單軸各向異性球對任意方向入射平面波的散射

李正軍 吳振森 屈 檀 白 璐 曹運華

（西安電子科技大學 物理與光電工程學院院，陜西 西安710071）

引 言

由于各向異性材料在集成光學、微波、毫米波技術以及隱身技術、裝甲技術上被廣泛采用，近年來電磁波與各向異性材料之間的相互作用逐漸引起了人們廣泛的關注.

目前有許多數值方法和解析方法研究各向異性介質的散射問題.數值方法有時域有限差分（Finite Difference Time Domain，FDTD）法、離散偶極子（Discreted Dipole Approximatien，DDA）法、積分微分方程法、矩量法、T矩陣法［1］等.國內朱秀芹等人［2］采用矩量法-共軛梯度-快速傅里葉變換（method of moment-conjugate gradient method-fast Fourier transform，MOM-CGM-FFT）的混合技術研究了三維均勻介質與非均勻介質目標的散射問題，給出了幾種均勻介質的數值計算結果.由于各向異性材料的介電常數和磁導率的特殊性，目前研究各向異性介質球的解析方法比較多樣.20世紀80年代中，Monzon［3］采用解析方法研究了電和磁均各向異性的三維結構球和圓柱結構的散射.1992年，Wong等人［4］采用標量特征函數的展開方法研究了有耗單軸異性介質球對平面波的電磁散射；2007年，Qiu等人［5］也采用標量特征函數的展開方法研究了單軸各向異性介質球對平面波的散射.利用微積分理論，Brian［6-7］推導了單個任意形狀各向異性介質目標的電磁散射的解析解.1993年，任偉［8］通過引入傅里葉變換，采用特征波函數首次推導了各向異性等離子體球的電磁散射問題.基于其工作，耿友林等人［9］通過引入電磁場的傅里葉變換給出了單軸各向異性球的內場的球矢量波函數展開形式，研究單軸各向異性介質球對平面波的散射.

上述方法主要研究了入射波與主光軸平行時的單軸各向異性球形粒子的散射特性.但是由于單軸各向異性粒子存在主光軸，當入射平面波與主光軸不平行，其內部電磁場是完全不相同的，其散射特性也會有所不同.本文研究單軸各向異性介質球對任意方向入射平面波的散射解析解，數值分析其散射特性.在本文的討論中，設定時諧因子為e-jωt，其中ω為角頻率.

1 理論公式

如圖1所示，任意方向傳播的平面波入射到半徑為a的單軸各向異性介質球上，其中虛線為單軸各向異性介質球的主光軸.假定單軸各向異性介質球的主光軸與z軸一致，Oxyz是以球心O為原點所建立的粒子坐標系.

圖1所示平面波的波矢量k0在Oxyz直角坐標系下表達式為

式中：α為入射角，也就是平面波的傳播方向與z軸的夾角；β為方位角，也就是平面波的傳播方向在xOy平面上的投影與x軸的夾角.

圖1 任意方向傳播平面波入射到單軸各向異性介質球上

對于任意方向傳播平面波同樣也有兩種極化模式，即TM極化模式和TE極化模式.對于TM極化模式的平面波來說，其電場可以表示為

式中：E0是振幅；r是位矢，上標inc代表入射場，而對于TE極化模式的平面波來說，其電場可以表示為

則入射場可在全局坐標系Oxyz下，用球矢量波函數展開為

式中：k0＝2π／λ，λ為周圍介質中的入射波長；μ0為周圍空間的磁導；M（1）mn和N（1）mn為球矢量波函數［10］，其中l＝1，2，3，4分別代表四類球貝塞爾波函數.歸一化系數Emn被定義為

因為僅僅考慮兩種極化模式任意方向傳播的平面波，也就是傳播方向和極化方向始終是垂直的，根據球矢量波函數的正交完備性，可求得入射場的展開系數［11］.

對于單軸各向異性介質，電位移矢量D和電場強度E方向，磁感應強度B和磁場強度H的方向不再是簡單的平行關系.此時介電常數與磁導率需要用張量形式表示，本構關系變為

則單軸各向異性介質中的電場矢量波動方程變為

該波動方程由于μ和ε是張量，電場的各個分量是耦合在一起的，無法直接用分離變量法來求解，通過引入Fourier變換，可將內場用球矢量波函數展開為［9］

散射場也可以在粒子坐標系Oxyz下用球矢量波函數展開為

將球矢量波函數的具體表述式代入入射場、散射場及內場中求得其分量，代入式（11）可得到關于散射系數的方程組，解方程組最終可求得散射系數［12］.

