非極限狀態擋土墻土壓力計算

胡俊強 ，陳建功 ，張永興

(1. 重慶大學 土木工程學院，重慶，400045；2. 重慶大學 山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶，400045)

目前，擋土墻土壓力計算大多采用朗肯土壓力理論和庫侖土壓力理論，因其計算簡單和力學概念明確得到工程界認可及廣泛應用[1-2]。在繼庫侖和朗肯土壓力理論之后，對于平移模式下擋土墻土壓力計算理論，已有大量的專家學者對處于極限平衡狀態的土體的土壓力理論進行了研究。雖然這些研究成果可以用于求極限主動土壓力或被動土壓力，但這些理論大都建立在擋墻后填土達到極限平衡狀態的基礎上，而正常工作狀態下不可能達到極限狀態，而是處于靜止土壓力和主動土壓力之間，這一點從已有的土壓力監測資料得到證實。目前，土壓力常用計算方法主要有極限平衡法和極限分析法。這些方法的研究對象為處于極限平衡狀態的土體，沒有考慮位移對土壓力的影響，即只有當土體的水平位移達到一定值，土體產生剪切破壞，處于極限平衡狀態時，此時對應的土壓力用上述土壓力理論計算是正確的。大量的現場觀測和研究表明：墻體位移對擋土墻上土壓力分布有很大的影響。Bang[3]認為土體從靜止狀態到極限主動狀態是一個漸變的過程，提出中間主動狀態的概念，指出土壓力計算應同時考慮墻體變位模式和變位。Nakai[4]利用有限法研究了土壓力與墻體變位的關系。Ichihara 等[5]首先提出土體要達到主動狀態，土體對擋土墻墻背的摩擦角必須達到最大值。Sherif 等[6-9]通過模型試驗發現非極限主動狀態土體達到極限狀態時，摩擦角必須達到最大值。周應英等[10-11]分別對砂土填料和壓實黏性填土在擋土墻平移情況下進行了土壓力試驗研究，發現墻體位移對擋土墻上土壓力分布有很大的影響。龔慈[12]認為結構物受到的土壓力應處于靜止土壓力和主動土壓力之間，經典土壓力理論不能計算該狀態下的主動土壓力。徐日慶等[13]針對剛性擋土墻平動模式下考慮位移效應，建立了墻背與填土間外摩擦角和填土內摩擦角與墻體平動位移的關系，并對水平土楔進行了分析研究。黃斌等[14]利用三軸不排水剪切試驗類比擋墻后土體側向變形過程，得到了非極限主動土壓力的計算公式。盧坤林等[15-16]采用卸荷應力路徑的三軸試驗類比墻后土體的側向變形過程，建立了摩擦角與位移的關系，進而得到了非極限主動土壓力的計算公式，改進了水平層分析法，計算任意位移模式的土壓力分布。張永興等[17]結合非極限狀態的填土內摩擦角、墻土摩擦角和墻體位移比的關系對垂直擋墻的非極限狀態主動土壓力的分布進行了研究。在此基礎上，本文作者考慮摩擦角發揮值與墻體平動位移關系，利用薄層單元法對傾斜擋土墻進行非極限狀態主動土壓力的研究，取擋墻后滑動楔體沿平行于填料坡面的水平薄層作為微分單元體，通過作用在水平薄層的力和力矩平衡條件，建立關于一般擋土墻非極限狀態主動土壓力的基本方程，進一步得到非極限狀態時的土側壓力系數、土壓力合力和作用點的理論公式，并與試驗數據進行對比分析。

1 擋土墻非極限主動土壓力求解

由于從擋土墻位移為零的初始靜止狀態和位移達到一定程度填土達到極限主動狀態之間，存在一個過渡狀態，本文稱為非極限狀態，其對應的土壓力稱為非極限土壓力。進行以下假定：(1) 擋土墻后為均勻無黏性土；(2)土體處于非極限狀態時，填土中存在“準滑動面”，形成楔形土體，且準滑動面總是通過擋土墻的墻踵。擋土墻模型如圖1 所示。

