Sen’s斜率估計與Mann-Kendall法在設備運行趨勢分析中的應用

汪 攀, 劉毅敏

(武漢科技大學信息科學與工程學院，湖北 武漢，430081)

設備故障嚴重影響企業的市場競爭力。在設備發生故障后才進行維修，不但增加了檢修時間，還提高了備件成本，給生產帶來很大影響，而基于設備狀態監測的預防性維修則可以有效地避免過剩維修或維修不足[1]。

設備運行狀態的趨勢分析是基于狀態監測的預防性維修的重要基礎。設備出現故障前都會有一些可以觀察到的信號(如溫度、振動、噪聲等)變化，這些信號屬于時間序列。時間序列的趨勢分析通常采用線性回歸算法，但這種算法的斜率受異常值的影響較大[2]。而在實際生產中，設備運行狀態數據的分布特征不明確，且在設備運行過程中受環境等因素的影響，其可能存在部分異常值，因此采用線性回歸算法不能得到精確的分析結果。非參數檢驗法Sen’s斜率估計法和Mann-Kendall法則不受異常值的影響，更適宜于存在異常值的時間序列的趨勢分析。Sen’s斜率估計法計算的是序列斜率對的中值，抗噪性強，但不能實現序列趨勢的顯著性判斷。非參數檢驗Mann-Kendall法不需要樣本遵從一定的分布，可以實現序列趨勢的顯著性判斷，但不能得到序列的斜率[2]。因此，本文采用Sen’s斜率估計與Mann-Kendall法相結合的方法來分析設備的運行趨勢。

1 預防性維修系統框圖

預防性維修系統采用離線數據來評估設備的狀態，其流程如圖1所示。

圖1 預防性維修系統流程Fig.1 Flow chart of the preventive maintenance system

2 Sen’s斜率估計

采用Sen’s斜率估計法計算序列的斜率β。斜率β表示此序列的平均變化率以及時間序列的趨勢，當β>0時，序列呈上升趨勢；當β=0時，序列趨勢不明顯；當β<0時，序列呈下降趨勢。

對于時間序列xt=(x1,x2,…,xn)，Sen’s斜率的計算公式為

?j>i

(1)

式中：Median為取中值函數。

3 Mann-Kendall法檢驗

采用Mann-Kendall法判斷序列的突變點以及每段區間的趨勢情況，實現序列的顯著性判斷。

3.1 檢驗序列的趨勢

對時間序列xt=(x1,x2,…,xn)作如下假設[3]：

(1)H0假設。假設序列中的數據為獨立同分布隨機樣本，即無顯著趨勢。

(2)H1假設。假設序列存在上升或下降單調趨勢。

在H0假設下，定義檢驗統計量S為

(2)

式(2)中，當n≥10時，統計量S近似服從正態分布。將S標準化得到Z，利用統計檢驗值Z進行顯著性檢驗，其公式如下:

(3)

其中，

var(S)=(n(n-1)(2n+5)-

(4)

式中：n為序列中數據的個數；m為序列中結(重復出現的數據組)的個數；ti為結的寬度(第i組重復數據組中的重復數據個數)。

采用雙邊趨勢檢驗，在給定顯著水平α下，當|Z|≤Z1-α/2時，接受H0假設，即趨勢不顯著；否則接受H1假設，即Z>Z1-α/2表明序列呈顯著上升趨勢，Z<-Z1-α/2表明序列呈顯著下降趨勢。

3.2 檢驗序列的突變點

構造一個序列[4]：

(5)

定義統計變量：

(6)

其中，UF1=0，E(Sk)=(k(k+1))/4，var(Sk)=(k(k-1)(2k+5))/72。

UFk為標準正態分布，是按時間序列x的順序(x1,x2,…,xn)計算出的統計量序列。給定顯著性水平α，查正態分布表，若|UFk|>Uα，則表明序列存在明顯的趨勢變化。按時間序列x的逆序(xn,…,x2,x1)，重復上述過程，同時使UBk=-UFk，k=(n,n-1,…,1) ，UB1=0。通過分析序列x可以進一步分析序列的變化趨勢。當UFk或UBk的值大于0時，則表明序列呈上升趨勢，其值小于0則表明呈下降趨勢。當統計量UFk或UBk的值超過顯著性水平范圍時，表明上升或下降趨勢顯著。當UFk和UBk兩條曲線出現交點，且交點在臨界線之間，那么交點對應的時刻便是突變開始的時刻。

4 設備運行趨勢分析實例

4.1 數據來源

某企業有一套設備運行狀態監測系統，負責全廠2000余臺設備狀態數據的采集。本文使用的數據來自該企業某個油泵2013年12月1日至2013年12月30日期間設備運行時的軸承前端L值、軸承前端水平振動值和軸承前端溫度值(以下分別簡稱為L值、振動值和溫度值)的記錄。其中，L值是指由瑞典Vibrationsteknik AB公司生產的VTM36軸承狀態檢測儀所特有的L-方法測定的軸承狀態值。

4.2 一元線性回歸分析

首先對軸承L值、振動值、溫度值的時間序列進行一元線性擬合，結果如圖2～圖4所示。從圖2～圖4可以看出，軸承L值、振動值、溫度值均呈上升趨勢。

線性擬合結果的斜率k表示各值的平均變化率。定義趨勢幅度p為

p=(n-1)k

(7)

