兩類混合藤Copula模型的比較研究
——基于外匯資產投資組合VaR的研究

杜子平，張雪峰

（天津科技大學經濟與管理學院，天津 300222）

兩類混合藤Copula模型的比較研究
——基于外匯資產投資組合VaR的研究

杜子平，張雪峰

（天津科技大學經濟與管理學院，天津 300222）

本文以中國外匯市場上四種主要外匯資產的投資組合作為研究對象，基于Pair Copula高維建模思想，分別建立了兩類能真實反映資產組合相關結構差異性的混合藤Copula模型，即混合C藤和混合D藤Copula模型。兩類混合藤Copula模型，對傳統的藤Copula模型作了進一步的改進，是通過一定的選擇標準，確定模型中每個Pair Copula函數的最優函數族，這樣可以使得所建立的模型既能考慮資產組合維數的影響，又能捕捉到組合內部各資產相關結構的差異性。為了得到較優的風險分析模型，在實證研究中，將兩類模型在資產組合VaR計算精度方面進行比較。

Pair Copula；混合C藤；混合D藤；VaR

一、引言

資產組合的風險不僅受到單個資產收益率波動變化的影響，而且受資產間相關結構的影響，這就為Copula理論的應用提供了基礎。Copula理論最大優勢就是可以將金融資產的邊緣分布和相關結構分開來研究，并且不要求邊緣分布具有相同的分布形式，所以，Copula理論在金融領域的應用非常廣泛。同時，VaR又是應用最廣泛的風險度量指標，其關鍵問題就是估計模型的構建，但對于由多個資產所組成的資產組合，要建立其VaR估計模型非常困難，而上述Copula理論的優點則可以很好地解決這個問題。

目前，將Copula理論運用于資產組合VaR的研究層出不窮：傅強等(2009)[1]將極值理論與Copula函數應用于資產風險研究及條件VaR估計；劉少華等(2011)[2]運用多元Copula函數對中國期貨市場的套利組合風險進行了研究；He等(2009)[3]基于Copula函數研究了銀行信用風險和市場風險綜合度量方法；Tang等(2010)[4]研究了公司信用風險和市場風險的相互影響。這些應用主要集中于橢圓類或Archimedean類Copula，橢圓類Copula是以單個參數來描述多維資產間尾部相關性，沒有考慮維數的影響，這與實際情況存在很大偏差；而Archimedean Copula所有的隨機變量都是等價的，只需單個生成函數就可以得到完整的Copula函數，但現實中很難保證所有變量都服從特定類型的Archimedean Copula。

所以要建立符合實際的高維Copula模型，必須考慮局部相關結構的差異性，基于此 Bedford和Cooke(2001，2002)[5，6]在Joe的基礎上提出了Pair Copula構建(PCC)方法，它是利用基于條件獨立的簡單Pair Copula構造模塊對復雜多元相關結構進行建模，是將多元聯合密度函數分解為一系列Pair Copula及條件邊緣分布密度函數的積。這樣就可以使得所建立的模型不僅能考慮到資產組合維數的影響，又能夠捕捉到資產組合中局部相關結構的差異性。本文主要研究兩類基于Pair Copula建模思想的高維Copula建模方法，即C藤與D藤，在此基礎上，考慮對模型中每一Pair Copula函數依據一定的標準選擇最優的函數族，將傳統的兩類藤Copula建模方法改進為混合C藤及混合D藤Copula模型。這里，“混合”的含義主要是指對于每一組Pair Copula函數可以依據一定的標準選擇最優的函數族。目前，在這方面的研究還不多見。

本文系統地介紹了兩類藤Copula模型的理論知識；并以中國外匯市場四種主要外匯資產作為實證分析對象，基于兩類混合藤Copula模型建立投資組合風險分析模型；并利用Monte Carlo模擬方法估計投資組合的VaR值；最后為了得到最優的風險分析模型，運用Kupiec失敗頻率檢驗方法檢驗兩類預測模型的有效性，并作對比分析。

