移動荷載列作用下簡支梁振動響應參數研究

王昆鵬， 夏 禾， 郭薇薇， 曹艷梅

(北京交通大學土木建筑工程學院， 北京 100044)

引 言

1 分析模型

1.1 問題描述

假定簡支梁為等截面(EI為常數)，恒載質量均

δ(x-Vt)P(t)

(1)

式中y(x,t)為梁體的豎向位移；δ為Dirac函數。

圖1 移動集中力作用下的簡支梁模型

1.2 問題求解

式(1)可以采用振型疊加法進行求解。對于一維的連續體，有變換表達式

(2)

式中qi(t)為振型的廣義坐標，φi(x)為結構振型，對理想簡支梁有φi(x)=sin(iπx/L)[4]。

將式(2)帶入式(1)，同時式(1)兩邊都乘上φn(x)并沿梁長進行積分，利用振型的正交性，整理可以得到第n階振型的廣義坐標qn(t)的運動方程

(3)

通過Duhamel積分方法求解式(3)，在低阻尼及臨界阻尼情況下，第n階振型廣義坐標qn(t)的特解為

(4)

根據求得的廣義坐標qn(t)，利用振型疊加法得到移動荷載作用下簡支梁振動位移特解的表達式

(5)

為了便于討論各種因素對橋梁振動響應的影響，現引入2個無量綱參數α，β，以分別考慮荷載移動速度及橋梁阻尼的影響

(6)

2 特殊情況求解及討論

2.1 P(t)為移動恒定荷載 (P(t)=P)

當荷載P(t)為移動恒定荷載P時，利用三角函數積化和差公式和分部積分方法求解式(4)得到qn(t)的精確解，再利用振型疊加法得到移動荷載P作用下簡支梁振動位移特解的表達式，整理得到

{n2(n2-α2)sinnωt-

(7)

式(7)是單個移動荷載時的橋梁響應。一般將列車荷載簡化為N個等間距為車輛全長lv的移動集中力荷載列，見圖2。由于假定梁體變形為小變形，此時移動荷載列作用下梁體振動位移特解可表示為

(8)

式中yi(x,t)通過式(7)進行計算。

圖2 通過橋跨的車輛荷載列

根據式(7)再詳細地討論幾種特殊情況：

2.1.1 無阻尼情況及消振、共振分析(β=0)

a)α不為整數，β=0

如果讓β=0，則式(7)可化為

(9)

實際工程中，一般有α?1，根據式(10)可知此時梁體第一階振型對位移的貢獻最大。因此，在求解動力作用下梁體的位移響應時，僅使用第一階振型即可以達到很高的求解精度[5]。

對式(9)中括號內的部分進行分析，如果令此項在荷載出橋時刻為零(t=L/V)，則有

(10)

通過式(10)可以發現，當α=n2/k的時候，梁體第n階振型的位移分量會在荷載出橋時刻歸零，本文稱式(10)中的速度VD= 2n2f1L/k為消振速度。在實際工程中，第一階振型的位移分量占梁體位移的大部分，如果令n=1，此時梁體的位移會在荷載出橋時刻趨近于零。

荷載出橋以后(t>L/V)，梁體處于自由振動狀態，此時梁體的運動方程為

yn(x,L/V)cosωnt]

(11)

式中yn(x,L/V)=

當荷載以消振速度VD出橋時，梁體的速度卻不一定為零。荷載出橋時，梁體的振動速度如下所示

(12)

從式(12)中可以看出，當n，k同奇偶時，式(12)等于零，即荷載出橋時刻，梁體第n階振型的位移分量與速度分量同時為零；當n，k非同奇偶時，荷載出橋時刻僅有梁體第n階振型的位移分量為零，因此在荷載出橋以后梁體第n階振型對橋梁的后續振動依然有貢獻。對于式(10)中給出的速度VD=2n2f1L/k，當n，k奇偶性相同時定義為全消振速度；當n，k奇偶性不同時定義為位移消振速度。

在線彈性階段，梁體的位移等于各個荷載產生位移的線性疊加，當荷載列以全消振速度移動時，即α=1/k(k為奇數)，梁體的動力響應會在荷載列移出梁體以后趨近于零。

b)α為整數，β=0

如果讓α=k，β=0，此時式(7)的第n=k項為0/0型表達式，通過對該項求極限，可以得到簡支梁振動位移特解的表達式

(13)

根據式(13)可以發現，當α=k，β=0時，梁體上任意點x處的位移是隨著時間t的增大而增大的，并在t=L/V時位移達到最大值，但不會達到無窮大。這種情況相當于移動荷載P與橋梁發生了共振，說明不但移動荷載列以某個特殊速度通過橋梁時會引起橋梁共振[1,2]，單個移動荷載以特殊的速度通過橋梁時也會使橋梁產生共振。

當k=n時，即荷載的加載頻率是第一階自振頻率的n倍，有sin(nπVt/L)=sinn2ω1t，相當于移動荷載與簡支梁的第n階振型產生了共振，在此稱速度VR=2kf1L為共振速度，對于k=1的情況，位移的共振放大系數最大，這種共振速度在文獻[1,6,7]中也有介紹。

2.1.2 低阻尼情況(β?1)

a)α≠k，β?1

當梁體的阻尼很小時，可以忽略式(7)中包含β及β2的項，這時式(13)可以化為下面的形式，其與式(9)是極其類似的

(14)

雖然當α→k時，式(14)計算誤差較大不再適用，但由于列車的實際行駛速度很難達到α=k的情況(即V=kVcr)，同時實際橋梁結構的阻尼一般很小，因此，式(14)在工程實際中具有很高的實用性。

