上，任鴻翔[11]采用同心圓網格模型對海面進行采樣，減輕了瓷磚效應，趙欣和裴炳南[12]使用了投影網格模型提高繪制效率。與基于幾何法不同，使用該方法時，當風等初始條件相同時每次繪制的海浪在同一位置初始波高都不同，繪制結果具有隨機性。由于海浪本身可以看作一個隨機過程[13-14]，因此該方法更接近實際情況。該方式適合于繪制充分發展的海浪，可以實現大規模海浪場景的實時繪制。

聯合國國際海事組織(International Maritime Organization, IMO)在海員培訓、發證和值班標準國 際 公 約 (the International Convention on Standards of Training, Certification, Watchkeeping for Seafarers, STCW convention)中鼓勵在海員培訓、評估中使用模擬器[15-16]。挪威船級社(Det Norske Veritas, DNV)在其2.14標準[17]中要求在航海模擬器中使用波浪譜繪制海浪。與其他的海浪繪制相比，應用于模擬器的繪制海浪需要面對兩個問題：①實時繪制大規模海浪場景；②繪制結果要能夠準確體現風對于海浪的影響。所謂大規模海浪場景，指的是繪制海域面積大（有時要若干平方公里）。所謂實時繪制，指的是繪制場景時要保證一定的幀率，使得繪制效果連續，通常要求幀率在30f/s以上[17]。風對于海浪的影響，主要體現在風對于繪制海浪的波高、傳播方向等方面的影響。則在上述的方法中，基于統計與譜的方法更適合于航海模擬器中海浪的繪制。因此，本文選擇該方法繪制海浪。

1 基于Phillips譜的海浪繪制

1.1 算法簡介

在三維世界坐標系xyz中，平面xz平行于海平面，y軸垂直于海平面，向上為正。令水平位置向量 x=(x,z)；波數向量 k=(kx,kz)=(k cosθ, k sinθ)，其中θ為向量k與x軸正半軸夾角；風速向量 u=(ux,uz)=(U cosα, U sin α)，U為風速大小，α為風速與x軸正方向的夾角。在航海學和氣象學中，風向是風吹來的方向[18]，記為 α'，α與 α'的關系如下：

則t時刻水平位置x的波幅為：

其中*表示復數取共軛。根據色散關系，在深水中波數和頻率有如下關系：

其中 εr和 εi為獨立的均值為0、方差為1的高斯隨機數； Ph(k)為Phillips譜，即：

如果僅僅通過上述計算獲得海浪的高程，所繪制的海浪在幾何上是對稱的。但實際的海浪在幾何上是不一定對稱的，當波浪陡度在局部增加時，波峰會變得更加尖銳，波谷會變得平坦[13]。為了達到這一效果，需要引入Choppy波。Choppy波模型源自線性波變換產生的視覺效果。它的主要優勢是把簡潔性、穩定性、準確性進行了融合[19]。在基于Phillips譜繪制海浪的方法中，需要使用(k ,t)來計算二維位移矢量場，如下式：

其中，符號Im表示取其后括號內表達式的虛部。使用該矢量場，波面網格點的水平位置為x +λD(x ,t )。λ為一常數，用于衡量位移向量重要性。使用Choppy波不會直接改變波幅，而是根據波幅的空間結構來扭曲表面點的水平位置。這種方法使得波峰部分變得尖銳，波谷部分變得平緩，繪制結果更加逼真。

1.2 應用Phillips譜所遇到的問題

雖然 Phillips譜在繪制海浪中已經得到廣泛應用[9-12]，但使用過程中還會遇到一些問題。其一，常數A的取值或取值準則沒有給出。其二，對風速沒有詳細說明，風速隨距海面的高度變化而變化，因此在波浪譜中，都會對風速加以說明。例如，Neumann譜所用風速為距離海面7.5m高度處的風速，P-M譜的風速為距離海面19.5m高度處的風速，JOWNSWAP譜所用風速為距離海面10m高度處的風速。

在本文第2節中，首先分析了Phillips譜的頻率譜和方向分布函數，令Phillips譜和P-M譜具有相同單位面積波能計算出Phillips譜常數A，并參考P-M譜說明了Phillips譜風速的高度。考慮到Phillips譜不能反映風距對海浪的影響，第3節則構造了其他形式的波浪譜來繪制海浪，使得繪制結果不僅能反映風速、風向對海浪的影響，還能反映風距對風浪的影響。第4節對所用譜的繪制結果進行比較，并總結出什么樣的譜適合于航海模擬器。