值得指出的是，對于兩類混合藤Copula模型中的Pair Copula函數本文以AIC準則作為函數選擇標準。

二、模型的構建

1.邊緣分布模型的建立及其參數估計

一般地，多資產投資組合的風險受到兩方面客觀因素的影響：單個資產收益率序列的波動變化及資產間的相關結構影響。對于單個金融資產收益率分布的刻畫有很多種方法，如傳統方法所采用的t分布或正態分布，但t分布無法刻畫收益率序列的非對稱性，而且t分布的自由度參數的估計也比較困難，一般來說，刻畫實際中的金融資產收益率序列的t分布，其自由度通常不是整數，這就給模型的建立帶來很大不便，若取其近似值則又會增加模型風險；另外，大量研究表明，金融資產收益率序列具有尖峰、厚尾、波動聚集性的特征，所以如果運用正態分布刻畫收益率序列則會損失大量的尾部信息，且在一定程度上會低估模型參數值。GARCH類模型是一類典型的條件異方差模型，是現代計量經濟學研究的重點。GARCH類模型可以很好地刻畫單個金融資產收益率序列的波動聚集性等特征，是刻畫金融資產收益率序列強有力的工具。

考慮金融時間序列的高峰、厚尾特性，本文選用t分布噪聲驅動的GARCH模型來對單個資產收益率序列的條件邊緣分布建模。即用如下t-GARCH(1，1)模型：

式中，rt為資產收益率序列；Ωt-1為t-1時期的條件集；ηt為i.i.d自由度為v的t分布；μ，ω，α，β及v為模型參數。

極大似然估計法(MLE)在計量經濟學模型參數的估計中應用非常廣泛，且大量研究表明，MLE方法對GARCH類模型參數的估計非常有效。所以本文運用該方法來估計上述GARCH模型的參數。

2.兩類混合藤Copula模型的建立及其參數的估計

要建立更精確、更科學的高維Copula模型，不僅要考慮邊緣分布的擬合優度，還應考慮局部相關結構的差異性。而Pair Copula建模方法很好地解決后者問題，Bedford和Cooke(2001，2002)[5，6]基于Pair Copula思想研究了一種被稱為正則藤的圖形化建模方法，但由于他們主要研究如何利用藤結構建立復雜的網絡結構模型，所以在Pair Copula的選擇上僅限于Gaussian Copula函數族。實際上，該建模方法對于Pair Copula函數族的選擇沒有要求，Aas et al.(2009)[7]的研究表明該方法可以推廣到任意的Pair Copula函數族，這就為本文的研究提供了理論基礎。本文主要研究對兩類特殊的正則藤——C藤和D藤作進一步的擴展，將其中的Pair Copula根據一定的選擇標準選擇最優的函數族，建立高維混合藤Copula模型，并將其應用于中國外匯市場投資組合的實證研究。目前在這方面的研究還不多見。

Czado(2010)[8]的研究表明C藤和D藤可以通過簡單的條件遞歸來構建。為了與后文的研究保持一致，圖1與圖2分別給出了傳統意義上的四維C藤與四維D藤結構：

圖1 四維C藤結構

由圖1可知，C藤結構中，樹Tj(j=1，2，3)中僅有唯一的節點連接到n-j條邊，其中，每條邊對應著一個Pair Copula密度函數。n維聯合分布的密度函數f (x1，x2，…，xn)在C藤下可分解為：

圖2 四維D藤結構

圖2所示的為四維D藤結構，D藤結構與C藤結構有很大的不同，樹 Tj(j= 1，2，3)中的兩條邊，變成了Tj+1中的兩個節點，如果Tj中的這兩條邊共享同一節點，則在Tj+1中這兩個節點又被同一條邊連接。其中，Tj的每條邊也對應著一個Pair Copula密度函數。n維聯合分布的密度函數f(x1，x2，…，xn)在D藤下的分解式可表示為：

(1)式與(2)式中的j表示樹的標號，i遍歷每棵樹的邊。對于每個Pair Copula的構建涉及到形如的條件邊緣分布，對于每一j，由式(3)可以求得其邊緣條件分布函數。有：

