量子力學虛擬實驗教學

謝 勇

（大理學院工程學院，云南大理 671003）

量子力學研究的主要對象是波函數，而波函數的統計特性使得量子力學不能像經典物理學那樣，體系的測量不會改變它的狀態，它只有一種變化并按運動方程演進，運動方程對決定體系狀態的力學量做出確定的預言〔1〕。量子力學的數學應用、符號運算和矩陣運算都十分抽象，所以量子力學的教學一直是我們不斷總結和探討的問題。為了能有效提高量子力學的教學效率，有的學校采用了一些現代化的輔助教學措施〔2-3〕，部分學校做了一些教學模式、教學方法改革的嘗試〔4-6〕，均取得一定的效果。我們也采用過一些輔助措施來改進量子力學的教學〔7-8〕，但學生除了參與有限的課堂教學互動以外，就只能被動地去學習，不利于調動學生學習的積極性。近兩年，我們利用Mathematica和Matlab兩個平臺，為我校物理本科專業的學生開設了量子力學的虛擬實驗課，取得了一定的收效。本文將從量子力學的虛擬實驗平臺和量子力學虛擬實驗設計方面介紹我們的教改思路和教改實踐，以期能對同行的教學提供一個參考。

1 量子力學的虛擬實驗平臺

能夠實現虛擬實驗的平臺比較多，如遠程網絡系統，局域網絡系統和單機系統等等。由于我們的虛擬實驗是在單機上完成的，所以我們重點對單機虛擬實驗的設計平臺進行了比較研究。針對我校物理專業本科學生的實際，我們選擇了Matlab 和Mathematica兩個平臺。

1.1 Matlab 平臺經過不斷的系統更新，Matlab 已經從最初的實現程序庫接口功能發展成為現在的將高性能的數值計算和可視化集成在一起的大型數學計算軟件，已被廣泛地應用于科學計算、控制系統、信息處理等領域的分析、仿真和設計工作〔9〕。Matlab的語法簡單，編寫容易，而且我校物理本科專業的學生在二年級就選修過Matlab，對軟件有一定的了解，所以我們選擇了部分量子力學的虛擬實驗在Matlab上完成。

1.2 Mathematica 平臺Mathematica 是一款科學計算軟件，很好地結合了數值和符號計算引擎、圖形系統、編程語言、文本系統，以及與其他應用程序的高級連接。很多功能在相應領域內處于世界領先地位，它也是迄今為止使用最廣泛的數學軟件之一。

Mathematica擁有大量的內置函數，編程也很簡單，學生學習起來沒有太大困難。在Wolfram Research 公司的網站上有專門的Wolfram Demonstrations Project 和 Wolfram Library Archive 欄目，其中有大量的量子力學（Quantum Mechanics）模擬實驗或數學計算，以及相關的論文資料等，是很好的可利用資源。在教學中我們使用的是Mathematica 8.0的版本。

2 量子力學虛擬實驗教學

我們的學生沒有學過Mathematica，所以實驗之前，教師先對程序中用到的主要函數、語句和語法規則進行講解，然后讓學生自己將教師預編好的程序錄入計算機，并進行調試和運行。在程序能正確運行的情況下，按照實驗要求修改部分參數，完成實驗并記錄試驗結果。而對于Matlab 平臺的實驗，學生有一定的基礎，我們會要求學生設計實驗中的部分程序小段，然后調試和運行，修改實驗參數，完成實驗并記錄實驗結果。我校物理本科專業的《量子力學》開設64學時，其中我們安排了4個實驗，每個實驗2學時。下面我們挑選出2個實驗進行介紹和討論。

2.1 氫原子的電子云圖（Matlab）根據量子力學的不確定性原理，電子在空間所處的位置和動量是不能同時被準確測定的，所以，在量子力學中，電子并無嚴格的軌道概念，而只能研究其位置的分布概率。因此，我們只能利用某個點附近電子分布的概率密度來描述電子的運動，并把這種概率分布形象地稱為電子云。本實驗的主旨就是用Matlab 來模擬不同電子數、不同電子能態的電子云圖和氫原子核外電子的徑向概率分布。

實驗原理：氫原子最低的3 條能級的徑向波函數為〔10〕:

式中r為電子到原子核之間的距離，a為波爾半徑。以上波函數都應滿足歸一化條件，而且概率密度是無量綱的，所以上面3 個波函數對應的概率密度可表示為〔11〕：

實驗目的：①分別觀察電子數為20 000和2 000情況下1s，2s，3s能態對應的電子云圖和徑向概率密度分布；②選擇更少的電子數，觀察3個能態電子云圖的變化，直觀感受波函數的統計特性。

