干擾背景下機(jī)載雷達(dá)廣義似然比檢測(cè)方法

劉維建,常晉聃,李 鴻,謝文沖,王永良

(1.空軍預(yù)警學(xué)院,湖北武漢430019;2.電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川成都610036;3.北方電子設(shè)備研究所,北京100191)

0 引言

色噪聲背景下多通道信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題一直是雷達(dá)領(lǐng)域研究的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)[1]。由于不存在均勻最大勢(shì)(UMP,uniformly most powerful)檢測(cè)器,多種次最優(yōu)檢測(cè)器被不斷提出。在均勻環(huán)境的假設(shè)下,根據(jù)廣義似然比檢測(cè)器(GLRT,generalized likelihood ratio test)設(shè)計(jì)原理,Kelly提出了著名的廣義似然比檢測(cè)器(Kelly’s GLRT)[2];在相同的條件下,Robey[3]提出了兩步GLRT(2SGLRT,two-step GLRT)檢測(cè)器,即自適應(yīng)匹配濾波器(AMF,adaptive matched filter);此外,Rao檢測(cè)器由De Maio在文獻(xiàn)[4]中提出。在部分均勻環(huán)境下,Kraut和Scharf提出了自適應(yīng)相干估計(jì)器(ACE,adaptive coherence estimator)[5]。Besson分析了存在一個(gè)隨機(jī)噪聲干擾下的自適應(yīng)檢測(cè)問(wèn)題,并提出了GLRT[6],結(jié)果表明該檢測(cè)器與ACE具有相同的形式。該環(huán)境下的Rao檢測(cè)器由Orlando[7]提出,被命名為雙歸一化自適應(yīng)匹配濾波器(DN-AMF,double-normalized adaptive matched filter),且被證明與Wald檢測(cè)器等價(jià)[8]。文獻(xiàn)[9]假設(shè)信號(hào)位于某已知子空間中,但信號(hào)坐標(biāo)未知,在此假設(shè)下推導(dǎo)了均勻環(huán)境中子空間信號(hào)的GLRT,結(jié)果表明該GLRT是Kelly’s GLRT的推廣。

對(duì)于機(jī)載雷達(dá)的工作環(huán)境而言,除存在雜波外,往往還存在干擾,而上述檢測(cè)器均未考慮存在干擾的情況。在實(shí)際中,由于敵方的有意干擾或者己方的通信干擾,當(dāng)采用上述檢測(cè)器時(shí),往往帶來(lái)巨大的虛警,使雷達(dá)不能正常工作。針對(duì)上述問(wèn)題,本文提出了一步GLRT檢測(cè)器(1S-GLRT)和兩步GLRT檢測(cè)器(2S-GLRT)。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了新檢測(cè)器能夠有效地抑制干擾,并實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測(cè)。

1 問(wèn)題描述及檢測(cè)模型

考慮機(jī)載雷達(dá)空時(shí)聯(lián)合模型。假設(shè)陣元數(shù)為N a,脈沖數(shù)為N b,則系統(tǒng)維數(shù)N=N a N b。設(shè)待檢測(cè)單元的接收數(shù)據(jù)為x。檢測(cè)問(wèn)題可用如下的二元假設(shè)檢驗(yàn)表示：

式中,s,j,n0和n c分別表示信號(hào)、干擾、熱噪聲和雜波。在實(shí)際中,不可避免地存在陣元誤差、指向誤差及多徑等因素,這導(dǎo)致信號(hào)導(dǎo)向矢量存在失配的現(xiàn)象。而子空間模型是解決信號(hào)失配的一個(gè)有效途徑,為此,s可建模為s=Hθ。實(shí)際中,還可能存在多個(gè)干擾信號(hào),因此,把j建模為j=Jφ,并假設(shè)矩陣H和J張成的子空間不相交。在實(shí)際中,可通過(guò)空域干擾來(lái)向偵測(cè)模式或者超分辨空間譜估計(jì)算法得到干擾的來(lái)向。例如：機(jī)載預(yù)警雷達(dá)中通過(guò)在雷達(dá)工作間歇插入干擾搜索波束,即利用無(wú)源模式偵察到空間各方位的強(qiáng)干擾位置。因此,在本文中,假設(shè)矩陣H和J均已知。向量θ和φ分別表示信號(hào)和干擾在由矩陣H和J張成的子空間中的坐標(biāo)。矩陣H和J的維數(shù)分別為N×s和N×r,二者均列滿秩,并且增廣矩陣[H,J]也列滿秩,即s+r≤N。令,設(shè)雜波加噪聲的協(xié)方差矩陣為R,即E{n nH}=R。假設(shè)有L個(gè)獨(dú)立同分布的訓(xùn)練樣本x l,l=1,…,L,且與待檢測(cè)單元數(shù)據(jù)具有相同的協(xié)方差矩陣,即。假設(shè)H和J已知,但φ,θ和R未知。令S=XXH,易知S為L(zhǎng)倍的采樣協(xié)方差矩陣(sample covariance matrix),其中X=[x1,x2,…,x L]是由訓(xùn)練樣本組成數(shù)據(jù)矩陣。

