利用幾何、算術(shù)均值不等式證明有關(guān)數(shù)學(xué)問題的技巧

王潔瓊

（漢中職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 漢中 723000）

【學(xué)法指導(dǎo)】

利用幾何、算術(shù)均值不等式證明有關(guān)數(shù)學(xué)問題的技巧

王潔瓊

（漢中職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 漢中 723000）

巧用幾何、算術(shù)均值不等式證明某些有關(guān)正整數(shù)的數(shù)學(xué)問題時，往往可使問題變難為易，化繁為簡，達(dá)到事半功倍的效果，同時享受數(shù)學(xué)的簡潔美。本文通過對若干數(shù)學(xué)問題的證明，體現(xiàn)了幾何、算術(shù)均值不等式在證明有關(guān)正整數(shù)的數(shù)學(xué)問題的技巧。

幾何平均數(shù)；算術(shù)平均數(shù)；均值不等式

幾何、算術(shù)均值不等式是指n個正數(shù)a1，a2，…，an的幾何平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)滿足

其中當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時等號成立。

在證明某些有關(guān)正整數(shù)n的數(shù)學(xué)問題時，若能巧用幾何、算術(shù)均值不等式，可以使問題變難為易，化繁為簡。本文將舉例說明。

例1 設(shè)k，n∈N+，且k＜n，求證

例2 設(shè)n∈N+，且N≥2，求證

例3 已知x＞-1，x≠0，n∈N+，且N≥2，求證

（1+x）n＞1+nx

這是著名的伯努利不等式，它的應(yīng)用廣泛，書中大多采用數(shù)學(xué)歸納法證明，雖然思路清晰，推理自然，但步驟較長，格式較繁，若能巧用幾何、算術(shù)均值不等式則會簡單得多。

小結(jié)：由以上例子可以看出，公式的巧用，問題的妙解，變難為易，化繁為簡，使人賞心悅目，達(dá)到事半功倍的效果，同時享受到數(shù)學(xué)的簡潔美。

G642.4

A

1674-9324（2014）42-0224-02

王潔瓊（1985-），女，陜西洋縣人，碩士研究生，助教，研究方向：數(shù)學(xué)教育。