等比數列中的函數思想

周虎

數列是中學數學重要的基礎內容之一，在平時的教學中要加強學生對概念的深入理解，如果我們從函數的角度去研究數列，加強函數思想在數列中的應用教學，使學生理解數列是函數概念的繼續和延伸，它可以看作是以正整數集或它的有限子集為定義域的函數，數列與函數之間是特殊到一般的關系.通過對數列中的函數知識的應用，可以使學生對函數思想有更深刻的認識和理解，使所學的知識融會貫通，有效地提高學生的思維能力.

一、在等比數列中建立恰當的目標函數

在等比數列求和中，通過建立目標函數利用待定系數法使解題過程更加簡便，同時避開了繁瑣的計算過程.

例1：在等比數列中，前n項和為Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本題的常規解法是用等比數列求和公式Sn=■列出關于a1和q的方程組，解出a1和q，但計算繁瑣.若考慮到等比數列的前n項和Sn= ■=■-■.qn，設A=-■，則可以考慮建立目標函數 Sn=Aqn-A（A為待定系數），從而優化了解題過程.

解：設 Sn=Aqn-A，則S2=Aq2-2，∴Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， ∴Aq4-A=15 （2）

列方程組解（1）（2）得，A=1，q=±2

∴Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1

評述：此題如果注意到等比數列前n項和Sn可寫成Sn=Aqn-A（A為待定系數）的形式，解題方法顯得巧妙一些.通過對這道題的仔細講解讓學生理解函數思想在數列中的應用，在今后解數列題時要巧妙的使用函數方法.

函數的觀點解決數列問題，不僅是解決數列問題的重要途徑，也是提高數學解題能力的重要一環.用函數思想解數列問題時，不僅要用到函數的形式，更重要的是應用函數的思想方法通過構造函數，借助與函數性質及圖像來解決問題，會有事半功倍的效果.

二、利用函數的性質解決等比數列問題

利用函數的單調性解決數列中的問題，會使得一道難題變得更簡單.利用函數的一些性質解答數列題中同樣如此.所以在解數列題時要思維活躍，多鼓勵學生一題多解，不斷的去探索數列與函數的異同點.

例2：已知數列a■的通項a■=（n+1）· （■）■（n∈N*），試問該數列a■有沒有最大項？若有求出最大項的項數，若沒有說明理由.

解題思路：由于該數列不是直接與等比數列相關的數列，形式看起來比較復雜，但若從函數角度，可利用函數單調性來研究.

解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■

當n<9時，a■n+1-a■>0，即a■n+1>a■

當n=9時，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■

當n>9時，a■n+1-a■<0，即a■n+1

故a1a11>a12>…這說明數列a■中存在最大項，為第9項或第10項.

評述：本題也可以化歸為解不等式組a■>a■a■≥a■來解決，但計算繁瑣，而利用函數的單調性更能發現數列的變化趨勢，顯得更簡捷.利用函數的相關性質來解決數列問題，降低了試題的難度，通過對這些題的研究，讓學生更加理解了函數與數列的特殊關系.

在解題中巧妙地使用函數思想會大大地降低解題難度，尤其是在一些比較復雜的數列題中。如果聯想到了題目考查函數的某些性質，那解題就是很容易的事，經常讓學生去探索它們的聯系，不僅提高了學生的解題速度，更重要的是培養了學生的思維能力.要告訴學生，不能夠為解題而解題，要多去思考探究中學數學中各知識點之間的聯系，要挖掘各知識點之間的異同點，達到對所學內容融會貫通真正的把所學的知識運用到實際生活中.

責任編輯 羅 峰

數列是中學數學重要的基礎內容之一，在平時的教學中要加強學生對概念的深入理解，如果我們從函數的角度去研究數列，加強函數思想在數列中的應用教學，使學生理解數列是函數概念的繼續和延伸，它可以看作是以正整數集或它的有限子集為定義域的函數，數列與函數之間是特殊到一般的關系.通過對數列中的函數知識的應用，可以使學生對函數思想有更深刻的認識和理解，使所學的知識融會貫通，有效地提高學生的思維能力.

一、在等比數列中建立恰當的目標函數

在等比數列求和中，通過建立目標函數利用待定系數法使解題過程更加簡便，同時避開了繁瑣的計算過程.

例1：在等比數列中，前n項和為Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本題的常規解法是用等比數列求和公式Sn=■列出關于a1和q的方程組，解出a1和q，但計算繁瑣.若考慮到等比數列的前n項和Sn= ■=■-■.qn，設A=-■，則可以考慮建立目標函數 Sn=Aqn-A（A為待定系數），從而優化了解題過程.

解：設 Sn=Aqn-A，則S2=Aq2-2，∴Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， ∴Aq4-A=15 （2）

列方程組解（1）（2）得，A=1，q=±2

∴Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1

評述：此題如果注意到等比數列前n項和Sn可寫成Sn=Aqn-A（A為待定系數）的形式，解題方法顯得巧妙一些.通過對這道題的仔細講解讓學生理解函數思想在數列中的應用，在今后解數列題時要巧妙的使用函數方法.

函數的觀點解決數列問題，不僅是解決數列問題的重要途徑，也是提高數學解題能力的重要一環.用函數思想解數列問題時，不僅要用到函數的形式，更重要的是應用函數的思想方法通過構造函數，借助與函數性質及圖像來解決問題，會有事半功倍的效果.