值得注意的是模型(1)具有廣泛的適用性,當(dāng)s=1時(shí),即矩陣H變?yōu)榱邢蛄?此時(shí)對(duì)應(yīng)信號(hào)導(dǎo)向向量確知的情況;當(dāng)s=N時(shí),即矩陣H變?yōu)榉瞧娈惙疥?此時(shí)對(duì)應(yīng)信號(hào)導(dǎo)向矢量未知的情況,即位于整個(gè)空間中。

2 一步廣義似然比檢測(cè)(1S-GLRT)

1S-GLRT可用如下公式描述[2]：

式中,fτ(x,X)為待檢測(cè)單元數(shù)據(jù)x和訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)X在Hτ(τ=0,1)下的聯(lián)合概率密度函數(shù)(PDF,probability density function),γ為滿足特定虛警概率(PFA,probability of false alarm)所需的檢測(cè)門限。

易知,在H1下,x和X的聯(lián)合PDF為

式中,x1=x-Hθ-Jφ。

取式(3)關(guān)于R的導(dǎo)數(shù)并令其為零,得到R的最大似然估計(jì)(MLE,maximum likelihood estimate)：

把式(4)代入式(3)得到

根據(jù)矩陣?yán)碚摰玫?/p>

式中,a和b為任意列向量,A為可逆方陣。

利用式(6),式(5)可以等價(jià)地表示為

即把θ和φ看作自變量,最大化f1(x,X;),等價(jià)于最大化下面函數(shù)：

式中,B=[H,J],φ=[θT,φT]T。

取式(8)關(guān)于φ的導(dǎo)數(shù)并令其為零,得到φ的MLE：

把式(9)代入式(7),經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后得到

采用相似的方法,可以得到

用式(10)除以式(11),得到1S-GLRT為

3 兩步廣義似然比檢測(cè)器(2S-GLRT)

2S-GLRT的設(shè)計(jì)流程如下：先假設(shè)協(xié)方差矩陣R已知,據(jù)此得到GLRT,然后把該結(jié)果中的R用采樣協(xié)方差矩陣代替[3]。

在H1下,待檢測(cè)單元數(shù)據(jù)x的PDF為

采用與式(9)相同的方法,得到

用式(14)除以式(15),并取對(duì)數(shù),得到R已知時(shí)的似然比檢測(cè)器：

易知,根據(jù)訓(xùn)練樣本得到的R的M LE為采樣協(xié)方差/L,其中S如前文所示。把代入式(16)得到2S-GLRT：

4 檢測(cè)器物理意義分析及恒虛警特性的證明

4.1 1S-GLRT的等價(jià)形式及物理意義

式中,P B表示矩陣B對(duì)應(yīng)的正交投影矩陣;為P B的正交補(bǔ),即。

根據(jù)矩陣正交投影的知識(shí),得到下面的等式[10]：

式中,矩陣A和B具有相同的列。

根據(jù)式(19),式(18)可進(jìn)一步寫為

式(22)即為文獻(xiàn)[9]中的檢測(cè)器,當(dāng)矩陣H的秩為1,即H=s時(shí),式(22)變?yōu)?/p>

式(23)即為 Kelly’s GLRT[2]。

4.2 2S-GLRT的等價(jià)形式及物理意義

根據(jù)式(19),得到

把式(25)代入式(17)得

當(dāng)矩陣H的秩為1時(shí),即H=s,式(27)變?yōu)?/p>

式(28)即為AMF。

比較式(24)和式(26),可得到

另外,式(26)可以寫為

即2S-GLRT為能量檢測(cè)器,檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為預(yù)白化后的待檢測(cè)數(shù)據(jù)在子空間中的能量。

圖1給出1S-GLRT和2S-GLRT的工作流程圖。

圖1 檢測(cè)器工作流程圖

4.3 1S-GLRT和2S-GLRT的恒虛警特性的證明

易知,在H0下,服從均值為0、自由度為N,協(xié)方差矩陣為I N的高斯分布;服從均值為0、自由度為N,協(xié)方差矩陣為I N的威沙特(Wishart)分布。因此,t的統(tǒng)計(jì)分布均與協(xié)方差矩陣R無(wú)關(guān)。實(shí)際上,在H0下,t服從自由度為N和L-N+1的復(fù)中心F分布。

此外,根據(jù)等式

在 H0下,的統(tǒng)計(jì)分布與R無(wú)關(guān);同理,在H0下,的統(tǒng)計(jì)分布與R無(wú)關(guān)。因此得出t1S-GLRT和t2S-GLRT均具有CFAR特性。

