數形結合在數學中的應用

王小燕

【摘 要】數形結合在數學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數學本身特點、數學教學的內容，還是從采用數形結合解決數學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。本文在分析數形結合在數學應用中的重要作用及原則的基礎上，就這種方法的具體應用及注意事項進行了詳細地論述。

【關鍵詞】數形結合；數學；應用

數學發(fā)展史上，數和形都是如影隨形、難以割舍的。尤其是在現(xiàn)代代數和幾何，更是驗證了數和形的相輔相成的。統(tǒng)觀數學發(fā)展史，早期尤其科學發(fā)展受限，代數和幾何孤立發(fā)展起來，攜手并進的機會并不多，尤其是在16-17世紀，基本上幾何在數學領域占據著主導地位。后期偉大的科學家笛卡兒創(chuàng)造了解析幾何法——笛卡爾法，就是現(xiàn)代數學方法來研究幾何問題，由此創(chuàng)造了數形結合的先河——解析幾何，而其實際上就是數形結合方法在數學中的具體應用。

1.數形結合在數學應用中的重要作用

從上面的介紹來看，數形結合有著悠久的發(fā)展歷史。但是，就現(xiàn)在這種方法在數學中的實際應用并不是很常見，造成這種問題的原因是多種多樣的，加強這方面地教育更是勢在必行。

其一，從數學本身特點來看，基本上現(xiàn)實存在的每一個數學概念都有一個與之相關聯(lián)、對應的空間形式，可以說概念越抽象、越接近事物的本質，用圖形就能越容易反應出來。由此，從這個角度，決定著數形結合應用于數學之中尤其存在的必然性。

其二，采用數形結合解決數學問題，可以更加直觀、直接的解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的結果，尤其適用于解填空題和選擇題，可以說如果知道某一問題圖形背后蘊含的集合涵義，只要稍加推導就可徹底解決，得出確切的答案。由此，這種方法常常被應用于數學之中。

其三，從數學教學的內容來看，數學領域涉及的問題無外乎“數”和“形”。運用“數”、“形”結合的策略解決數學問題，可以有效發(fā)展學生思維的靈活性，提高學生解決問題的思路，對于素質教育倡導培養(yǎng)學生“分析問題”、“解決問題”的能力可謂是有著異曲同工之妙。

綜合上述介紹，將數形結合應用于數學之中，有著重要的現(xiàn)實意義。

2.數形結合在數學中應用的原則

（1）簡單性原則

（2）雙向性原則

（3）等價性原則

3.數形結合在數學中的具體應用

（1）數形結合在函數問題中的應用

函數圖形能夠形象的描述各變量之間的變化關系，通過研究圖形變化的分析，可以更好地理解函數的性質，便于學生分析問題、解決問題。

（2）數形結合在方程或者是不等式中的應用

方程或者是不等式所表達的數字意義較為抽象，采用數形結合的方法，可將其表達的意義具體化，使要解決的問題更便于理解。

比如求方程x2+4x+6=■解的個數，通過繪制函數y=x2+4x+6與y=■的圖象，可明顯看到兩個方程在圖象中只有一個交點，即方程x2+4x+6=■的解的個數，即函數x2+4x+6，y=■的圖象的交點個數，根據圖象得交點個數是1，故原方程有1個解。

（3）數形結合在幾何問題中的應用

幾何實際上就是數形結合的體現(xiàn)，將數形應用點、線、曲線性質及相互關系的研究中是非常重要的應用方法。

比如說：△ABC是一塊銳角三角形余料，邊AD=80毫米，BC=120毫米，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個定點分別在AB，AC上，設該矩形的長QM=y毫米，寬MN=x毫米.

（1）求證：y=120-■x；

（2）當x與y分別取什么值時，矩形PQMN的面積最大？最大面積是多少？

分析：

第一問：通過繪制圖形，可明顯由△APN∽△ABC得■=■，即■=■，y=120-■x。

第二問：設矩形PQMN的面積為S，則S=xy，即s=x（120-■x）=-■x2+120x

當x=40時，S有最大值為2400，此時y=60.

∴當x=40毫米時，y=60毫米時，矩形PQMN的面積最大，最大面積為2400平方毫米.