2 Phillips譜的結構

為了解決上面提到的 Phillips譜存在的問題，需要對Phillips譜的結構作更深入的分析。本節首先介紹了頻率譜、瞬時空間譜和方向譜的概念，進而分析了Phillips譜的頻率譜和方向分布函數，在此基礎上計算了常數A，并說明采用風速的高度。

2.1 頻率譜、瞬時空間譜和方向譜

ξ(x ,t )位置為x的點在t時刻的表面位移，ξ的自相關函數為：符號表示取期望值。若 ω∈ (0,∞ )，記 S(ω)為：

若 ω∈ (- ∞,∞ )， S(ω) 為：

則 S(ω)稱為頻率譜，其量綱為 L2T。在量綱中，L表示長度量綱，T表示時間量綱。

記瞬時空間譜Ψ (k)為：

Ψ(k)的量綱為 L4，且：

由于k和ω存在一定的關系，則：

上式中積分因子由k變為ω和θ。令E(ω,θ)為方向譜，則方向譜和瞬時空間譜的關系為[14]：

E(ω,θ) 可以進一步寫為：

海浪譜、方向分布函數主要來自于對海浪的長期觀測。用測波儀、合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar, SAR)、船載雷達(Marine Radar)等對海浪進行觀測，對觀測數據進行譜估計，進而得到海浪譜、方向分布函數以及相關參數。

2.2 Phillips譜的頻率譜和方向分布函數

顯然，Phillips譜 Ph(k)是一個瞬時空間譜。由于：

則 Ph(k)可寫為：

令 EPh(ω,θ)、 DPh(θ)和 SPh(ω)分別為Ph(k)對應的方向譜、方向分布函數和頻率譜，由式(8)和式(9)可得：

其中，DPh(θ)為 n= 1的cos- 2n分布的方向分布函數，該形式也是國際拖曳水池會議(International Towing Tank Conference, ITTC)推薦的方向分布函數。

2.3 Phillips譜常數A的計算

P-M譜是一種常用的頻率譜，P-M譜的表達式為：

式中，α、β均為常數，α= 8.1× 10-3，β=0.74；U19.5為距離海面高度為19.5m處風速。

比較 SPh(ω)和 SPM(ω)發現兩者有一定的相似性：

（1）兩者都符合 Neumann形式。所謂Neumann形式，即：

式中，A、B中包含風要素或波要素。迄今為止提出的許多波浪譜，很大一部分符合這一形式。對于 SPh(ω)，p= 5，q= 4；對于 SPM(ω)，p= 5，q= 4。

（2）對風的描述僅包括風速，不包括風距和風時。

（3）兩者的譜寬度相等。譜寬度反映譜內能量的集中程度，用υ表示，υ= (m0m2/-1 )1/2，υ∈ (0,1)。經計算υPh= υPM，SPh(ω)和 SPM(ω)譜寬度相同，具有相同的能量集中程度。

SPh(ω)、 SPM(ω)的0階譜矩為：

P-M譜是經過長期觀測所獲得的，所依據的資料比較充分，使用方便，可以直接積分，在海洋工程和船舶工程中得到廣泛應用，基于上述理由在計算Phillips譜常數A時參考了P-M譜。為此假設 SPh(ω)的風速也為 U19.5，且在相同風速下Phillips譜和P-M譜的成員波具有相同的單位面積波能，即：，則A= 3.48× 10-3。

1）Phillips譜和P-M譜的部分大波平均波高相等。所謂的部分大波平均波高，是指將波高按大小依次排列，令 a＞ 1，則其中最高的1/a部分的平均值，稱為1/a部分大波的平均波高，以 H1/a表示，可以用下式計算：

2）Phillips譜和P-M譜的平均波高相等。平均波高的計算如下式：

從上式可得，若兩譜的部分大波平均波高相等，則平均波高也相等。

當風速值相等時，P-M譜和Phillips譜的 m0、部分大波平均波高、平均波高相等，所以假設Phillips譜的風速為距海面高度 19.5m處風速是合理的。隨著風速增加， m0增大， H1/a和也會增加。即隨著風速的增加，波高變高，波浪更加洶涌，這與真實海浪是相符的。

圖 1 是 用 Phillips 譜 的 繪 制 效 果(= 9.6 m/s ,α'= 180°)。

圖1 Phillips譜的繪制效果圖

3 使用其他形式的譜繪制海浪

在基于統計和譜的方法中，除了使用Phillips譜，還應嘗試使用其他譜，進而對繪制結果進行比較，從中選擇適合于航海模擬器中海浪繪制所使用的譜。第 2部分中作者已分析了Phillips譜的頻率譜、方向分布函數，指出其頻率譜 SPh與P-M譜相似，其方向分布函數為 n=1的cos-2n形式，因此作者首先嘗試用 P-M 譜和cos-2s形式方向分布函數構造瞬時空間譜ΨPM-cos2s(k )繪制海浪。由于 ΨPM-cos2s(k )譜和Phillips譜對風的描述僅包括風速，不包括風距等其他風的參數，海浪觀測表明風距等參數也對海浪產生影響，因此作者還構造了瞬時空間譜ΨJ-Po(k )以繪制了海浪。 ΨJ-Po(k)的頻率譜為JONSWAP譜，該譜中風的參數包括風速及風距。ΨJ-Po(k)的方向分布函數作者采用了 Poisson分布形式。

