基于改進(jìn)響應(yīng)面的橋梁抗彎剛度修正

代漢超，石雪飛，阮欣

(同濟(jì)大學(xué) 橋梁工程系, 上海，200092)

橋梁結(jié)構(gòu)可以看成是一個(gè)剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣組成的力學(xué)系統(tǒng)。其中橋梁剛度參數(shù)是橋梁承載能力、病害成因、抗震防災(zāi)能力分析評(píng)估的重要參數(shù)，事實(shí)上許多損傷識(shí)別問(wèn)題最后都?xì)w結(jié)為剛度修正[1-3]，解決大跨徑預(yù)應(yīng)力混凝土梁橋的主跨長(zhǎng)期下?lián)线^(guò)量和梁體開(kāi)裂等關(guān)鍵問(wèn)題[4]也涉及到對(duì)橋梁抗彎剛度的修正。因此，橋梁剛度修正是有限元模型修正[1,5]的一個(gè)重要內(nèi)容。而基于響應(yīng)面法(RSM)的有限元模型修正是近年來(lái)一個(gè)研究熱點(diǎn)，它是以顯式的響應(yīng)面模型逼近設(shè)計(jì)參數(shù)與目標(biāo)函數(shù)間復(fù)雜的隱式函數(shù)關(guān)系，得到簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)模型(Meta-model)[6-8]，從而代替原有限元模型，在其基礎(chǔ)上進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化修正和預(yù)測(cè)響應(yīng)等。盡管基于響應(yīng)面方法的結(jié)構(gòu)有限元模型修正[9-12]取得了一些研究成果，但如何提高響應(yīng)面模型的精度仍有待研究。為此，本文作者介紹一種基于靜力響應(yīng)面的橋梁抗彎剛度修正技術(shù)，并從工程應(yīng)用的角度對(duì)響應(yīng)面法進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)橋梁抗彎剛度修正中確定試驗(yàn)設(shè)計(jì)空間大小的一般原則進(jìn)行探討。

1 基于響應(yīng)面法的有限元模型修正

基于響應(yīng)面的有限元模型修正的主要步驟包括：樣本選取、響應(yīng)面的擬合、回歸方程及系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)和構(gòu)建優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行有限元模型修正。

(1) 基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的樣本選取。樣本的選取關(guān)系到響應(yīng)面的精度和試驗(yàn)成本，試驗(yàn)設(shè)計(jì)的本質(zhì)是在設(shè)計(jì)空間挑選出合適的代表點(diǎn)。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和中心復(fù)合設(shè)計(jì)[13]是基本的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，本文進(jìn)行2 水平正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)。正交試驗(yàn)對(duì)于全面試驗(yàn)來(lái)說(shuō)是一種部分試驗(yàn)，但對(duì)于其中任何2 個(gè)因素卻是具有等量重復(fù)的全面試驗(yàn)[14]。

(2) 響應(yīng)面的擬合。對(duì)大多數(shù)工程問(wèn)題來(lái)說(shuō)，一階或二階多項(xiàng)式模型可以滿足工程要求[15]，一階模型可表示為

寫(xiě)成矩陣形式為Y=XB+e。

式中：β0和βi為待估計(jì)的回歸系數(shù)；xi為待修正參數(shù)；Y 為所有響應(yīng)構(gòu)成的向量；e 為相應(yīng)的誤差向量；X 為修正參數(shù)矩陣；B 為所有回歸系數(shù)組成的矩陣，常由最小二乘法求解：B=(X′X)-1X′Y 。

(3) 顯著性檢驗(yàn)。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于多個(gè)響應(yīng)面模型和較復(fù)雜模型，常應(yīng)用R2檢驗(yàn)[13]和相對(duì)均方根誤差檢驗(yàn)[16]。F 檢驗(yàn)法(又稱方差分析法)[17]可以定量判斷響應(yīng)面模型的顯著性。

式中：RSS為模型的總離差平方和；ESS為殘差平方和；m 為因子數(shù)目；n 為樣本數(shù)目。給定顯著水平α，F(xiàn) 檢驗(yàn)法則為：若F≥ Fα(m-1, n-m)，則認(rèn)為模型響應(yīng)與因子間回歸關(guān)系顯著，否則認(rèn)為回歸關(guān)系不顯著，可以逐次剔除最不顯著的因子，重新進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。因子xi的顯著性可以用統(tǒng)計(jì)量Si表示：

其中：cii為矩陣C=(X′X)-1主對(duì)角線的第i 個(gè)元素，Si越大說(shuō)明xi越顯著。

(4) 構(gòu)建優(yōu)化函數(shù)。fRSM代表響應(yīng)面模型響應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)響應(yīng)為fexp。有限元模型修正可歸結(jié)為以下優(yōu)化問(wèn)題：