二、利用函數的性質解決等比數列問題

利用函數的單調性解決數列中的問題，會使得一道難題變得更簡單.利用函數的一些性質解答數列題中同樣如此.所以在解數列題時要思維活躍，多鼓勵學生一題多解，不斷的去探索數列與函數的異同點.

例2：已知數列a■的通項a■=（n+1）· （■）■（n∈N*），試問該數列a■有沒有最大項？若有求出最大項的項數，若沒有說明理由.

解題思路：由于該數列不是直接與等比數列相關的數列，形式看起來比較復雜，但若從函數角度，可利用函數單調性來研究.

解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■

當n<9時，a■n+1-a■>0，即a■n+1>a■

當n=9時，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■

當n>9時，a■n+1-a■<0，即a■n+1

故a1a11>a12>…這說明數列a■中存在最大項，為第9項或第10項.

評述：本題也可以化歸為解不等式組a■>a■a■≥a■來解決，但計算繁瑣，而利用函數的單調性更能發現數列的變化趨勢，顯得更簡捷.利用函數的相關性質來解決數列問題，降低了試題的難度，通過對這些題的研究，讓學生更加理解了函數與數列的特殊關系.

在解題中巧妙地使用函數思想會大大地降低解題難度，尤其是在一些比較復雜的數列題中。如果聯想到了題目考查函數的某些性質，那解題就是很容易的事，經常讓學生去探索它們的聯系，不僅提高了學生的解題速度，更重要的是培養了學生的思維能力.要告訴學生，不能夠為解題而解題，要多去思考探究中學數學中各知識點之間的聯系，要挖掘各知識點之間的異同點，達到對所學內容融會貫通真正的把所學的知識運用到實際生活中.

責任編輯 羅 峰

數列是中學數學重要的基礎內容之一，在平時的教學中要加強學生對概念的深入理解，如果我們從函數的角度去研究數列，加強函數思想在數列中的應用教學，使學生理解數列是函數概念的繼續和延伸，它可以看作是以正整數集或它的有限子集為定義域的函數，數列與函數之間是特殊到一般的關系.通過對數列中的函數知識的應用，可以使學生對函數思想有更深刻的認識和理解，使所學的知識融會貫通，有效地提高學生的思維能力.

一、在等比數列中建立恰當的目標函數

在等比數列求和中，通過建立目標函數利用待定系數法使解題過程更加簡便，同時避開了繁瑣的計算過程.

例1：在等比數列中，前n項和為Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本題的常規解法是用等比數列求和公式Sn=■列出關于a1和q的方程組，解出a1和q，但計算繁瑣.若考慮到等比數列的前n項和Sn= ■=■-■.qn，設A=-■，則可以考慮建立目標函數 Sn=Aqn-A（A為待定系數），從而優化了解題過程.

解：設 Sn=Aqn-A，則S2=Aq2-2，∴Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， ∴Aq4-A=15 （2）

列方程組解（1）（2）得，A=1，q=±2

∴Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1

評述：此題如果注意到等比數列前n項和Sn可寫成Sn=Aqn-A（A為待定系數）的形式，解題方法顯得巧妙一些.通過對這道題的仔細講解讓學生理解函數思想在數列中的應用，在今后解數列題時要巧妙的使用函數方法.

函數的觀點解決數列問題，不僅是解決數列問題的重要途徑，也是提高數學解題能力的重要一環.用函數思想解數列問題時，不僅要用到函數的形式，更重要的是應用函數的思想方法通過構造函數，借助與函數性質及圖像來解決問題，會有事半功倍的效果.

二、利用函數的性質解決等比數列問題

利用函數的單調性解決數列中的問題，會使得一道難題變得更簡單.利用函數的一些性質解答數列題中同樣如此.所以在解數列題時要思維活躍，多鼓勵學生一題多解，不斷的去探索數列與函數的異同點.

例2：已知數列a■的通項a■=（n+1）· （■）■（n∈N*），試問該數列a■有沒有最大項？若有求出最大項的項數，若沒有說明理由.

解題思路：由于該數列不是直接與等比數列相關的數列，形式看起來比較復雜，但若從函數角度，可利用函數單調性來研究.

解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■

當n<9時，a■n+1-a■>0，即a■n+1>a■

當n=9時，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■

當n>9時，a■n+1-a■<0，即a■n+1

故a1a11>a12>…這說明數列a■中存在最大項，為第9項或第10項.

評述：本題也可以化歸為解不等式組a■>a■a■≥a■來解決，但計算繁瑣，而利用函數的單調性更能發現數列的變化趨勢，顯得更簡捷.利用函數的相關性質來解決數列問題，降低了試題的難度，通過對這些題的研究，讓學生更加理解了函數與數列的特殊關系.

在解題中巧妙地使用函數思想會大大地降低解題難度，尤其是在一些比較復雜的數列題中。如果聯想到了題目考查函數的某些性質，那解題就是很容易的事，經常讓學生去探索它們的聯系，不僅提高了學生的解題速度，更重要的是培養了學生的思維能力.要告訴學生，不能夠為解題而解題，要多去思考探究中學數學中各知識點之間的聯系，要挖掘各知識點之間的異同點，達到對所學內容融會貫通真正的把所學的知識運用到實際生活中.

責任編輯 羅 峰