1.1 計算模型

圖1 擋土墻模型Fig.1 Model of retaining wall

圖2 單元體受力分析Fig.2 Force analysis of element

1.2 平衡方程的建立

對無黏性土，在非極限狀態下，可令

其中：mδ 為填土與墻背之間的摩擦角發揮值；mφ 為填土內摩擦角發揮值；Km為非極限狀態時土側壓力系數。

由圖1 擋土墻模型及圖2 微單元體的受力分析模型可得幾何參數：

由作用于單元體上的水平方向力的平衡條件：ΣFx=0可得：

將式(1)代入式(3)，并化簡得

由作用于單元體上的垂直方向力的平衡條件：ΣFz=0，可得

將幾何參數及式(1)和(3)代入式(4)，并化簡得

由單元體上的力矩平衡條件：ΣMd=0可得

將幾何參數代入并化簡得

1.3 土壓力求解

由式(1)，(5)，(6)得非極限狀態土側壓力系數Km：

將式(7)代入式(5)得擋土墻非極限狀態豎向應力q關于z 的微分方程：

其中：

并解微分方程得

由邊界條件z=0，q=q0，得

則擋土墻背反力為

非極限主動土壓力合力為

很明顯，當α ，β ，mφ 和mδ 已知時，pa是關于θ 的一元函數，為求pa，利用微分求極值的條件：d Pa/dθ = 0，可得Pa取最大值對應θacr：

由于土壓力合力作用點位置，經計算為

2 φm 和δm 的探討

要計算非極限狀態時擋土墻上土壓力，必須確定上述公式α ，β ，q0，mφ 和mδ ，而α ，β 和q0一般可以直接得到，本文主要探討mφ 和mδ 的取值。目前常用的土壓力分析方法通常假定填土與墻背間外摩擦角保持不變。龔慈[12]認為：mδ 一般先于mφ 達到最大值，但為了簡化計算，假定二者同時達到最大值，且二者變化趨勢相同，并根據前人試驗結果擬合并建立了填土內摩擦角mφ 與η 的關系：

根據假設，墻土摩擦角mδ 與η 的關系為

盧坤林等[15]利用卸荷應力路徑的三軸試驗類比墻后土體的側向變形過程，建立了填土內摩擦角mφ 與η 的關系：

式中：η =S / Sa；η 為擋土墻位移比；S 為擋土墻(平動)位移；Sa為達到極限狀態時的擋土墻(平動)位移；Rf為破壞比。當S=0 時，η=0，土體處于靜止狀態，此時，φm=φ0，δm=δ0，φ0和 δ0分別為初始狀態時填土的內摩擦角和墻土摩擦角。當0＜η ＜1，填土內摩擦角 φm、墻土摩擦角 δm隨擋土墻位移比η 的增大而增大；當η=1 時，擋土墻處于極限狀態，此時，φm=φ，δm=δ，φ 和δ 分別為極限主動狀態時填土的內摩擦角和墻土摩擦角。

對于墻土摩擦角發揮值 δm的取值，國內外學者已經進行了相關研究：Matsuzawa 等[9]建議采用墻土摩擦角δ=2φ /3。龔慈[12]為墻土初始摩擦角 δ0的確定需要結合工程實際，與結構特點、施工工藝、墻背平整度有關?？紤]土體初始應力條件，對于埋置式擋土墻，δ0=0；對于墻后分層填土的擋土墻， δ0＞0；若沒有給出確切的值，則一般取 δ0=φ/2。

土體初始內摩擦角0φ 為靜止狀態時土體的內摩擦角，對于正常固結土體，若不考慮初始狀態時墻土摩擦角0δ 的影響，則

式中：K0為靜止側土壓力系數， K0= 1 -sin φ′，φ′為土體有效內摩擦角。

當墻后砂性填土的初始密度大于其自重壓實密度時，且墻后填土分層壓實，此時0δ ＞0，需考慮0δ 的影響，此時的0φ 可由改進的庫侖方程式[18]求解：

式中：Ki為初始狀態時的靜止土壓力系數。

盧坤林[15]建議某一位移下的墻土摩擦角為δm= (0 -2)φm/3。張永興等[17]認為非極限狀態下擋土墻的 φm和 δm主要與擋土墻的極限狀態時的φ 和擋土墻位移比η 有關。

綜上所述，擋土墻土體內摩擦角發揮值mφ 和墻土摩擦角發揮值mδ 主要與擋土墻的極限狀態時填土的內摩擦角φ 和擋土墻位移比η 有關，其余參數如極限狀態時墻土摩擦角δ 、填土初始內摩擦角0φ 、墻土初始摩擦角0δ 均是關于兩者的函數。

