芻議機械產品設計中的數學方法

王燕萍

（海南師范大學，海南 ?？?570100）

數學作為基礎學科，具有抽象性強、邏輯性強等特點。并且數學在解決實際問題上的作用較其他學科更為明顯。工業作為我國的支柱產業，其機械產品的設計應做到精確，數學知識的應用必不可少。科技的發展與數學教學之間存在著相互影響的關系，數學是促進科技發展的重要因素，而機械產品設計中數學的應用則是科技進步的重要表現。為了明確這一問題，文章對機械產品設計中數學的應用進行了具體的分析。

1 概率法在機械產品公差設計中的應用

1.1 應用原理分析

概率法在機械產品公差設計中的應用主要為間隙范圍的控制。由于零件尺寸的誤差通常為正態分布，因此可根據概率原理進行零件刪除。通過截尾的正態曲線便可顯示組成環尺寸分布情況，從而求出標準差與固有偏差。得到產品配合間隙的理論范圍，由于實際安裝過程中很難達到理想狀態，因此最終安裝間隙的確定小于理想范圍。設固有偏差U’小于設計值，零件設計尺寸按照下偏差范圍確定，從而根據主要設計公式求出方差和標準差，按照概率論下的誤差分布曲線確定實際偏差。其具體應用如下。

1.2 應用舉例

概率法是一種重要的數學方法，以研究隨機事件的概率為主，應用廣泛。而在機械產品設計過程中，公差配合與技術測量對設計過程的要求較高，概率法是分析其產品尺寸、設計誤差和配合間隙等參數的主要方法。例如對間隙配合Φ60H7/h6，其公差帶如圖所示。

假設零件的實際尺寸可以達到極限，則其間隙范圍為0～+49μm。而在實際工業產品生產中，能夠達到極限尺寸的概率極低。在機床規格相同或者刀具尺寸固定的情況下，被加工工件的實際尺寸大小或偏差將呈正態分布。也就是說，對于間隙配合Φ60H7/h6的工件來說，其孔、軸的平均偏差和平均間隙分別表示為：可表示為：

而孔、軸的均方差表示為：σx=30/6=5μm σy=19/6=3.2μm；從而根據存在的偏差可計算出零件間隙范圍為：+6.5～+42.5μm。其中最小間隙為+6.5μm，最大間隙為+42.5μm。與理想狀態下的間距范圍相比，范圍縮小。通過其發生概率和更多實驗證明，大多數零件在設計時其實際配合間隙尺寸范圍小于理想狀態下，從而說明了概率法在公差配合中的應用具有實際意義。另外，在特殊情況下，孔、軸的實際尺寸將呈非正態分布，根據實驗證明，此種情況下可按三角形分布或者梯形分布處理，此時將影響以上結果。因此在設計時應控制孔軸尺寸呈正態分布。

2 最小公倍數在齒輪齒數設計中的應用

齒輪通過與蝸桿、齒條等零件之間的傳動實現扭矩和轉速的改變。在機械工業中應用廣泛，實現了傳動效率的提高和傳動功率范圍的擴大。因此，作為機械產品中的重要傳動零件，齒輪的設計要求較高，尤其是輪齒參數的設定。輪齒是指齒輪上的凸起咬合部分，輪齒參數設計不合理將導致性能下降，從而出現破損。機械產品齒輪齒數的選擇上應在的確定確保最小分度圓直徑的前提下增加齒數提高重合度。數學中最小公倍數可用于計算和確定輪齒數。

例如：設齒輪主從動輪的齒數分別為Z1和Z2且Z1=40，Z2=70，由于40與70之間的最小公倍數為280，也就是說，主動輪每轉過7圈，就要和從動輪重合一次。這樣，咬合次數過多易造成齒輪磨損。因此依據最小公倍數原理，我們采取改變齒輪齒數，增加最小公倍數，改變傳動比的方法，如將該齒輪的齒數改為主動輪 41，從動輪 72，此時其傳動比為 72/41=1.75，滿足條件。而兩齒輪齒數之間的最小公倍數為41×72=2952。此時由于最小公倍數增大，說明當主動輪轉動72圈時才能與從動輪重合。因而降低磨損概率，提高齒輪的使用時間。并且，傳動比仍為1.75左右，我們在設計時也可盡量降低傳動比，實現齒輪性能提高。

3 總結

機械產品零件在設計時要求較高，原因在于其應用范圍廣泛且影響較大。一旦出現設計誤差或設計錯誤，將影響工業甚至軍事生產。因此，對于機械零件的設計過程應具備一定的方法。數學原理在解決實際問題的同時也在機械行業起到積極的作用。如文章提到的概率法在公差配合中的應用、最小公倍數在齒輪傳動比和輪齒數確定上的應用，都解決了機械產品設計不合理問題，也使機械產品的設計更容易，提高了設計效率和產品使用壽命。當然，數學在機械產品中的應用不僅限于此，在機床、模具甚至塔吊等大部分機械產品設計中應用廣泛。因此要求機械產品設計者包括維修人員懂得更多的數學知識，在產品設計上以及產品出現故障時，能夠及時根據數學原理采取一定的方案。

[1] 陳大春.淺談中等職校《機械制圖》課教學[J].職業技術.2009(06).

[2] M.F.SPOTTS.實用公差指南［M］.楊青，譯.中國計量出版社.