式中：lb 和ub 為設(shè)計(jì)空間范圍。本文使用Matlab 優(yōu)化工具箱中的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)fmincon。

2 改進(jìn)的響應(yīng)面方法

如何提高參數(shù)的修正精度是有限元模型修正技術(shù)研究的最終目標(biāo)，基于響應(yīng)面方法的結(jié)構(gòu)模型參數(shù)修正中試驗(yàn)設(shè)計(jì)、響應(yīng)面函數(shù)形式以及響應(yīng)面函數(shù)擬合方法直接決定響應(yīng)面函數(shù)模型的精度，是基于響應(yīng)面方法結(jié)構(gòu)模型參數(shù)修正的研究重點(diǎn)。

從幾何觀點(diǎn)來(lái)看，響應(yīng)面法實(shí)際上是用一系列超曲面來(lái)代替實(shí)際的復(fù)雜函數(shù)關(guān)系。當(dāng)某優(yōu)化點(diǎn)周圍一定數(shù)量的樣本點(diǎn)的實(shí)際函數(shù)已知時(shí)，可通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲得樣本點(diǎn)，利用方程回歸方法建立一個(gè)曲面函數(shù)，在充分靠近這個(gè)優(yōu)化點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，可以用這個(gè)曲面函數(shù)來(lái)代替實(shí)際函數(shù)并進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算[18]。

在剛度修正問(wèn)題中，優(yōu)化點(diǎn)就是真實(shí)剛度，樣本點(diǎn)就是有限元模型中真實(shí)剛度周圍一系列有代表性的值，樣本點(diǎn)所在區(qū)域就是進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)空間。響應(yīng)面模型能精確地代替有限元模型的重要條件是設(shè)計(jì)空間充分接近包含優(yōu)化點(diǎn)的優(yōu)化區(qū)域。

在此，利用單因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)對(duì)響應(yīng)面法中試驗(yàn)設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)空間進(jìn)行優(yōu)化。

2.1 基于單因素試驗(yàn)的設(shè)計(jì)空間優(yōu)化法

其優(yōu)化解便是初始值的改變量，將改變后的初始值作為設(shè)計(jì)空間的中心點(diǎn)。這些中心點(diǎn)比初始值更接近優(yōu)化點(diǎn)，因此，設(shè)計(jì)空間也更接近優(yōu)化區(qū)域。

2.2 基于改進(jìn)響應(yīng)面的抗彎剛度識(shí)別

設(shè)計(jì)空間大小的取值遵循的準(zhǔn)則為：使基于單因素試驗(yàn)的設(shè)計(jì)空間快速逼近優(yōu)化區(qū)域，從而提高響應(yīng)面模型修正的精度。在橋梁抗彎剛度識(shí)別中，單因素改變量可以取初始設(shè)計(jì)值的±50%，試驗(yàn)設(shè)計(jì)的邊界為中心值±20%。

綜上所述，利用靜力測(cè)試基于改進(jìn)響應(yīng)面的抗彎剛度修正流程如圖1 所示。

圖1 基于改進(jìn)響應(yīng)面的抗彎剛度修正流程Fig.1 Flowchart of finite element model updating procedure based on improved RSM

3 數(shù)值算例分析

分別應(yīng)用傳統(tǒng)響應(yīng)面法和本文提出的改進(jìn)響應(yīng)面法對(duì)1 座(65+100+65) m 三跨連續(xù)梁橋的有限元模型抗彎剛度進(jìn)行修正。將2 種方法的修正結(jié)果與假設(shè)的抗彎剛度對(duì)比，來(lái)驗(yàn)證改進(jìn)響應(yīng)面法的可行性。

在背景橋上指定13 個(gè)撓度測(cè)試點(diǎn)，以相鄰2 個(gè)撓度測(cè)點(diǎn)之間的中點(diǎn)和支座位置為梁段節(jié)點(diǎn)將全橋分為13 個(gè)梁段。響應(yīng)為各測(cè)點(diǎn)撓度yi，以13 個(gè)梁段的抗彎剛度值Mi(i=1, 2, …, 13)為識(shí)別參數(shù)。梁段劃分和撓度測(cè)試位置如圖2 所示。實(shí)際橋梁產(chǎn)生的損傷可能在全橋多個(gè)梁段同時(shí)發(fā)生，因此，假設(shè)上部結(jié)構(gòu)邊跨梁段②和剛度均減小15%，梁段⑥，⑦和⑧的剛度均減小20%，其余梁段①，③，④，⑤，⑨，⑩，和剛度均減小10%。

3.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)空間

表1 13 梁段抗彎剛度初始值對(duì)設(shè)計(jì)值的系數(shù)Table 1 Initial bending stiffness values of 13 segments