3 φ 和η 對擋土墻土壓力的影響

非極限狀態土側壓力系數、土壓力合力、土壓力合力作用點主要取決于墻土的幾何參數α ，β 和q0以及強度參數mφ 和mδ 。而強度參數mφ 和mδ 主要與擋土墻的極限狀態時填土的內摩擦角φ 和擋土墻位移比η 有關，因此，擋土墻主動土壓力主要由α ，β ，q0，φ 和η 來確定。由于本文研究重點在于考慮墻體位移的非極限狀態主動土壓力，在墻體移動過程中，只有填土強度參數隨著擋墻位移變化，而墻土幾何參數α ，β 和q0在擋墻整個移動過程中卻始終保持不變。因此，本節僅討論φ 和η 對非極限狀態土壓力的影響，幾何參數對主動土壓力的影響分析與強度參數影響分析相同。在下面的討論中，令α =0，β =0 和q0=0，即僅考慮墻面垂直，填料坡面水平的擋土墻，取δ=2φ /3，并結合式(17)和(18)進行分析。

3.1 對滑裂面傾角的影響

擋土墻非極限狀態滑裂面傾角 θacr隨填土內摩擦角φ 和擋土墻位移比η 的變化曲面如圖3 所示?？梢姡瑢τ趽跬翂Ψ菢O限狀態滑裂面傾角 θacr隨φ 和η 的增大而增大。當η=0 時，此處給出的破裂角 θacr為擋土墻靜止狀態滑裂面傾角 θa′cr，當η=1 時，此處給出的破裂角 θacr與按庫侖理論計算的滑裂面傾角 θa′cr相等。分析可知，非極限狀態滑裂面傾角 θacr介于庫侖理論滑裂面傾角和靜止狀態滑裂面傾角之間，且 θa′cr≤ θacr≤ θa′cr，這與文獻[7]中的模型試驗觀測結果相符。

圖3 非極限狀態滑裂面傾角θacr 隨φ，η 的變化曲面Fig.3 Relation surface between θacr and φ，η

3.2 對土壓力側壓力系數的影響

非極限狀態主動土壓力側壓力系數Km隨填土內摩擦角φ 和擋土墻位移比η 的變化曲面如圖4 所示。由圖4 可知，Km隨φ 和η 增大而減小。當η=0 時，由式(7)得擋土墻靜止狀態土側壓力系數K0，當η=1 時，由式(7)得極限狀態土側壓力系數K′。經分析可知，非極限狀態土側壓力系數Km介于極限狀態側壓力系數K′和靜止狀態側壓力系數K0之間，且K′≤Km≤K0。

3.3 對土壓力分布的影響

分析可知，填土摩擦角φ 和擋土墻位移比η 對土壓力分布有很大影響。由式(13)和式(14)可知：計算土壓力分布形式并不是線性的，式(17)和式(18)表明：本文計算結果對應于擋土墻從靜止到極限平衡的整個過程。為了對非極限狀態主動土壓力隨φ 和η 的變化規律進行研究，令H=4.0 m，δ=2φ /3， γ =18 kN/m3，得出一組非極限狀態主動土壓力Pa隨φ 和η 的變化曲面，如圖5 和圖6 所示。可見：非極限狀態主動土壓力分布為凸曲線，在η=0.5 時，土壓力分布主要集中在擋土墻墻底，隨著φ 的增大，土壓力強度p 最大值逐漸減小，最大值位置向墻頂方向移動，且土壓力強度p 隨之逐漸減小。

圖4 Km 隨φ 和η 的變化Fig.4 Relationship surface between Km and φ, η

圖5 η 不變時不同φ 的主動土壓力分布Fig.5 Distribution of earth pressure with different φ and same η

圖6 φ 不變時不同η 的主動土壓力分布Fig.6 Distribution of earth pressure with different η and same φ

由圖6 可知，在φ=34°時，土壓力分布主要集中在擋土墻墻底，隨著擋土墻位移比η 的增大，土壓力強度p 最大值逐漸減小，最大值位置向墻頂方向移動，且土壓力強度p 隨之逐漸減小。從圖5 和圖6 可以看出：φ 和η 的變化對土壓力的大小和分布影響顯著，這與已有文獻[7]中的試驗觀測結果相符。