4.結論

總之，數形結合在數學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數學本身特點、數學教學的內容，還是從采用數形結合解決數學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。而在實際的應用中，還應該注意如下幾方面問題：

第一，保證“數”的準確性

數學中幾何圖形最大的優(yōu)點在于其直觀性，但是，數學問題的解決僅靠直觀性的憑空猜測顯然是無法得到解決的，由此，還必須要借助著“數”的準確性得出最終的答案。

第二，注意考慮問題的全面性

在實際問題的解決中，一個數學問題所對應的圖形可能不止一個。這個時候，就需要根據實際情況，劃出可能存在的圖形，并針對這些圖形分情況討論。

第三，注意數形間轉化的可行性

在數學問題的解答中，將復雜的問題轉換為簡單的、熟知的問題，從而將問題得到解決，就是所謂的轉化思想。但是，在實際數形轉化過程中，一定要注意相互轉化間是否具有可行性。

第四，注意數形結合的時效性

雖然說將數形結合應用于數學問題的解答中是一種較為重要的解題策略，但是，數形結合也有一定的時效性，換句話說，這種方法只有在特定的條件才可使用，如果條件改變適用性可能就會改變。

【參考文獻】

[1]黃忠順.數形結合思想在初中數學教學中的應用.學科教育研究[J].

[2]徐國央.數形結合思想在數學解題中的應用.寧波教育學院學報[J].2009年第11卷第一期：115

[3]任志鴻，徐明.三年高考兩年模擬[M].北京：學苑出版社，2006.23.45.

（作者單位：包頭鐵道職業(yè)技術學院）

【摘 要】數形結合在數學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數學本身特點、數學教學的內容，還是從采用數形結合解決數學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。本文在分析數形結合在數學應用中的重要作用及原則的基礎上，就這種方法的具體應用及注意事項進行了詳細地論述。

【關鍵詞】數形結合；數學；應用

數學發(fā)展史上，數和形都是如影隨形、難以割舍的。尤其是在現(xiàn)代代數和幾何，更是驗證了數和形的相輔相成的。統(tǒng)觀數學發(fā)展史，早期尤其科學發(fā)展受限，代數和幾何孤立發(fā)展起來，攜手并進的機會并不多，尤其是在16-17世紀，基本上幾何在數學領域占據著主導地位。后期偉大的科學家笛卡兒創(chuàng)造了解析幾何法——笛卡爾法，就是現(xiàn)代數學方法來研究幾何問題，由此創(chuàng)造了數形結合的先河——解析幾何，而其實際上就是數形結合方法在數學中的具體應用。

1.數形結合在數學應用中的重要作用

從上面的介紹來看，數形結合有著悠久的發(fā)展歷史。但是，就現(xiàn)在這種方法在數學中的實際應用并不是很常見，造成這種問題的原因是多種多樣的，加強這方面地教育更是勢在必行。

其一，從數學本身特點來看，基本上現(xiàn)實存在的每一個數學概念都有一個與之相關聯(lián)、對應的空間形式，可以說概念越抽象、越接近事物的本質，用圖形就能越容易反應出來。由此，從這個角度，決定著數形結合應用于數學之中尤其存在的必然性。

其二，采用數形結合解決數學問題，可以更加直觀、直接的解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的結果，尤其適用于解填空題和選擇題，可以說如果知道某一問題圖形背后蘊含的集合涵義，只要稍加推導就可徹底解決，得出確切的答案。由此，這種方法常常被應用于數學之中。

其三，從數學教學的內容來看，數學領域涉及的問題無外乎“數”和“形”。運用“數”、“形”結合的策略解決數學問題，可以有效發(fā)展學生思維的靈活性，提高學生解決問題的思路，對于素質教育倡導培養(yǎng)學生“分析問題”、“解決問題”的能力可謂是有著異曲同工之妙。

綜合上述介紹，將數形結合應用于數學之中，有著重要的現(xiàn)實意義。

2.數形結合在數學中應用的原則

（1）簡單性原則

（2）雙向性原則

（3）等價性原則

3.數形結合在數學中的具體應用

（1）數形結合在函數問題中的應用

函數圖形能夠形象的描述各變量之間的變化關系，通過研究圖形變化的分析，可以更好地理解函數的性質，便于學生分析問題、解決問題。

（2）數形結合在方程或者是不等式中的應用

方程或者是不等式所表達的數字意義較為抽象，采用數形結合的方法，可將其表達的意義具體化，使要解決的問題更便于理解。

比如求方程x2+4x+6=■解的個數，通過繪制函數y=x2+4x+6與y=■的圖象，可明顯看到兩個方程在圖象中只有一個交點，即方程x2+4x+6=■的解的個數，即函數x2+4x+6，y=■的圖象的交點個數，根據圖象得交點個數是1，故原方程有1個解。