圖2 三跨連續(xù)梁橋(65+100+65) m 梁段劃分與加載測(cè)試位置Fig.2 Substructure division and measuring positions of 3-span continuous beam bridge (65+100+65) m

3.2 建立一階響應(yīng)面模型

利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)軟件Minitab 進(jìn)行正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，經(jīng)計(jì)算20 次試驗(yàn)?zāi)艽聿⒎从橙嬖囼?yàn)的效果，同時(shí)具有均衡分散、整齊可比的正交性。規(guī)定因子Mi設(shè)計(jì)邊界為±20%Mi(Mi的值如表1 所示)，由有限元軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可得20 個(gè)樣本點(diǎn)。由最小二乘法計(jì)算出系數(shù)矩陣，構(gòu)造不含交叉項(xiàng)的一次響應(yīng)面模型：yi=fi(M1,M2, …, M13) (i=1, 2, …, 13)。試驗(yàn)因子數(shù)目m=13，樣本點(diǎn)數(shù)目 n=20，取顯著水平 α=0.05，則臨界值F0.05(12,7)=3.57，各回歸方程的顯著性F 如圖3 所示。在各回歸方程中，由式(3)計(jì)算自變量(即因子Mi，i=1,2, …, 13)的顯著性，剔除最不顯著的自變量，用同樣方法進(jìn)行12 因子正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，重新回歸方程，并計(jì)算其顯著性F。可以看到：各回歸方程的顯著性已經(jīng)均滿足要求，如圖4 所示。

圖3 參數(shù)篩選前方程F 值Fig.3 F values before parameter screening

圖4 參數(shù)篩選后方程F 值Fig.4 F values after parameter screening

3.3 多目標(biāo)剛度識(shí)別

將各回歸方程fRSM和假定損傷情況下有限元模型計(jì)算值fexp代入式(4)，將改進(jìn)響應(yīng)面法識(shí)別結(jié)果和傳統(tǒng)響應(yīng)面法識(shí)別結(jié)果見(jiàn)表2。

從表2 可見(jiàn)：改進(jìn)響應(yīng)面法的修正結(jié)果誤差均在1%以內(nèi)，比傳統(tǒng)響應(yīng)面法有了很大改進(jìn)。

表2 全橋梁段抗彎剛度識(shí)別結(jié)果Table 2 Bending stiffness identification of all segments

4 實(shí)橋算例分析

4.1 工程概況

該橋?yàn)槿邕B續(xù)梁橋，由南北引橋和主橋構(gòu)成，全長(zhǎng)231.16 m，主橋(40+65+40) m 為變高度預(yù)應(yīng)力連續(xù)箱梁。主橋采用橋梁博士建立平面桿系模型，共計(jì)148 個(gè)單元，149 個(gè)節(jié)點(diǎn)。在主橋上指定11 個(gè)撓度測(cè)試點(diǎn)，以相鄰撓度測(cè)試點(diǎn)之間的中點(diǎn)和支座位置為梁段節(jié)點(diǎn)將全橋分為13 個(gè)梁段。以各測(cè)點(diǎn)撓度yi為響應(yīng)，修正13 個(gè)梁段的抗彎剛度Mj。撓度測(cè)試位置及梁段如圖5 所示。

2012-02 對(duì)該橋進(jìn)行了成橋靜力荷載試驗(yàn)。加載車輛軸距為 1.4 m+4.0 m，總軸質(zhì)量30 t，橫向共布置3 輛。加載時(shí)橫橋向3 輛車均勻分布，縱向以中間車輪加載到②號(hào)撓度測(cè)點(diǎn)為準(zhǔn)，撓度實(shí)測(cè)值和初始有限元模型計(jì)算值比較如表3 所示。

圖5 撓度監(jiān)測(cè)截面示意圖(單位：cm)Fig.5 Schematic diagram of measuring positions

表3 撓度實(shí)測(cè)值和初始有限元模型計(jì)算值Table 3 Comparison of measured deflection values and calculated values of FEM

可見(jiàn)撓度實(shí)測(cè)值和初始有限元模型計(jì)算值相差較大，需進(jìn)行抗彎剛度識(shí)別。

4.2 實(shí)橋抗彎剛度識(shí)別

4.2.1 設(shè)計(jì)空間優(yōu)化

由表3 可知：與初始有限元模型的撓度計(jì)算值相比，兩邊跨的測(cè)量值偏小，中跨測(cè)量值偏大。因此，在基于單因素試驗(yàn)的設(shè)計(jì)空間優(yōu)化中，令邊跨梁段的抗彎剛度在設(shè)計(jì)值的基礎(chǔ)上增加50%，中跨梁段的抗彎剛度在設(shè)計(jì)值的基礎(chǔ)上減小50%。按照2.1 節(jié)所述方法可得13 個(gè)梁段的抗彎剛度初始值相對(duì)于設(shè)計(jì)值的系數(shù)，如表4 所示。

