基于DOA估計的RLS-CMA算法

(中國人民解放軍92512部隊,浙江寧波315000)

0 引言

在移動通信系統中,同信道干擾和頻譜資源擁擠已經成為人們關注的重要問題之一。同信道干擾來源于頻率的復用,由于地理和環境的因素,同信道干擾是造成信道損失的主要原因。近幾年來,陣列天線的同信道的盲處理技術,引起了人們的關注。最早利用信號的恒模特性的自適應數字濾波器算法是在1980年[1],該方法是用在除了信號具有恒定包絡以外先驗知識未知的盲自適應波束形成器,Godard[1]利用最小恒模代價函數,得到了與Wiener在最小均方誤差(MSE)準則下半盲估計的近似解。

盡管恒模算法具有很多優點,但由于CMA收斂速度較慢,不能很好地應用在動態環境中[2]。在強干擾的環境中,恒模算法不能很好地恢復期望信號[3],在實際的無線環境中,隨著用戶的激增,通信環境日趨惡劣,這就要求波束形成算法在強干擾的環境中,仍然能夠快速而準確地收斂于期望信號。文獻[4]的作者提出的MESB-CMA算法就是基于這方面的考慮。但MESB算法因為涉及矩陣求逆,計算量較大。而LMS算法雖然不涉及矩陣求逆,對陣列幅相差也不敏感,但其收斂速度較慢。考慮到RLS[5-6]算法具有LMS算法的優點,并且收斂速度要比LMS算法提高一個數量級[7-8],平穩環境下在每個采樣瞬間計算的權值都是最好的選擇(基于對接收數據的最小二乘方法),本文提出RLS-CMA算法：是在級聯的恒模陣列與自適應干擾對消器中,把RLS和CMA結合起來,充分發揮二者優點,彌補其不足,由RLS算法決定CM陣列的初始權,同時通過對權向量多項式求根[9]獲得下一級的初始權向量,由CMA方法更新權向量,利用這種方法,算法的穩健性以及捕獲能力進一步提高。

本文的目的是,通過恒模陣列(CM)來分析RLS-CMA算法以及相對應的恒模(CM)陣列的穩態特性與可靠性。可靠性是指在一定環境條件下收斂性能。當干擾信號強于期望信號時,該算法仍能捕獲到期望信號而不是跟蹤功率較大的干擾信號,并且算法對陣列幅相差不敏感。

1 陣列建模與RLS-CMA算法提出

1.1 CM陣列與信號模型

如圖1所示,恒模陣列,假設有L個源信號入射到具有M個陣元的均勻線陣(ULA)上。陣列的輸出信號向量X(k)構成了恒模陣列的輸入信號向量。

陣列第m個陣元的輸出信號可以表示為

式中,{s i(t)}(i=1,…,L)為信源信號,n m(t)為加性高斯白噪聲。在假設窄帶信源的條件下,φi=2π(d/λ)sin(θi),d為陣元間距,λ為信源的波長,θi為第i個信源的波達方向。

圖1 恒模陣列系統的框圖

經過采樣后的陣列信號用矩陣形式表示,這樣定義,X(k)=e1(k),有

式中,

通常對等距線陣感興趣,但是恒模陣列的信號恢復性能卻與陣列的幾何結構無關[7]。矩陣A可以是任意矩陣。

接收數據向量X(k)的自相關矩陣R x=E{X(k)XH(k)},由下式給出：

式中,R s=E{S(k)SH(k)}和R n=E{n(k)nH(k)},假定S(k)與n(k)互不相關,且均值為零,所以R s,R n可以用對角矩陣∑s,∑n表示：

式中,∑s相應的對角元素。

實際計算R時,用其由K次采樣信號得到的估計值代替。

1.2 RLS-CMA算法

1.2.1 RLS算法

這里直接給出最小二乘(RLS)準則,為

式中,

稱為先驗估計誤差;

稱為增益向量,其中

0＜λ＜1稱作遺忘因子。

對于恒模信號,恒模陣列捕獲信號的性能與初始權向量和陣列輸出端的相對信號功率有關。為提高CMA算法的穩健性,本文用式(6)RLS算法[6]迭代產生初始權向量。

1.2.2 權向量多項式求根法

基于文獻[9]提出的波束形成算法對一個用戶實現波束形成后,從算法的權向量多項式中可以求出其他用戶的波達角的結論時并沒有用到用戶信號是恒模信號的條件,所以不僅僅針對恒模信號,對其他信號應該同樣適用。因此,本章大膽把該結論應用于RLS算法中,與恒模算法相結合,以實現對多個信號的分離接收。下面的推導和仿真證明是可行的。

設遞推最小二乘算法收斂于某一信號,這里不妨設算法收斂于信號s k,所以有TX,將展開,關于s1對^s k=WTX求內積得

由假設知各信號之間是相互獨立,且假設算法收斂于信號s k,故有

依次關于s2,…,s p對TX求內積,只有關于s k求內積時得到

其余內積均為零,并得到類似的方程,聯立這些方程得

令e-jφi=x i,從式(13)的前p-1個方程組可以得到權向量方程w1+w2x+w m x m-1=0。可以看到當算法收斂于某一信號s k后,p-1個含有其他來波方向的函數e-jφi(i=1,…,p,i≠k)是以波束形成算法的權向量的各分量為系數的一元M-1次方程的解。這樣便盲估計出矩陣。為了回避匹配搜索所帶來的運算量,應用類似ESPRIT的方法[9]。設為第i個信源陣列流形估計的兩部分,有,其中d是天線陣列兩部分之間的距離,可得