求得了單軸各向異性介質球的內部和外部的電磁場，根據雷達散射截面在遠區的定義可計算散射特性：

2 數值計算和討論

如圖2所示，分別計算了三種不同傳播方向平面波入射情形下，單軸各向異性介質球在E面和H面上的雷達散射截面的角分布，同時給出了用三維電磁場仿真軟件（CST）數值模擬這三種情形下的散射結果.在E面和H面上的解析結果與CST數值模擬結果都吻合得很好，從而說明文章任意方向入射平面波的展開方法及對單軸各向異性介質球的散射理論及程序的正確性.當平面波入射方向不再平行單軸各向異性介質球的主光軸時，從圖2可以看出，其雷達散射截面不再完全以θ＝180°兩邊對稱，所以需要計算散射角從0°變化到360°的情形.

在圖2（a）中，當方位角β＝0°時，平面波極化在xOz平面上，所以入射角為α＝0°與α＝30°兩種情形平面波入射下的雷達散射截面的最大值均出現在前向方向上，即出現在波的傳播方向上.而由于α＝30°時，平面波的入射方向與單軸各向異性介質球的主光軸不一致，所以雷達散射截面的角分布不僅不再以θ＝180°兩邊對稱，且也與α＝0°時的雷達散射截面的角分布有很大的不同，并不是進行了簡單的平移，在θ＝276°時，出現了極小值，幾乎達到-35dB.H面上，當方位角β＝0°時，由于此時由平面波的入射方向和極化方向組成的入射平面與觀察面垂直，所以可以看到入射角為α＝0°與α＝30°兩種情形平面波入射下的雷達散射截面的角分布均是以θ＝180°兩邊對稱的，但是α＝30°時雷達散射截面的大小及角分布與α＝0°時雷達散射截面相比改變得很大.當α＝30°，β＝30°時，由于此時由平面波的入射方向和極化方向組成的入射平面均不與E面和H面垂直或平行，所以其雷達散射截面最大值并非出現在前向方向上，且其角分布也不以θ＝180°兩邊對稱.

圖2 雷達散射截面的角分布并與CST結果比較

如圖3所示，分別計算了不同介電常數張量元單軸電和磁均各向異性介質球對入射角為α＝45°平面波散射的雷達散射截面在E面和H面上的角分布.可以看出，當單軸各向異性介質球電磁均各向異性時，改變介電常數張量元εz，其雷達散射截面的角分布的震蕩周期與大小都會改變，H面的這種改變要比E面的激烈得多，前向雷達散射截面的大小也會隨εz改變而改變.當εt＝εz時，單軸各向異性介質球呈現電各向同性，但是磁導率還是各向異性的，所以雷達散射截面的角分布并沒有正入射時的對稱現象.比如說當εt＝εz＝3時，E面上θ＝225°兩邊的雷達散射截面的波谷明顯不相同.從E面和H面上的雷達散射截面的角分布可以看出εt的改變比εz的改變要對雷達散射截面的影響大.

圖3 介電常數張量元對雷達散射截面的影響

如圖4所示，分別計算了平面波斜入射時不同尺寸參數下單軸各向異性介質球的介電常數張量元與磁導率張量元均為有耗和無耗時的雷達散射截面在E面和H面上的角分布.圖中符號A，B，C和D分別表示εt，εz，μt和μz的虛部；無耗表示各向異性介質球為無耗的，即A＝B＝C＝D＝0；有耗表示各向異性介質球為有耗的，即A＝B＝C＝D＝0.5.可以看出，對于無耗介質球，尺寸參數增大時，其雷達散射截面角分布的震蕩變得更密集，但是震蕩幅度有所變小，這點H面上雷達散射截面的角分布表現得更為明顯.對比有耗和無耗的情況，可以發現E面上，是否有耗并不影響雷達散射截面的最大值出現的位置，都是在波的傳播方向上，但是會改變雷達散射截面的大小及角分布；可以明顯看出有耗時后向部分的雷達散射截面要比無耗時的小；有耗時雷達散射截面的角分布震蕩周期及幅度也比無耗小得多，而且這種變化隨著尺寸參數的增加變得越來越明顯，如H面上，k0a＝4π時，有耗時的雷達散射截面幾乎沒有震蕩.

圖4 尺寸參數對雷達散射截面的角分布

3 結 論

導出了具有任意傳播方向兩種極化模式的平面波用球矢量波函數的展開形式，給出了展開系數的具體表達式.研究了單軸各向異性介質球對任意方向入射平面波的散射；與CST數值仿真結果進行比較驗證了本文理論及程序的正確性.數值分析了介電常數張量元、有耗、無耗、尺寸參數、入射角和方位角等對單軸各向異性介質球的雷達散射截面的影響.雖然僅僅數值計算了TM極化模式平面波入射情況，對TE極化模式平面波入射時，只需要將TM極化模式入射場展開系數改為TE極化模式入射場展開系數就可計算出其結果來.

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