3.1 使用 Ψ PM -cos2s(k)譜繪制海浪

用P-M譜和 s= 2的cos-2s形式方向分布函數構造方向譜 EPM-cos2s(ω,θ)：

圖 2 是 使用 ΨPM-cos2s(k )繪制的海浪(U19.5= 9.6 m/s ,α'= 180°)。

圖2 Ψ PM -cos2s(k)譜的繪制效果圖

3.2 使用 Ψ J-Po(k)譜繪制海浪

Phillips譜和 ΨPM-cos2s(k)均為無限風距的譜。風距指的是風接近于不變的方向和速度時在開闊的水面上吹過的距離。因此采用Phillips譜和 ΨPM-cos2s(k)繪制海浪，僅能描述風速對于海浪的影響。而JONSWAP譜對于風的描述，就包括了風距。JONSWAP譜的形式為：

使用JONSWAP譜和Poisson形式方向分布函數構[14]造方向譜：

圖 3 是 使 用 ΨJ-Po(k )繪 制 的 海 浪(U10= 8 m/s,α' = 180°,X= 50km,γ= 3.3)。

圖3 Ψ J-Po(k)譜的繪制效果圖

4 繪制結果的比較

1.1 節中對k的采樣可改寫為：

其中：

則當繪制海域面積 Lx× Lz一定， Δ kx和 Δ kz均為常數。在進行2D IFFT中，只有譜值為非0的采樣點才會對計算結果產生影響，譜值為0的采樣點不會對計算結果產生影響。 Ψ (k)是一個單峰函數，非0的譜值分布在譜峰附近，因此對k進行采樣計算 Ψ (k)值，僅需采樣譜峰附近 Ψ (k)值非0的k。可對采樣進行改進以減小采樣點數量，降低 IFFT計算量，則令式(12)中m和n的范圍為：

其中， Ms≤ M， Ns≤ N。當 Lx= Lz=1024、M=N=256時，令 Ms= Ns= 128即可完成k的采樣。圖4為此條件下對 ΨPM-cos2s(k)進行采樣。

圖4 Ψ PM - cos2s(k )采樣

作者測試了使用3種譜繪制海浪的幀率。測試采用中等配置PC機(CPU：Intel E7400，內存：2G，顯卡：NVIDIA GeForce GT 430)。當時，使用改進采樣法3種譜繪制幀率皆為70f/s，如果采用原采樣法，幀率為 61f/s；當時，使用3種譜繪制的幀率皆為33f/s，如果采用原采樣方法幀率為26f/s。在相同計算機硬件條件下，當M、N、 Ms、 Ns值相同時，僅更換所用的譜不會影響繪制幀率。

對應選擇什么樣的譜用于航海模擬器中海浪的實時繪制，作者認為應從兩方面考慮：①該譜中風的參數不僅要包括風速，還要包括風距，這樣可以使繪制結果體現風距對繪制結果的影響；②由于大部分 D(θ) 中生成波的分布范圍在風向的(π]范圍內，只有少數 D(θ)生成波限制在風向范圍內[14]，因此作者推薦使用的 D(θ)。ΨJ-Po(k )譜的繪制結果能體現風距對海浪的影響，該譜的，因此，作者認為在上述3種譜中，ΨJ-Po(k)譜較之于另外兩者更適合于航海模擬器。

5 總結與展望

文中指出了目前繪制海浪廣泛使用 Phillips譜在使用過程中遇到的問題：其一，常數A的取值或取值準則沒有給出；其二，譜中對風速沒有詳細說明。這兩點將直接影響到繪制結果能否準確體現風對于海浪的影響。如果要用Phillips譜進行海浪繪制，則需要解決這兩個問題。

因此作者首先對 Phillips譜進行了分析，發現 Phillips譜是一種瞬時空間譜，其頻率譜SPh(ω)符合Neumann形式，且 p= 5、 q= 4，其方向分布函數為ITTC推薦的形式。 SPh(ω)只包含風速，與P-M譜相似，且兩譜的譜寬度相同。于是在假設Phillips譜和P-M譜具有相同單位面積波能的前提下計算出Phillips譜的常數A，并參考P-M譜對Phillips譜的風速詳細說明。