圖2 軸承L值一元線性擬合曲線Fig.2 Linear fitting curves of the L value for the bearing

圖3 軸承振動值一元線性擬合曲線

Fig.3Linearfittingcurvesofvibrationvalueforthebearing

圖4 軸承溫度值一元線性擬合曲線Fig.4 Linear fitting curves of temperature for the bearing

序列的一元線性回歸分析結果如表1所示。

表1軸承L值、振動值和溫度值的一元線性回歸分析結果

Table1LinearregressionanalysisresultsofLvalue,vibrationvalueandtemperatureforthebearing

一元線性回歸方程斜率k30天趨勢幅度p趨勢L值y=0.0084x+0.55080.00840.243上升振動值y=0.0285x+2.78290.02850.827上升溫度值y=0.157x+32.39050.15704.553上升

4.3 Sen’s斜率估計與Mann-Kendall法分析

本實例中時間序列長度為30，采用統計量Z來進行趨勢檢驗，檢驗中取顯著性水平α=0.05,Z1-α/2=Z0.975=1.96。

由Sen’s斜率估計計算得到斜率β的值。

定義趨勢幅度為

p=(n-1)β

(8)

采用Mann-Kendall法對該序列進行仿真，結果如圖5～圖7所示。觀察圖5～圖7的UFk統計量曲線可知軸承L值、振動值和溫度值在每個時間段的變化趨勢，大于零的區域為上升趨勢，小于零的區域為下降趨勢。UFk與UBk曲線在顯著水平線以內的交點便是序列的突變點。

從圖5可以看出，L值在第8個測量點(2013年12月8日)開始突變，從第14個測量點(2013年12月14日)開始呈顯著上升趨勢。

圖5 軸承L值的Mann-Kendall 統計曲線

Fig.5Mann-KendallstatisticalcurvesofLvalueforthebearing

圖6 軸承振動值的Mann-Kendall 統計曲線

Fig.6Mann-Kendallstatisticalcurvesofvibrationvalueforthebearing

圖7 軸承溫度值的Mann-Kendall 統計曲線

Fig.7Mann-Kendallstatisticalcurvesoftemperatureforthebearing

從圖6可以看出，振動值在第3個測量點(2013年12月3日)開始突變，并從此時開始，呈上升趨勢 。從第6個測量點(2013年12月6日)到第15個測量點(2013年12月15日)間，序列呈顯著上升趨勢。

從圖7可以看出，溫度值在第1個測量點(2013年12月1日)到第14個測量點(2013年12月14日)間，序列呈下降趨勢，尤其在第6和第7個測量點(2013年12月6日、7日)，序列呈顯著下降趨勢；從第15個測量點(2013年12月15日)開始，序列呈上升趨勢。

Sen’s斜率估計和Mann-Kendall檢驗的結果如表2所示。

表2 軸承L值、振動值和溫度值的Sen’s斜率估計與Mann-Kendall分析結果Table 2 Analysis results based on Mann-Kendall and Sen’s slope methods of L value,vibration value and temperature for the bearing

注：*表示通過了0.05顯著性檢驗。

比較表1和表2可知， Sen’s斜率估計與Mann-Kendall法相結合的方法用于分析設備運行趨勢時，得到的趨勢結果與一元線性回歸得到的趨勢結果一致，軸承L值、振動值、溫度值均呈上升趨勢，其中L值呈顯著上升;L值、振動值、溫度值在30 d內的增幅分別為0.240、0.362、4.260，與一元線性回歸得到的相應值僅分別相差0.003、0.465、0.293，差值較小，表明本文方法具有可行性。

4.4 設備運行趨勢分析

采用本文方法對設備運行趨勢進行分析。定義幅度變化率R為

R=p/E

(9)

式中：E為該序列的平均值。

式(9)中，R>0表示序列呈上升趨勢，R<0表示序列呈下降趨勢。該企業根據設備維修歷史數據以及長期的維修經驗，總結出了設備出現或者將要出現問題時的軸承L值、振動值和溫度值的幅度變化率閾值分別約為20%、20%和30%，幅度變化率超過閾值時，表明設備運行趨勢差。

軸承L值、振動值和溫度值中，只要有一個指標的趨勢結果為差，就進入邏輯分析模塊，依據一系列邏輯分析，判斷該設備是否需要檢修，并最終生成檢修報表。由Sen’s斜率估計和Mann-Kendall法對該企業油泵的運行趨勢進行分析，結果如表3所示。由表3可知，該設備軸承振動值、溫度值的幅度變化率均在正常范圍內，但軸承L值趨勢幅度變化率達到了36.41%，超過了其閾值(20%)，故該設備須進入邏輯分析模塊，對其需要進行何種檢修進行決策。

表3 設備趨勢分析結果Table 3 Results of equipment trend analysis

5 結語

將Sen’s斜率估計與Mann-Kendall法相結合用于設備運行趨勢的分析，由Sen’s斜率估計法計算時間序列的斜率，實現序列的趨勢幅度估計，由Mann-Kendall法獲得序列的突變時間及實現序列趨勢的顯著性分析，既可獲得與一元線性回歸法一致的結果，又可避免一元線性回歸法受設備運行參數異常值影響的缺陷，適用于設備運行狀態的趨勢分析，可在基于狀態監測的預防性維修工作中推廣應用。

[1] 秦濤.基于狀態監測的鐵路線路預防性維修策略研究[D].北京：清華大學，2012:8-9．

[2] 陳水蓉．趨勢分析在水質管理中的應用研究[D]．天津：天津師范大學，2010：16-19.

[3] 張愛靜．東北地區流域徑流對氣候變化與人類活動的響應特征研究[D]．大連：大連理工大學，2013：30-32．

[4] 魏鳳英．現代氣候統計診斷與預測技術[M]．北京：氣象出版社，1999:69-71．