求解CEV模型下美式看跌期權的有限差分法

王智宇，李景詩，朱本喜，宋海明

（吉林大學 數學學院，長春 130012）

0 引 言

其中：Z＋＝max｛0，Z｝；S為原生資產價格；t為時間；V（S，t）表示美式看跌期權的價格；σ，r，q，T和K分別表示原生資產的波動率、無風險利率、原生資產的紅利率、期權的到期日和敲定價格；常數α是彈性系數；S＊（t）為美式期權的最佳實施邊界，它把美式期權的求解區域分成兩部分：S≤S＊（t）為實施區域；S＞S＊（t）為持有區域.

求解美式看跌期權定價問題目前主要存在以下問題：

1）求解區域左端最佳實施邊界S＊（t）未知，求解區域不規則；

2）求解區域右端為無窮區域，難以直接應用數值算法；

3）給出的算法需要同時確定期權價格V和最佳實施邊界S＊（t）.

1 Front－Fixing變換

由于拋物問題（4）定義在半無窮區域上，因此數值求解時需進行截斷.而直接做人工截斷會導致數值不穩定或數值不精確［4］，因此本文采用PML技巧對無界區域進行截斷.

2 PML技巧

3 數值解法

4 數值算例

考慮對一只敲定價格K＝10的一年期美式看跌期權進行數值模擬，其中模型（1）中參數分別為r＝0.05，q＝0.02，σ＝0.35，α＝0.7，數值結果如圖1所示.其中：t表示時間；s表示股票價格；V表示期權價格.

圖1（A）給出了本文算法得到的最佳實施邊界與二叉樹法［8］的對比結果.本文算法中，取θ＝0，M＝200，N1＝1 000，N＝1 010，σ0＝10，m0＝3；二叉樹法中取M＝1 000.圖1（B）給出了本文算法得到的期權價格三維圖像.由圖1可見，本文算法能較精確地給出最佳實施邊界和期權價格.

圖1 最佳實施邊界（A）和期權價格的三維圖像（B）Fig.1 Optimal exercise boundary（A）and 3Dimage of option price（B）

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