5 計(jì)算機(jī)仿真

本文中的1S-GLRT和2S-GLRT的檢測(cè)概率很難得到解析解,為此我們采用標(biāo)準(zhǔn)的蒙特卡洛(Monte Carlo)仿真對(duì)檢測(cè)器性能進(jìn)行驗(yàn)證。檢測(cè)門限和檢測(cè)概率分別通過(guò)100/Pfa和104次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)得到。在每次仿真中矩陣H和J隨機(jī)產(chǎn)生,二者為隨機(jī)正定Hermitian矩陣的前s列和后r列。φ取為零均值復(fù)高斯隨機(jī)向量,其協(xié)方差矩陣為,其中為單個(gè)干擾的功率。令,其中為零均值復(fù)高斯隨機(jī)向量,其協(xié)方差矩陣為I s,a為復(fù)標(biāo)量,其相位在[0,2π]上均勻分布。

信雜噪比(SCNR,signal-to-clutter-plus-noise ratio)定義為

根據(jù)θ的統(tǒng)計(jì)特性,式(33)可以表示為

為計(jì)算方便,假定高斯熱噪聲的功率為1,即雜波加噪聲的協(xié)方差矩陣可以表示為R=I+Rc,其中Rc為雜波的協(xié)方差矩陣,單位陣I為熱噪聲的協(xié)方差矩陣。相應(yīng)地,干噪比(JNR,jamming-to-noise ratio)可以被定義為

圖2給出不同SCNR下四種信號(hào)子空間維數(shù)和干擾子空間維數(shù)對(duì)應(yīng)的1S-GLRT和2S-GLRT的檢測(cè)概率。其中N a=3,N p=4,訓(xùn)練樣本數(shù)為L(zhǎng)=2N,雜噪比(CNR,clutter-to-noise ratio)為60 dB,JNR=15 dB,PFA為10-3。從圖中可以看出,隨著SCNR的增加,1S-GLRT和2S-GLRT的檢測(cè)概率均不斷提高;1S-GLRT的檢測(cè)概率比2S-GLRT的略高,但當(dāng)SCNR很大時(shí),二者的檢測(cè)概率基本相同。

圖3給出不同訓(xùn)練樣本數(shù)目下四種信號(hào)子空間維數(shù)和干擾子空間維數(shù)對(duì)應(yīng)的1S-GLRT和2S-GLRT的檢測(cè)概率。其中,SCNR=30 d B,JNR=15 dB,其他參數(shù)和圖2相同。從圖中可以看出,隨著訓(xùn)練樣本數(shù)的增加,檢測(cè)概率不斷提高。1S-GLRT的檢測(cè)概率比2S-GLRT的略高,這與圖2中的結(jié)果相同。

圖4給出了不同JNR下四種信號(hào)子空間維數(shù)和干擾子空間維數(shù)對(duì)應(yīng)的1S-GLRT和2S-GLRT的檢測(cè)概率。其中,SCNR=30 dB,L=2N,其他參數(shù)和圖2相同。從圖中可以看出,JNR對(duì)兩種檢測(cè)器的檢測(cè)概率基本沒(méi)有影響。其實(shí),這從1S-GLRT和2S-GLRT的表達(dá)式中可以看出：檢測(cè)器利用了干擾子空間信息,而沒(méi)用到干擾的功率信息。另外,可以看出,1S-GLRT的檢測(cè)概率和2S-GLRT的檢測(cè)概率基本相同。

圖5給出了不同信號(hào)子空間和干擾子空間維數(shù)下,1S-GLRT和2S-GLRT的檢測(cè)性能。其中,SCNR=30 d B,JNR=15 d B,L=2N,其他參數(shù)和圖2相同。從圖中可以看出,隨著干擾子空間維數(shù)從1增加到N,1S-GLRT和2S-GLRT的檢測(cè)概率均從1逐漸下降到0。值得指出的是,當(dāng)干擾子空間的維數(shù)為r0時(shí),信號(hào)子空間的維數(shù)最大為N-r0。另外,需要指出的是,在相同的干擾子空間維數(shù)下,信號(hào)對(duì)檢測(cè)器的影響主要體現(xiàn)在信號(hào)能量(即SCNR),而非信號(hào)子空間的維數(shù)。

圖2 不同SCNR下1S-GLRT和2S-GLRT檢測(cè)性能比較

圖3 不同訓(xùn)練樣本數(shù)下1S-GLRT和2S-GLRT檢測(cè)性能比較

圖4 不同JNR下1S-GLRT和2S-GLRT檢測(cè)性能比較

圖5 不同信號(hào)子空間維數(shù)和干擾子空間維數(shù)下1S-GLRT和2S-GLRT檢測(cè)性能

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了干擾背景下適用于機(jī)載雷達(dá)環(huán)境的1S-GLRT和2S-GLRT兩種檢測(cè)器。1S-GLRT和2S-GLRT均具有CFAR特性;1S-GLRT比2SGLRT具有略高的檢測(cè)概率,但當(dāng)SCNR較高時(shí),二者的檢測(cè)概率基本相同。與1S-GLRT相比,2SGLRT更容易實(shí)現(xiàn)。隨著SCNR和訓(xùn)練樣本數(shù)的增加,1S-GLRT和2S-GLRT的檢測(cè)概率均會(huì)增加;兩種檢測(cè)器均不受干擾功率的影響。另外,本文提出的1S-GLRT是多階GLRT和Kelly’s GLRT的推廣,2S-GLRT是AMF的推廣。

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