基于擴展有限元的Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋開裂角分析

李麗丹，磨季云

(武漢科技大學理學院，湖北 武漢，430065)

結構中存在的或演化過程中出現的諸如節理、裂紋和孔隙等非連續性局部結構往往對整個結構的失穩或破壞起著關鍵作用。對這些非連續性結構部位的分析是目前結構工程分析的熱點和難點[1]。對于靜態不連續問題，現有的數值分析方法均能有效地進行分析，而對于動態不連續問題，傳統有限元法存在一些弊端。1999年，Belycshko等[2]在傳統有限元法的基礎上進行了重要改進，提出了擴展有限元法(Extended Finite Element Method，XFEM)，它允許單元內部的位移場出現間斷，從而實現了裂縫在單元內部的任意傳播，克服了傳統方法的諸多缺陷。十幾年來擴展有限元法不斷發展完善，逐漸成為了一種處理非連續場、斷裂等復雜力學問題的新方法[3-4]。

本文將擴展有限元法應用于研究Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋擴展問題。主要利用二維擴展有限元的基本原理在ABAQUS上模擬了單向拉伸薄板的中心斜裂紋和三點彎曲梁的偏裂紋起裂的開裂角，并與斷裂力學中的理論解進行了對比，證明了擴展有限元方法對裂紋擴展模擬的有效性。

1 斷裂問題的擴展有限元模擬

擴展有限元法與傳統有限元方法在流程上是相同的，區別在于擴展有限元采用水平集方法來描述單元內部的裂縫間斷，因此XFEM方法的單元形函數是非連續的擴充形函數，這使得在求解單元剛度方程時必須解決間斷函數的積分問題。

1.1 水平集方法

水平集方法是一種用來追蹤間斷(如裂紋、界面等)運動的數值方法。假設位于2個單元內部的裂縫(見圖1)方程為f(x)=0，則其形式可表示為

(1)

f(x)的物理意義是計算域內任意一點的符號距離函數等于從這一點到間斷點的最短距離，并且間斷兩邊的點具有不同的符號。

圖1 f和g表示的二維裂紋

1.2 擴充形函數

對于被裂紋完全穿過的單元和裂尖周圍的節點，分別使用兩種不同的擴充形函數，如圖2所示。含裂紋二維平板的位移場可以表示為

(2)

(3)

(4)

1.3 不連續函數的積分

采用子區域積分法對不連續場精確積分。在ΩΓ區域，裂縫將單元分為2個子域。為便于積分，將每個子域的形心點與該子域每邊的中點相連，由此將該子域劃成幾個四邊形單元，如圖3所示，從而不連續函數的積分就等于所有四邊形單元內積分的和。在ΩΛ區域，將不連續縫頂點與該單元另外三邊的中點相連，由此將該單元劃成4個四邊形單元，如圖4所示，從而不連續函數的積分就等于4個四邊形單元內積分的和[5]。

圖3 ΩΓ單元子區域

圖4 ΩΛ單元子區域

2 算例

2.1 單向拉伸板Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋開裂角的計算

如圖5所示，一長為L、寬為W的矩形板，中心有長度為2a的裂紋，上下端受軸向均布拉伸荷載σ的作用。L=10 m，W=5 m，σ=1 kPa，板的彈性模量取70 GPa，泊松比為0.33，裂紋長度2a為1 m。按平面應變問題計算本算例。

圖5 中心含斜裂紋的受拉板

分別取裂紋角β=30°和β=60°，用ABAQUS進行模擬，可得裂紋開裂后的變形圖，如圖6、圖7所示。

圖6 β為30°時裂紋擴展的有限元模型及開裂角示意圖

圖7 β為60°時裂紋擴展的有限元模型及開裂角示意圖

該問題按最大環向拉應力理論計算，其解[6]為

sinθ0+(3cosθ0-1)cotβ=0

(5)

由式(5)計算可得開裂角的理論值，將其與本文的模擬值進行對比，結果如表1所示。由表1可知，模擬值與理論值的相對誤差均不超過5%，可見利用擴展有限元方法進行模擬，可以較精確地計算出有限大板中心斜裂紋的初始開裂角。

表1斜裂紋單項拉伸開裂角θ0

Table1Crackingangleθ0ofangle-crackedplateundertension

βθ0/(°)/%30°60.2°63.1 °1.8360°43.2°41.5 °3.94

2.2 三點彎曲梁Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋開裂角的計算

圖8 復合型裂紋梁受力示意圖

本文沖擊載荷以速度形式加載[7-8]，用ABAQUS進行模擬，得到裂紋擴展的變形圖如圖9所示。

圖9 裂紋擴展路徑

自起裂開始，裂紋便往偏向加載點一側的方向擴展，這體現了混合型裂紋的特征。裂紋擴展路徑與豎直方向的平均夾角α如圖10所示。測量可得α≈21°，與文獻[1]中提到的實驗數據22°較接近。

圖10 裂紋擴展路徑與豎直方向的平均夾角

Fig.10Averageanglewiththeverticaldirectionofthecrackpropagationpath

計算中使用的是規則的正方形網格，而裂紋的擴展路徑呈曲折狀，擴展有限元允許裂紋在單元內部和穿過單元，不需要對網格進行重新剖分，節省了計算成本，這是擴展有限元獨特的優勢，可以精確捕捉真實的裂紋擴展形貌。

3 結語

擴展有限元相對傳統有限元而言，在模擬不連續問題中具有明顯的優勢。采用擴展有限元法，不連續面與網格無關，既方便了前處理，也便于計算，無須因不連續面的變化而改變計算網格。擴展有限元法能很好地模擬Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋初始擴展方向，路徑不依賴于單元邊界，裂縫是從單元內部斷開，更符合工程實際，可以作為分析Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋開裂角的有力工具。

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[8] Song J,Belytschko T.Dynamic fracture of shells subjected to impulsive loads[J]．Journal of Applied Mechanics，2009，76：051301-051302．