（3）數形結合在幾何問題中的應用

幾何實際上就是數形結合的體現(xiàn)，將數形應用點、線、曲線性質及相互關系的研究中是非常重要的應用方法。

比如說：△ABC是一塊銳角三角形余料，邊AD=80毫米，BC=120毫米，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個定點分別在AB，AC上，設該矩形的長QM=y毫米，寬MN=x毫米.

（1）求證：y=120-■x；

（2）當x與y分別取什么值時，矩形PQMN的面積最大？最大面積是多少？

分析：

第一問：通過繪制圖形，可明顯由△APN∽△ABC得■=■，即■=■，y=120-■x。

第二問：設矩形PQMN的面積為S，則S=xy，即s=x（120-■x）=-■x2+120x

當x=40時，S有最大值為2400，此時y=60.

∴當x=40毫米時，y=60毫米時，矩形PQMN的面積最大，最大面積為2400平方毫米.

4.結論

總之，數形結合在數學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數學本身特點、數學教學的內容，還是從采用數形結合解決數學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。而在實際的應用中，還應該注意如下幾方面問題：

第一，保證“數”的準確性

數學中幾何圖形最大的優(yōu)點在于其直觀性，但是，數學問題的解決僅靠直觀性的憑空猜測顯然是無法得到解決的，由此，還必須要借助著“數”的準確性得出最終的答案。

第二，注意考慮問題的全面性

在實際問題的解決中，一個數學問題所對應的圖形可能不止一個。這個時候，就需要根據實際情況，劃出可能存在的圖形，并針對這些圖形分情況討論。

第三，注意數形間轉化的可行性

在數學問題的解答中，將復雜的問題轉換為簡單的、熟知的問題，從而將問題得到解決，就是所謂的轉化思想。但是，在實際數形轉化過程中，一定要注意相互轉化間是否具有可行性。

第四，注意數形結合的時效性

雖然說將數形結合應用于數學問題的解答中是一種較為重要的解題策略，但是，數形結合也有一定的時效性，換句話說，這種方法只有在特定的條件才可使用，如果條件改變適用性可能就會改變。

【參考文獻】

[1]黃忠順.數形結合思想在初中數學教學中的應用.學科教育研究[J].

[2]徐國央.數形結合思想在數學解題中的應用.寧波教育學院學報[J].2009年第11卷第一期：115

[3]任志鴻，徐明.三年高考兩年模擬[M].北京：學苑出版社，2006.23.45.

（作者單位：包頭鐵道職業(yè)技術學院）

【摘 要】數形結合在數學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數學本身特點、數學教學的內容，還是從采用數形結合解決數學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。本文在分析數形結合在數學應用中的重要作用及原則的基礎上，就這種方法的具體應用及注意事項進行了詳細地論述。

【關鍵詞】數形結合；數學；應用

數學發(fā)展史上，數和形都是如影隨形、難以割舍的。尤其是在現(xiàn)代代數和幾何，更是驗證了數和形的相輔相成的。統(tǒng)觀數學發(fā)展史，早期尤其科學發(fā)展受限，代數和幾何孤立發(fā)展起來，攜手并進的機會并不多，尤其是在16-17世紀，基本上幾何在數學領域占據著主導地位。后期偉大的科學家笛卡兒創(chuàng)造了解析幾何法——笛卡爾法，就是現(xiàn)代數學方法來研究幾何問題，由此創(chuàng)造了數形結合的先河——解析幾何，而其實際上就是數形結合方法在數學中的具體應用。

1.數形結合在數學應用中的重要作用

從上面的介紹來看，數形結合有著悠久的發(fā)展歷史。但是，就現(xiàn)在這種方法在數學中的實際應用并不是很常見，造成這種問題的原因是多種多樣的，加強這方面地教育更是勢在必行。