實驗步驟：①在Matlab 的編輯器中錄入編制好的模擬實驗程序，并在程序預留的“自行設計”區域，設計計算1s，2s，3s的徑向概率密度的程序，并繪制概率分布曲線；②調試程序；③運行程序，并復制在電子數為20 000 和2 000 情況下3 個能態的電子云圖和徑向概率密度分布圖；④自由選擇電子數（少于2 000），觀察實驗結果；⑤完成實驗報告。

實驗結果：實驗結果如圖1～3 所示。由圖1 和圖3 可明顯看出電子云圖的差異，這充分顯示了波函數的統計特性，對電子云圖也有了更好的理解。

在實驗的最后，我們要求同學選擇更少的電子數（2 000 以下）來查看電子云圖的分布，加深學生對波函數統計詮釋的理解。

圖1 電子數為20 000時的電子云圖

圖2 1s，2s，3s態的電子徑向概率分布

圖3 電子數為2 000時的電子云圖

2.2 估測一維諧振子的能量本征值（Mathematica）粒子處在勢場中的能量本征方程是量子力學的基本方程之一。求解能量本征方程的目的就是要找出能量本征值和能量本征函數。通常，一維諧振子的能量本征值是通過解Hermite 方程或者使用升降算符的代數解法得到的〔12-14〕。解Hermite 方程的過程很復雜，學生接受起來很吃力。代數解法雖然相對容易些，但我們教學中使用的是曾謹言編著的《量子力學教程》第二版，代數解法安排在第九章，而一維諧振子是第二章的內容〔15〕。為了幫助學生更好地理解能量本征方程的意義，我們在Mathematica 平臺上為學生設計了一個用打靶法（shooting method）〔16〕解一維諧振子能量本征值的虛擬實驗。

實驗原理：一維諧振子的能量本征方程為

式中μ為經典諧振子的質量，w0是其自然頻率。為了便于求數值解，我們將方程（1）標度化，可得

式中ε為標度方程（2）的本征值。

束縛態的波函數是有界的，所以解方程（2）的邊界條件是ψ(±∞)→0 。按照shooting method 的思路，我們可以在ε=1，3等點的左右附近求出ψ～z的分布圖，根據圖形的變化情況以及曲線的交叉點數來確定ε=1，3是否是標度方程（2）的本征值。

實驗目的：①熟悉利用NDSolve 函數求解標度方程的數值積分；②進一步熟悉Mathematica 的使用；③熟悉shooting method的解題方法。

實驗步驟：①將教師編制好的程序錄入計算機，并調試至正常運行；②估算基態的本征值：首先猜解ε=0.99，繪出ψ～z曲線，然后再猜解ε=1.01，繪出ψ～z曲線，觀察曲線是否出現翻轉。最后驗證ε=1 是否就是標度方程的本征值；③求ε=3 的數值解并繪出ψ～z曲線，觀察曲線是否有而且僅有一個交叉點（node）；④將ε=1、3的波函數歸一化。

實驗結果：如預期的一樣，在ε=0.99和ε=1.01兩個點的ψ～z曲線出現了翻轉；ε=3 時，ψ～z曲線上有且僅有一個交叉點。結果如圖4～9所示。

圖4 ε=0.99

圖5 ε=1.01

圖6 ε=1.0

圖7 ε=3.0

圖8 ε=1.0歸一化波函數

圖9 ε=3.0歸一化波函數

3 總結

在本校物理本科專業的量子力學教學中，我們進行了虛擬實驗的教學嘗試，共設計了電子雙縫衍射、估測一維諧振子的能量本征值、隧道效應，以及氫原子的電子云圖等4個實驗。為了鍛煉學生的動手能力，我們并沒有使用Matlab 的GUI 模塊對實驗進行封裝，而是采用完全開放的實驗方式。教學中我們發現，學生對虛擬實驗的熱情很高。為了做好實驗，不少學生還在網絡上查閱相關的文獻資料，在實驗中也能提出一些平時不關心的專業問題。在期末考試我們發現，與虛擬實驗相關的內容，學生的正答率很高。

量子力學是一門與經典物理學大相徑庭、抽象、數學依賴性很強的課程，其教學一直是個難點。虛擬實驗教學的引入，可以幫助調整學生學習的心理和學習態度，開闊學生的視野，對量子力學的教學起到了較好的促進作用。

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