除了 Phillips譜，在基于統計譜的方法中還可以采用其他形式的譜，對這些譜的繪制結果進行比較，以選擇適合航海模擬器的譜。為此作者構造了 ΨPM-cos2s(k)譜和 ΨJ-Po(k)譜，并用兩者繪制了海浪。 ΨPM-cos2s(k)譜的頻率譜為 P-M譜，方向分布函數為cos-2s形式；ΨJ-Po(k)譜的頻率譜為JONSWAP譜，方向分布函數為Poisson形式。作者對使用 Phillips譜、 ΨPM-cos2s(k)譜和ΨJ-Po(k)譜的繪制結果進行了比較。通過比較發現，使用 Phillips譜和 ΨPM-cos2s(k )譜的繪制結果能反映風速和風向對于海浪的影響，但是不能反映風距對海浪的影響；而使用 ΨJ-Po(k)譜的繪制結果能反映風速、風向及風距對于海浪的影響。在相同的計算機硬件條件下，采樣點數量相同時，使用3種譜繪制的幀率相同。

通過上述研究，作者認為航海模擬器所選擇譜的風參數應包括風速、風向、風距，這樣使得繪制結果能較為完整地反映風對海浪的影響。因此 ΨJ-Po(k)譜較之于另外兩者更適合于航海模擬器。

本文方法所繪制的海浪，有助于提高船舶駕駛員模擬器培訓的質量。船舶在海上航行，會受到海浪的影響，海浪還可能危及航行安全。作者曾為此請教過幾位有經驗的船長，他們普遍認為：航海模擬器培訓為受訓船舶駕駛員對大風浪中船舶操縱提供感性認識，從而使受訓船舶駕駛員獲取大風浪中船舶安全航行的經驗和對策。了解船舶在風浪中的運動，有助于船舶操縱的安全[20]。本文所進行的研究有助于在模擬器中更準確的體現風對于海浪的影響，使得受訓的船舶駕駛員能更好地理解風及海浪對于船舶運動狀態的影響以及應該采取何種操船措施使得船舶處于安全狀態，提高模擬器培訓效率。

今后的工作將繼續致力于改善海浪的繪制效果，使其更加逼真。嘗試運用大連海事大學實習船“育鯤”號上裝備的雷達波浪檢測儀和方向譜波浪儀對海浪進行深入觀測，得到更為真實的波浪譜用于海浪繪制。

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On Selection of the Wave Spectrum in Ocean Wave Real-time Rendering

Chen Lining, Jin Yicheng, Ren Hongxiang
(Key Laboratory of Marine Dynamic Simulation & Control for Ministry of Communications, Dalian Maritime University, Dalian Liaoning 116026, China)

The Phillips spectrum is widely used in ocean wave real-time rendering. First, the structure of the spectrum is analyzed. The Phillips spectrum is an instantaneous spatial spectrum. Its frequency spectrum is in accord with the spectrum form raised by Neumann and similar to the P-M spectrum. Its directional distribution function is that recommended by the international towing tank conference. On the hypothesis that the wave energy per unit area of the Phillips spectrum equals that of the P-M spectrum, the spectral constant is computed, and the spectral wind speed is clarified. In addition to the Phillips spectrum, other spectra are tried as well. The P-M spectrum and the directional distribution function of cos-2s form are used to construct an instantaneous spatial spectrum, denoted as PM-cos2s form, and the JONSWAP spectrum and the direction distribution function of Poisson form are applied for constructing an instantaneous spatial spectrum, denoted as J-Po from. The comparison of the rendering results of the three spectra shows that the wave rendered with the Phillips spectrum and PM-cos2s spectrum can reflect wind speed influence on the wave, but cannot embody the fetch length influence, while the wave rendered with J-Po spectrum can show the fetch length effect along with wind speed on the wave. With the same computer hardware, the frame rates of the three spectra are equal. For wave rendering in the nautical simulator, the wind parameter of the selected spectrum should contain the wind speed as well as fetch length, and the generated wave of the spectrum should distribute in (-π,π] of the wind speed. So J-Po spectrum is more suitable than the other two for the nautical simulator. The method was used in the nautical simulator.

ocean wave rendering; Phillips spectrum; directional distribution function; wind speed

TP 391.9；U666.158

A

2095-302X (2014)02-0173-08

2013-03-30；定稿日期：2013-05-29

國家973重點基礎研究發展規劃基金資助項目（2009CB320805），中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（2012TD002）

陳麗寧（1981-），男，黑龍江哈爾濱人，助理工程師，博士研究生。主要研究方向為航海仿真。Email：lnchen1981@163.com