其中，υj是υ中任一分量，υ-j是υ中不含υj的向量，Cx，υjυ-j是二元Copula分布函數。當υ為一維變量時，有：

本文對于(1)式與(2)式中Pair Copula密度函數族的選擇標準采用AIC準則，因為，Brechmann(2010)[9]的研究表明對于二維Copula函數族的選擇，AIC準則是一個有效、可靠的選擇標準。以此為基礎，本文對傳統的C藤與D藤作了進一步擴展，建立兩類混合藤Copula模型。

對于兩類藤Copula模型的參數估計問題，本文借鑒Aas et al.(2009)[7]研究中使用的方法，即先運用ML單獨估計每個Pair Copula函數的參數值，稱之為參數估計初值；再將參數估計初值代入兩類藤結構的對數似然函數，并最大化對數似然函數值，從而得到參數估計終值。n維C藤的對數似然函數可表示為：

而n維D藤的對數似然函數可以表示為：

(4)式與(5)式中Θ為Pair Copula函數參數集。

三、投資組合VaR的估計及檢驗

在計算由多個資產（通常指3個及3個以上）組成的資產組合VaR時，由于VaR的顯性解析式很難表示，所以，本文借助于Monte Carlo方法，該方法的關鍵在于對Pair Copula分解模型的仿真技術，先通過分解下的Copula分布函數求出條件分布函數x2，…，xj-1)，再生成服從該多元聯合分布的仿真序列(x1，x2，…，xn)，具體過程為：

①隨機生成n個獨立的服從[0，1]均勻分布的序列{ωi，i=1，2，…，n}；

②求出服從Pair Copula分解的聯合分布函數的仿真序列(x1，x2，…，xn)：

其中每個條件分布函數Fn|1，2，…，n-1(xjx1，x2，…，xj-1)都可以由式(3)及某種類型的Copula函數求得。

得到服從Pair Copula分解的聯合分布函數仿真序列(x1，x2，…，xn)后，代入各資產的邊緣分布，進而可以得到n個資產在t+1時刻的仿真收益率序列Ri，t+1，i=1，2，…，n。由于本文將外匯資產收益率序列定義為Pi，t+1= lnPi，t+1-lnPi，t，其中，Pi，t表示第i個資產在t時刻的價格，則在t+1時刻，第i個資產的價格可表示為Pi，t+1= Pitexp(Ri，t+1)，則由仿真收益率序列Ri，t+1可得第i個資產在持有期(t，t+1]內的損失率為：

給定置信度1-α，則由損失Lt+1的經驗分布可求出投資組合的VaR為：，其中表示在持有期(t，t+1]內、1-α置信度下的VaR值。

為了驗證所求得的資產組合VaR的有效性，本文運用Kupiec失敗率檢驗方法：記實際損失超過VaR為失敗，反之為成功。假定估計VaR的置信度為P*，實際考察天數為T，失敗天數為N，則失敗概率P的頻率估計為N/T，則對于VaR估計模型有效性的檢驗可以轉化為對于失敗概率P是否顯著不同于P*的檢驗。Kupiec給出了該檢驗最合適的極大似然統計量：

在該檢驗成立的條件下，統計量LR服從自由度為1的卡方分布。

四、實證研究

本節選取中國外匯市場上四種外匯匯率：美元/人民幣(USD/CNY)、港幣/人民幣(HKD/CNY)、100日元/人民幣(100JPY/CNY)、歐元/人民幣(EUR/CNY)作為實證分析對象。考察的時間范圍為2006.1.11-2012.11.6，每組匯率共有1660個有效數據，數據來源于中國貨幣網。同時，將價格{Pt}定義為每日收盤價，收益率定義為Rt=lnPt+1-lnPt。其描述性特征如表1。

