高考函數問題的題型與解題方法

李嘉

一、函數的概念型問題

本部分的難點首先在于克服“函數就是解析式”的片面認識，真正明確不僅函數的對。應法則，而且其定義域都包含著對函數關系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導。其次在于確定函數三要素、求反函數等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函數有關概念的結合。

（一）深化對函數概念的認識

1.對函數單調性和奇偶性定義的理解

例3.下面四個結論：①偶函數的圖象一定與y軸相交；②奇函數的圖象一定通過原點；③偶函數的圖象關于y軸對稱；④既是奇函數又是偶函數的函數一定是f（x）=0（x∈R），其中正確命題的個數是 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：偶函數的圖象關于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤。

奇函數的圖象關于原點對稱，但不一定經過原點，因此②不正確。

若y=f（x）既是奇函數，又是偶函數，由定義可得f（x）=0，但不一定x∈R，如例1中的（3），故④錯誤，選A。

三、函數綜合應用

1.準確理解、熟練運用，不斷深化有關函數的基礎知識

例4.已知函數f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的個數是。（ ）

A.0 B.1 C.0或1 D.1或2

分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉化成熟悉的語言。從函數觀點看，問題是求函數y=f（x），x∈F的圖象與直線x=1的交點個數（這是一次數到形的轉化），不少學生常誤認為交點是1個，并說這是根據函數定義中“惟一確定”的規定得到的，這是不正確的，因為函數是由定義域、值域、對應法則三要素組成的。這里給出了函數y=f（x）的定義域是F，但未明確給出1與F的關系，當1∈F時有1個交點，當1不屬于F時沒有交點，所以選C。

2.掌握研究函數的方法，提高研究函數問題的能力

函數、方程、不等式是相互聯系的。對于函數f（x）與g（x），令f（x）=g（x），f（x）>g（x）或f（x）

例5.方程lgx+x=3的解所在區間為（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）

分析：在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象（如圖2）。它們的交點橫坐標，顯然在區間（1，3）內，由此可排除A，D。至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2<1，因此x0>2，從而判定x0∈（2，3），故本題應選C。

（作者單位：江西省吉安市永新縣禾川中學）

一、函數的概念型問題

本部分的難點首先在于克服“函數就是解析式”的片面認識，真正明確不僅函數的對。應法則，而且其定義域都包含著對函數關系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導。其次在于確定函數三要素、求反函數等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函數有關概念的結合。

（一）深化對函數概念的認識

1.對函數單調性和奇偶性定義的理解

例3.下面四個結論：①偶函數的圖象一定與y軸相交；②奇函數的圖象一定通過原點；③偶函數的圖象關于y軸對稱；④既是奇函數又是偶函數的函數一定是f（x）=0（x∈R），其中正確命題的個數是 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：偶函數的圖象關于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤。

奇函數的圖象關于原點對稱，但不一定經過原點，因此②不正確。

若y=f（x）既是奇函數，又是偶函數，由定義可得f（x）=0，但不一定x∈R，如例1中的（3），故④錯誤，選A。

三、函數綜合應用

1.準確理解、熟練運用，不斷深化有關函數的基礎知識

例4.已知函數f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的個數是。（ ）

A.0 B.1 C.0或1 D.1或2

分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉化成熟悉的語言。從函數觀點看，問題是求函數y=f（x），x∈F的圖象與直線x=1的交點個數（這是一次數到形的轉化），不少學生常誤認為交點是1個，并說這是根據函數定義中“惟一確定”的規定得到的，這是不正確的，因為函數是由定義域、值域、對應法則三要素組成的。這里給出了函數y=f（x）的定義域是F，但未明確給出1與F的關系，當1∈F時有1個交點，當1不屬于F時沒有交點，所以選C。

2.掌握研究函數的方法，提高研究函數問題的能力

函數、方程、不等式是相互聯系的。對于函數f（x）與g（x），令f（x）=g（x），f（x）>g（x）或f（x）

例5.方程lgx+x=3的解所在區間為（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）

分析：在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象（如圖2）。它們的交點橫坐標，顯然在區間（1，3）內，由此可排除A，D。至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2<1，因此x0>2，從而判定x0∈（2，3），故本題應選C。

（作者單位：江西省吉安市永新縣禾川中學）

一、函數的概念型問題

本部分的難點首先在于克服“函數就是解析式”的片面認識，真正明確不僅函數的對。應法則，而且其定義域都包含著對函數關系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導。其次在于確定函數三要素、求反函數等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函數有關概念的結合。

（一）深化對函數概念的認識

1.對函數單調性和奇偶性定義的理解

例3.下面四個結論：①偶函數的圖象一定與y軸相交；②奇函數的圖象一定通過原點；③偶函數的圖象關于y軸對稱；④既是奇函數又是偶函數的函數一定是f（x）=0（x∈R），其中正確命題的個數是 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：偶函數的圖象關于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤。

奇函數的圖象關于原點對稱，但不一定經過原點，因此②不正確。

若y=f（x）既是奇函數，又是偶函數，由定義可得f（x）=0，但不一定x∈R，如例1中的（3），故④錯誤，選A。

三、函數綜合應用

1.準確理解、熟練運用，不斷深化有關函數的基礎知識

例4.已知函數f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的個數是。（ ）

A.0 B.1 C.0或1 D.1或2

分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉化成熟悉的語言。從函數觀點看，問題是求函數y=f（x），x∈F的圖象與直線x=1的交點個數（這是一次數到形的轉化），不少學生常誤認為交點是1個，并說這是根據函數定義中“惟一確定”的規定得到的，這是不正確的，因為函數是由定義域、值域、對應法則三要素組成的。這里給出了函數y=f（x）的定義域是F，但未明確給出1與F的關系，當1∈F時有1個交點，當1不屬于F時沒有交點，所以選C。

2.掌握研究函數的方法，提高研究函數問題的能力

函數、方程、不等式是相互聯系的。對于函數f（x）與g（x），令f（x）=g（x），f（x）>g（x）或f（x）

例5.方程lgx+x=3的解所在區間為（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）

分析：在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象（如圖2）。它們的交點橫坐標，顯然在區間（1，3）內，由此可排除A，D。至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2<1，因此x0>2，從而判定x0∈（2，3），故本題應選C。

（作者單位：江西省吉安市永新縣禾川中學）