其一，從數學本身特點來看，基本上現(xiàn)實存在的每一個數學概念都有一個與之相關聯(lián)、對應的空間形式，可以說概念越抽象、越接近事物的本質，用圖形就能越容易反應出來。由此，從這個角度，決定著數形結合應用于數學之中尤其存在的必然性。

其二，采用數形結合解決數學問題，可以更加直觀、直接的解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的結果，尤其適用于解填空題和選擇題，可以說如果知道某一問題圖形背后蘊含的集合涵義，只要稍加推導就可徹底解決，得出確切的答案。由此，這種方法常常被應用于數學之中。

其三，從數學教學的內容來看，數學領域涉及的問題無外乎“數”和“形”。運用“數”、“形”結合的策略解決數學問題，可以有效發(fā)展學生思維的靈活性，提高學生解決問題的思路，對于素質教育倡導培養(yǎng)學生“分析問題”、“解決問題”的能力可謂是有著異曲同工之妙。

綜合上述介紹，將數形結合應用于數學之中，有著重要的現(xiàn)實意義。

2.數形結合在數學中應用的原則

（1）簡單性原則

（2）雙向性原則

（3）等價性原則

3.數形結合在數學中的具體應用

（1）數形結合在函數問題中的應用

函數圖形能夠形象的描述各變量之間的變化關系，通過研究圖形變化的分析，可以更好地理解函數的性質，便于學生分析問題、解決問題。

（2）數形結合在方程或者是不等式中的應用

方程或者是不等式所表達的數字意義較為抽象，采用數形結合的方法，可將其表達的意義具體化，使要解決的問題更便于理解。

比如求方程x2+4x+6=■解的個數，通過繪制函數y=x2+4x+6與y=■的圖象，可明顯看到兩個方程在圖象中只有一個交點，即方程x2+4x+6=■的解的個數，即函數x2+4x+6，y=■的圖象的交點個數，根據圖象得交點個數是1，故原方程有1個解。

（3）數形結合在幾何問題中的應用

幾何實際上就是數形結合的體現(xiàn)，將數形應用點、線、曲線性質及相互關系的研究中是非常重要的應用方法。

比如說：△ABC是一塊銳角三角形余料，邊AD=80毫米，BC=120毫米，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個定點分別在AB，AC上，設該矩形的長QM=y毫米，寬MN=x毫米.

（1）求證：y=120-■x；

（2）當x與y分別取什么值時，矩形PQMN的面積最大？最大面積是多少？

分析：

第一問：通過繪制圖形，可明顯由△APN∽△ABC得■=■，即■=■，y=120-■x。

第二問：設矩形PQMN的面積為S，則S=xy，即s=x（120-■x）=-■x2+120x

當x=40時，S有最大值為2400，此時y=60.

∴當x=40毫米時，y=60毫米時，矩形PQMN的面積最大，最大面積為2400平方毫米.

4.結論

總之，數形結合在數學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數學本身特點、數學教學的內容，還是從采用數形結合解決數學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。而在實際的應用中，還應該注意如下幾方面問題：

第一，保證“數”的準確性

數學中幾何圖形最大的優(yōu)點在于其直觀性，但是，數學問題的解決僅靠直觀性的憑空猜測顯然是無法得到解決的，由此，還必須要借助著“數”的準確性得出最終的答案。

第二，注意考慮問題的全面性

在實際問題的解決中，一個數學問題所對應的圖形可能不止一個。這個時候，就需要根據實際情況，劃出可能存在的圖形，并針對這些圖形分情況討論。

第三，注意數形間轉化的可行性

在數學問題的解答中，將復雜的問題轉換為簡單的、熟知的問題，從而將問題得到解決，就是所謂的轉化思想。但是，在實際數形轉化過程中，一定要注意相互轉化間是否具有可行性。

第四，注意數形結合的時效性

雖然說將數形結合應用于數學問題的解答中是一種較為重要的解題策略，但是，數形結合也有一定的時效性，換句話說，這種方法只有在特定的條件才可使用，如果條件改變適用性可能就會改變。

【參考文獻】

[1]黃忠順.數形結合思想在初中數學教學中的應用.學科教育研究[J].

[2]徐國央.數形結合思想在數學解題中的應用.寧波教育學院學報[J].2009年第11卷第一期：115

[3]任志鴻，徐明.三年高考兩年模擬[M].北京：學苑出版社，2006.23.45.

（作者單位：包頭鐵道職業(yè)技術學院）