表1 樣本收益率序列的統計特性

由表1中的J-B統計量可以看出，四個對數收益率序列均不服從正態分布；另外，從偏度與峰度也可以看出該四個對數收益率序列具有明顯的高峰、厚尾特征，且呈現出一定的非對稱性。對各對數收益率序列進行ARCH-LM檢驗，發現它們都具有明顯的ARCH效應，故可以運用t-GARCH(1，1)模型擬合四個外匯資產對數收益率序列，本文置信水平取為95%。運用Matlab軟件得到各序列邊緣分布的參數估計值，如表2。

表2 對數收益率序列邊緣分布參數估計值

得到邊緣分布的參數估計值后，提出其標準化殘差序列。為了檢驗邊緣分布的擬合優度，對標準化殘差序列進行概率積分變換，同時，對變換后的序列進行K-S檢驗，K-S檢驗方法是檢驗變換后的序列是否服從(0，1)上的均勻分布來判斷對邊緣分布的建模是否正確，通常，先檢驗概率積分變換后的序列是否獨立，再檢驗變換后的序列是否服從(0，1)上的均勻分布。本文檢驗的結果表明經過概率積分變換后的標準化殘差序列均服從[0，1]上的均勻分布，說明所建立的t-GARCH(1，1)模型能很好地擬合各外匯資產對數收益率序列。

為了表述方便，分別記USD/CNY、HKD/CNY、100JPY/CNY及EUR/CNY為1、2、3及4，并分別用混合C藤及混合D藤Copula模型描述由該四個外匯資產所組成的投資組合的相關結構，模型結構如圖1和圖2。運用第二節所述的參數估計方法估計兩類混合藤Copula模型的參數值。值得指出的是，對兩類混合藤結構中的每個Pair Copula函數族的選擇擴展到以下五種：Gaussian Copula、tCopula、Gumbel Copula、Clayton Copula及FrankCopula。兩類混合藤Copula模型中所有Pair Copula的函數族、參數估計初值、終值、模型對數似然函數及AIC、BIC值如表3及表4所示。

表3 混合C藤Copula模型參數估計值、對數似然函數及AIC、BIC值

表4 混合D藤Copula模型參數估計值、對數似然函數及AIC、BIC值

由表3及表4可知，在參數估計終值下的兩類混合藤Copula模型的AIC值均小于模型在參數估計初值時的AIC值，說明模型在參數估計終值下的擬合度有了一定程度地提高。

至此，兩類混合藤Copula模型的結構及參數估計值已經確定，為了驗證兩類模型對中國外匯市場四種外匯資產投資組合相關結構描述的準確性，進而確定較優的模型結構，先基于兩類混合藤Copula模型估計投資組合的VaR，再利用Kupiec失敗率檢驗方法檢驗模型的預測結果。

估計由多個資產組成的投資組合VaR一般需借助于第三節所描述的Monte Carlo方法。分別基于兩類混合藤Copula模型模擬10000次，得到10000組t+1時刻的各外匯資產收益率模擬值。則資產組合的模擬收益率為其中ωi為各外匯資產在t+1時刻的投資權重，且。本文假定投資總額為4，且等權重投資于中國外匯市場四種外匯資產，分別計算基于兩類混合藤Copula模型的該投資組合在95%置信水平下的VaR值。同時，對樣本區間內前1000天的95%VaR估計結果進行Kupiec失敗率檢驗，并由式(6)計算統計量LR。計算及檢驗結果如表5所示。

表5 兩類混合藤Copula模型下資產組合的VaR值及檢驗結果

由第三節可知，利用Kupiec失敗率檢驗VaR估計模型有效性，可以轉化為對失敗概率P是否顯著不同于置信水平P*的檢驗。當該檢驗成立時，則統計量LR服從自由度為1的卡方分布，而自由度為1的卡方分布在95%置信水平下的臨界值為3.8415。由表5可知，混合C藤Copula模型下的統計量LR小于該臨界值，因此，混合C藤Copula模型通過了檢驗，說明基于混合C藤Copula模型的VaR預測結果是有效的；而混合D藤下的統計量LR大于該臨界值，說明混合D藤Copula模型沒有通過檢驗，即混合D藤Copula模型對投資組合相關結構的描述不夠精確。