至此已推導出權向量多項式求根方法,不需要進行復雜的譜峰搜索,所需采樣點數較少,所以計算量較小。并且在對其中一個信號收斂后,即可并行對其他多路信號進行估計,從而作為下一級恒模陣列的初始權向量。使整個算法實現起來比較簡單,收斂迅速且不需要信號對消。

從數學角度分析,一個任意的一元m-1次方程的解不一定存在;但是從波束形成的物理意義而言,如果有多個用戶信號同時被天線陣接收,由上述推導可知,當算法對任一用戶形成波束后,必然要在其他用戶方向上產生零陷。因此從物理意義上講,權向量多項式一定有解。在本算法的實施過程中,還有一個如何對待“虛解”的問題[9]。因為當信號數小于陣元數時,求解權向量方程時,會產生異于用戶方向函數的“虛解”。事實上,當把從“虛解”中算出的方向作為期待信號的來波方向時,由于在該方向上并沒有用戶信號存在,按照初始權向量的賦值沒有對任何用戶信號產生初始增益,但是經過最小二乘恒模算法的多次迭代修正后,仍然會收斂于某一其他用戶信號,這時對其權向量方程求解,獲得的其他用戶的波達方向也可以驗證這一點,從而反饋出此解為“虛解”的信息。如果充分利用求解權向量方程反饋出的解的信息,就可避免錯誤獲得虛解方向的問題。

2 RLS-CMA穩態特性分析

2.1 恒模陣列維納權

假設恒模陣列捕獲到第i個信號,則誤差信號e i(k)=s i(k)-y i(k),根據均方估計理論,權向量收斂時,估計誤差與數據正交,即E[X(k)e?i(k)]=0。均方誤差為

對式(15)求偏導并令其為零,據最小均方誤差(M MSE)準則,得

或寫作

式中,R x=E[X(k)XH(k)],p i=E[s?i(k)X(k)]。將式(2)代入式(17),得

式中,a i為導向矢量的第i列,即為第i個信源的導向矢量。則恒模陣列的輸出功率為

由于ξmin≥0,

也就是說,恒模陣列的輸出信號功率收斂于被捕獲到的第i個信號的功率。

2.2 輸出SINR與SNR

在文獻[10]中,輸出信號干擾噪聲比(SINR)與移位因子βi,j[11]有關,假設捕獲到第i個信號源,則輸出信干噪比(SINR)為

可以看出,當兩個恒模信源靠得較近時,陣列輸出SINR下降。當我們不考慮同信道干擾時,也就是說,得到的輸出信噪比(SNR)為

可以證明,SINRout≤SNRout≤M·SNRin,見文獻[10]。 也就是說,當信號源距離較遠時,SINRout≈SNRout。

3 計算機實驗仿真

為驗證本文算法的性能,在計算機上進行了仿真。

在9元ULA陣列中,d/λ=0.5,期望信號分別從100°,40°入射到該陣列上,其信噪比(SNR)分別為0 dB和20 d B。干擾信號的波達方向為150°,干擾信號的INR為35 dB。期望信號與干擾均為恒模信號。為比較,我們先仿真了未用RLS算法產生的權當作初始權的情況,如圖2所示,由于恒模特性錯誤收斂至大功率的150°強干擾信號,而在期望信號的100°,40°方向形成零陷。在其后應用RLS算法后,如圖3和圖4所示,利用RLSCMA算法可以在第一級中捕獲到波達方向為100°信號,在第二級中是方向為40°信噪比較大的信號。可以看到,對應不同的權值,分別在100°,40°的信號方向形成了良好的主瓣,并且150°方向一直是保持比較深的零陷,即在強干擾情況下對期望信號做到了良好的分離接收。

仿真實驗同時計算權值迭代過程中接收信號的輸出SINR,可以觀察到該算法穩健性較好,在20次迭代內已很好地收斂。并且權矢量收斂后,每個波束形成輸出分別鎖定不同的信號,充分說明該算法具有良好的收斂速度及魯棒性。

圖5給出了信號存在幅相差時的輸出SINR(幅度差≤2 dB,相位差≤15°)。可以看到相位差和幅度差對算法的性能影響不大,該算法在幅相差不是很大的情況下仍可以較好地恢復恒模信號。

在這里有必要說明的是,權向量初值取W(0)=a(θ0)的基于線性約束的最小二乘恒模,即LC-LSCMA,在干擾信號強于期望信號15 dB左右以內時,能收斂到弱期望信號,但在強干擾下算法無法收斂到小期望信號。而本文提出的算法,在干擾信號強于期望信號35 dB時依然有效。

圖2 150°信號的波束形成圖和輸出SINR

圖3 100°信號的波束形成圖和輸出SINR

圖4 40°信號的波束形成圖和輸出SINR

圖5 幅相差對輸出SINR的影響

4 結束語

本算法將RLS算法與恒模相結合,通過用RLS算法產生初始權,繼而通過對權向量多項式求根獲得下一級的初始全向量,推導出一種RLSCMA方法。此方法：(1)在不需要進行正交化和多級對消情況下,解決了CMA多波束形成過程中對同一目標的重復收斂問題;(2)以較少的迭代次數、較小的計算量迅速收斂至不同期望權向量,對多路信號進行了良好的盲分離;(3)通過應用RLS算法產生初始權,在強干擾情況下對期望信號做到了良好的分離接收,提高了期望信號的輸出SINR。

但是因為要對權向量多項式求根,所以運算量有所增加;而且當實際系統中出現相關干擾時,此時該算法不能正常工作,必須進行修正。所以相關干擾環境下的多用戶分離問題還需要進一步研究。

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