4.2.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)及樣本矩陣

利用2 水平正交設(shè)計(jì)方法進(jìn)行11 因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)，經(jīng)計(jì)算16 次試驗(yàn)?zāi)艽聿⒎从橙嬖囼?yàn)的效果，同時(shí)具有均衡分散、整齊可比的正交性。各個(gè)因子的中心值選取如表4 所示，上下邊界設(shè)定為中心±20%，用有限元軟件計(jì)算出每次試驗(yàn)中的撓度，得到樣本矩陣。

4.2.3 擬合響應(yīng)面模型及方差分析

選擇一次響應(yīng)面函數(shù)形式，由最小二乘法求出待定系數(shù)。試驗(yàn)因子數(shù)目m=13，樣本點(diǎn)數(shù)目n=16，取顯著水平α=0.05，方差分析的臨界值 F0.05(12,3)=8.74。各回歸方程的顯著性F 均滿足顯著性要求。

4.2.4 構(gòu)造優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行損傷識(shí)別

將回歸方程fRSM和靜載試驗(yàn)的撓度實(shí)測(cè)值fexp代入式(4)，進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，將修正優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表4。表4 中第4 列為基于本文方法的抗彎剛度修正結(jié)果，第3和第5 列分別指單因素優(yōu)化法優(yōu)化的抗彎剛度值相對(duì)于初始值的變化范圍以及在單因素優(yōu)化基礎(chǔ)上用響應(yīng)面法修正的抗彎剛度相對(duì)于單因素優(yōu)化值的變化范圍。

表4 13 梁段抗彎剛度修正值Table 4 Updated bending stiffness values of 13 segments

由改進(jìn)響應(yīng)面法修正的抗彎剛度代入有限元模型，計(jì)算出的撓度如表5 所示。

計(jì)算結(jié)果表明：修正后的撓度較初始值有了很大的提高，能達(dá)到修正的效果，從參數(shù)的修正結(jié)果來(lái)看，抗彎剛度的變化和靜載試驗(yàn)實(shí)測(cè)的撓度相吻合。由表5 可以看出：?jiǎn)我蛩馗淖兞炕驹诔跏荚O(shè)計(jì)值±50%范圍內(nèi)，試驗(yàn)設(shè)計(jì)的邊界基本在單因素優(yōu)化值±20%范圍內(nèi)。

表5 撓度實(shí)測(cè)值和修正有限元模型計(jì)算值Table 5 Comparison of measured deflection values and calculated value of updated FEM

本例結(jié)果表明：基于改進(jìn)響應(yīng)面的橋梁抗彎剛度識(shí)別取得了成功，對(duì)于設(shè)計(jì)空間的取值準(zhǔn)則符合工程實(shí)際。該方法可推廣至高階模型，高階響應(yīng)面能模擬模型的曲面特性，得到更精確的修正結(jié)果，但在樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)一定的情況下要求試驗(yàn)設(shè)計(jì)空間更接近最優(yōu)區(qū)域，因此，該方法的優(yōu)越性將會(huì)在高階響應(yīng)面模型的應(yīng)用中進(jìn)一步體現(xiàn)出來(lái)。

5 結(jié)論

(1) 基于現(xiàn)代試驗(yàn)設(shè)計(jì)的響應(yīng)面法是一個(gè)行之有效的快速有限元模型建模方法，在充分靠近優(yōu)化點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，可以有效地代替實(shí)際函數(shù)并進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、模型修正與損傷識(shí)別等工程領(lǐng)域有很好的應(yīng)用價(jià)值。

(2) 設(shè)計(jì)空間充分接近優(yōu)化區(qū)域是提高響應(yīng)面模型精度的一個(gè)非常重要的條件，本文提出了一種基于單因素試驗(yàn)法的改進(jìn)響應(yīng)面方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)設(shè)計(jì)空間的優(yōu)化。數(shù)值算例的精確修正結(jié)果證明該方法具有很高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。利用改進(jìn)響應(yīng)面方法對(duì)三跨連續(xù)梁橋進(jìn)行抗彎剛度修正，修正后的參數(shù)依舊保留了其真實(shí)的物理意義，抗彎剛度修正后計(jì)算撓度與實(shí)測(cè)撓度比較吻合，說(shuō)明改進(jìn)響應(yīng)面法能使設(shè)計(jì)空間快速接近最優(yōu)區(qū)域。

(3) 確定設(shè)計(jì)空間大小是響應(yīng)面方法的一個(gè)重要內(nèi)容。在橋梁抗彎剛度修正中，單因素改變量可以取初始設(shè)計(jì)值的±50%，試驗(yàn)設(shè)計(jì)的邊界為優(yōu)化中心值±20%。三跨連續(xù)梁實(shí)橋算例證明該取值范圍是合適的。

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