五、結論

本文對兩類傳統的藤Copula建模方法作了進一步的擴展，利用AIC準則對模型中的每一個Pair Copula都選取最優的函數族，從而使得所建立的模型不僅考慮到了多維資產的維數影響，而且還考慮到了資產間局部相關結構的差異性問題，所以，相對于傳統的藤Copula模型，混合藤Copula模型能更好地描述多個資產間的相關結構。這主要是由于高維Gaussian Copula以單個參數描述多維資產的相關結構，并沒有考慮到資產維數的影響；而多元Archimedean Copula函數，其所有的隨機變量都是等價的，并且都以單個生成函數得到完整的Copula函數，所以它沒有考慮到變量間相關結構的差異性；另外，基于混合藤Copula模型計算投資組合的VaR值，由于其仿真序列是基于Pair Copula分解方法得到，所以其計算結果更加精確。

為了表明混合藤Copula模型的優勢，本文將混合藤Copula模型與t-GARCH(1，1)相結合，并運用于中國外匯市場四種外匯資產投資組合的VaR估計，分別建立了混合C藤Copula模型及混合D藤Copula模型用于描述資產組合的相關結構，在此基礎上，借助Monte Carlo方法計算了投資組合在95%置信水平下的VaR值，并進行了Kupiec失敗率檢驗，進而確定較優的投資組合風險分析模型，由表5的檢驗結果可以看出，混合C藤Copula模型通過了失敗率檢驗，可以很好地描述資產間的相關結構；而混合D藤Copula模型則未能通過檢驗，這主要是由于美元是國際支付、結算和投資的主要貨幣，美元價格變化對其他貨幣價格的變化都有重大影響，它們之間的影響關系是直接的，以圖形化的方式表達，則是美元與其它貨幣之間都有直接的邊相連接，而不是通過相互傳導性質的間接連接，這也就符合C藤中的每棵樹中都有一個根節點的性質，所以用混合C藤Copula模型刻畫各外匯資產間的相關結構更貼近現實。從而，在中國外匯市場四種外匯資產投資組合相關結構描述的準確性上，混合C藤Copula模型優于混合D藤Copula模型，是更好的風險分析模型。

[1]傅強，刑琳琳.基于極值理論和Copula函數的條件VaR計算[J].系統工程學報，2009，24(5)：531-537.

[2]劉少華，張宗成.基于POT-Copula模型的我國期貨套利組合風險分析 [J].金融理論與實踐，2011(8)：81-84.

[3]He，X and P.Gong.Measuring the coupled risks：A copulabased C VaR model[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，223(2)：1066-1080.

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[9]Brechmann，E.Truncated and simplified regular vines and their applications[D].Diploma thesis，Technische，2010.

（責任編輯：WD）

The Comparison Study of Two Types of Mixed Vines Copula Model——Based on the Analysis of VaR of a Portfolio

DU Zi-ping，ZHANG Xue-feng
（Department of Economics and Management，Tianjin University of Science and Technology，Tianjin 300222，China）

Two types of mixed vines copula model based on Pair Copula Constructions method was used to study a portfolio of four foreign exchange assets in Foreign Exchange Market of China.The models,namely mixed C and D vines Copula model，can reflect the differences of correlation structure of a portfolio realistically.And also the two types of mixed vines Copula models improve on traditional C and D vines method and choose the best families of copula functions for every Pair Copula by a rule.They not only can take into account of the impact of dimensions，but also can capture the difference of the correlation structure among portfolio factors.In order to obtain a better VaR analysis model，we compare the two types of vines Copula models in the aspect of the portfolio VaR calculation accuracy in empirical study.

Pair Copula；Mixed C-vines；Mixed D-vines；VaR

F830.92

A

1004-292X（2014）01-0027-05

2013-07-12

國家自然科學基金項目（71071111）。

杜子平（1964-），男，山西呂梁人，副院長，教授，博士生導師，主要從事系統分析與金融管理、輕工技術經濟決策與預測研究。