3.4 對土壓力合力作用點的影響

合力作用點距擋墻底的高度zm隨填土內摩擦角φ 和擋土墻位移比η 的變化曲面如圖7 所示。由圖7可知：zm隨φ 和η 的增大而增大；非極限狀態主動土壓力合力作用點高度都在墻高的1/3 以上，作用點高度大致介于擋土墻高度的1/3～1/2 之間，這與文獻[7]中模型試驗結果相符，但與按極限狀態庫侖主動土壓力理論認為無黏性填土主動土壓力合力作用點距墻底的距離等于墻高的1/3 處不同。

圖7 zm 隨φ，η 的變化Fig.7 Relationship between height of action line of resultant earth pressure and φ, η

3.5 對擋土墻傾覆力矩的影響

對擋土墻墻底取矩，則擋土墻傾覆力矩T 為

則由式(14)和(16)代入式(21)即可得擋墻非極限狀態傾覆力矩T。

擋土墻主動狀態傾覆力矩T 隨填土內摩擦角φ 和擋土墻位移比η 的曲面如圖8 所示?？梢姡簝A覆力矩T 隨墻后土體內摩擦角φ 和擋土墻位移比η 的增大而減小，因此，增大土體內摩擦角φ 或者δ 都可以增加墻體的穩定性。當η=1 時，此時的傾覆力矩為極限狀態的傾覆力矩TA；當η=0 時，此時的傾覆力矩為擋土墻靜止狀態傾覆力矩T0。經分析可知，非極限狀態傾覆力矩Ta介于極限狀態傾覆力矩和靜止狀態傾覆力矩之間，且TA≤Ta≤T0，即靜止狀態傾覆力矩為主動狀態最大傾覆力矩，極限狀態傾覆力矩為主動狀態最小傾覆力矩。則采用極限狀態的傾覆力矩計算平動模式下剛性擋土墻主動非極限狀態時的傾覆力矩偏于危險，這與對合力作用點影響分析結果一致。

圖8 主動狀態傾覆力矩T 隨φ 和η 的變化曲面Fig.8 Relation surface between T and φ, η

4 實例分析

Fang 等[7]對填土為海砂的剛性擋土墻，對背離填土平動情況進行了一系列模型試驗。試驗參數為：填土重度γ= 15.4 kN/m3，填土內摩擦角 =φ 34°，擋墻高H=1 m。本文分析進行計算分析時，取墻土摩擦角δ=2φ/3=22.67°，墻土初始摩擦角 δ0=17°，并通過計算可得填土內摩擦角初始值 φ0=8.6°。位移比η 分別取0.05，0.20，0.75 和1.00。由本文推導公式計算擋土墻非極限狀態主動土壓力分布如圖9 所示，將土壓力計算值與文獻[7]模型試驗的實測值進行比較分析。

從圖9 可以看出，本文計算的土壓力分析結果與實測值的變化規律基本一致，計算結果均與實測結果整體上吻合較好；擋土墻主動土壓力隨著η 的增大而逐漸變小，且其最大值逐漸向墻底移動，擋土墻主動土壓力作用中心和土壓力最大值計算值與試驗值吻合較好，土壓力最大值作用點高度位于距墻底1/3 墻高范圍內。另外，由于擋土墻底部受到摩阻力和初始靜止土壓力的影響，在擋土墻位移較小時，實測值與計算值存在一定的差值。

圖9 主動土壓力計算值與實測值Fig.9 Computed and measured results of case

5 結論

(1) 利用單元體的水平力、豎向力平衡和力矩平衡條件，得到了擋土墻非極限狀態土側壓力系數、土壓力合力、土壓力合力作用點的一般表達式。這些值主要取決于墻土參數α ，β ，q0，φ 和η。

(2) 非極限狀態主動土壓力側壓力系數Km隨φ 和η 增大而減小，且K′≤Km≤K0；非極限狀態主動土壓力分布為凸曲線，隨著φ 的增大，p 最大值逐漸減小，隨著擋土墻位移比η 的增大，水平土壓力強度p 最大值逐漸減小，φ 和η 的變化對土壓力的影響顯著。

(3) 擋土墻非極限狀態滑裂面傾角 θacr和土壓力合力作用點高度zm均隨φ 和η 的增大而增大，傾覆力矩T 隨墻后土體內摩擦角φ 和擋土墻位移比η 的增大而減?。徊捎脴O限平衡理論計算平動模式下剛性擋土墻非極限狀態時的抗傾覆穩定性偏于危險。

(4) 采用本文計算方法得到的擋土墻土壓力分布與實測結果較吻合，表明本文方法具有理論意義和工程實用價值。

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