當荷載移動速度較低時(α?1 )，且僅取橋梁的一階振型來簡化求解車輛在橋梁上行走時橋梁的位移響應，此時式(14)可簡化為如下形式

(15)

b)α=k，β?1

此種情況的推導與α=k，β=0的情況是類似的，下面直接給出梁體位移表達式

(16)

低阻尼情況和無阻尼情況具有很多類似的性質，比如無阻尼情況下得到的消振速度VD和共振速度VR在低阻尼情況下同樣適用。

2.1.3 臨界阻尼情況(β=βcr=k2)

當阻尼比ξk= 1時，說明此時橋梁的阻尼對于第k階振型為臨界阻尼，此時有

(17)

當n=k時，振型廣義坐標qn(t)的積分變換形式可進行簡化，此時簡支梁第k階振型對位移的貢獻為

{(k2-α2) sinkωt-2kαcoskωt+

(18)

當β=βcr=k2時，并非對橋梁所有振型都是臨界阻尼。對于橋梁的第n階振型，如果n>k，此時橋梁的阻尼為低阻尼情況，可以按照式(7)求解第n階振型的廣義坐標qn(t)；如果n

2.1.4 超阻尼情況(β>βcr=k2)

(19)

同理，可得簡支梁第n階振型對位移的貢獻為

(20)

2.2 P(t)為簡諧荷載

(21)

(22)

(23)

βsinωt]

(24)

3 數值計算分析

3.1 模型參數

根據上面的理論，編制計算程序，研究移動荷載通過簡支梁時橋梁位移響應的振動特性。

列車荷載列參數：列車荷載列按照(3動+1拖)×2編組的德國ICE3高速列車的輪對位置布置，即選取荷載個數N=4×8=32；德國ICE3高速列車的動車和拖車軸距相同，具體如圖3所示。

圖3 德國ICE3列車的軸距 (單位：m)

3.2 移動恒定荷載作用下橋梁的位移響應

對于簡支梁跨中位移而言，梁第二階振型的貢獻量為零，因此以梁體1/4跨處的位移為例，研究荷載以不同速度過橋時簡支梁各階振型對梁體位移的貢獻量。圖4是利用不同橋梁振型階數計算得到的梁體位移響應(相對值，以下同)，圖中實線及點線分別表示僅取簡支梁的第一階振型及前兩階振型計算得到的梁體位移。這里也計算了利用橋梁前3階及3階以上振型得到的梁體位移，它們與僅取前2階振型得到結果幾乎完全一致，說明其貢獻很小，為簡化分析，在此不再給出相應曲線。

圖4 跨中位移與振型階數關系圖(β=0)

從圖4中可以看出，當荷載移動速度較低時，梁體位移主要由橋梁的第一階振型貢獻，隨著移動速度的提高，橋梁第二階振型的位移貢獻量逐漸增大，如當α=2時，點線最大位移響應僅為實線最大位移響應的一半。由于簡支梁的第二階振型對跨中位移的貢獻量為零，在速度系數α=0～2的情況下，僅選取簡支梁的第一階振型計算梁體的跨中位移即可達到非常高的求解精度。

圖5是無阻尼情況下，單個荷載以不同的速度過橋時梁體的位移響應。可以看出：在低速情況下，梁體跨中最大位移出現在荷載移動到跨中附近時，與文獻[9]通過計算簧上質量過橋給出的結論一致；隨著移動速度的增大，跨中最大位移出現時，荷載在橋上的位置逐漸向出橋方向移動；達到一定速度以后，跨中位移在荷載出橋時刻達到最大。

圖5 跨中位移與時間及荷載速度關系圖(β=0)

圖6是無阻尼情況下，等間距移動荷載列以不同的荷載間距及速度過橋時梁跨中的最大位移響應，其中荷載間距lv= 0.1L～1.5L。

圖6 跨中位移與荷載間距及荷載速度關系圖(β=0)

從圖6(a)中可以看出，當荷載列以某些特定速度過橋時，簡支梁會出現共振響應。其中，共振速度與荷載間距lv的關系如下式所示

(25)

當i=1時，橋梁的位移響應最大。

從圖6(b)中可以看出，沿式(25)所示的關系曲線，隨著荷載移動速度的增大，梁體跨中的最大位移響應并非呈現單調增大趨勢，而是在某些速度點處(即α=1/k，k為奇數)出現極小值，該速度即為本文定義的全消振速度。當荷載列以式(25)所示的速度通過簡支梁時，兩個相鄰荷載的上橋時間間隔為iT1(T1為簡支梁第一階自振周期)，說明移動荷載列引起的橋梁共振實質上是荷載列中單個荷載引起的橋梁余振響應的最大疊加。由于荷載以全消振速度通過簡支梁時，橋梁的動力響應會在荷載出橋時刻趨近于零，因此，當由式(25)計算得到的共振速度同時為橋梁的全消振速度時，橋梁的共振響應將會被抑制。

圖7是不同的橋梁阻尼情況下，荷載以不同速度通過簡支梁時，梁體跨中的最大位移響應。可以看出：單個移動荷載通過橋梁時，橋梁最大位移響應并非隨著速度的增大而單調增大，而是表現出一種類似正弦但波幅逐漸增大的形式，此趨勢與文獻[6,9,10]中通過計算簧上質量過橋得到的規律相同；列車荷載列過橋時，梁體的動力響應可視為由4個等間距移動荷載列引起動力響應的疊加，此時在某些速度點處橋梁出現共振[1]，表現出一種完全不同的響應規律；阻尼的存在會減小梁體的最大位移響應，其對共振時橋梁的動力響應抑制更為明顯。

圖7 最大跨中位移與荷載速度及阻尼關系圖

圖8是在荷載出橋時刻(t=L/V)，不同速度系數α所對應的梁體跨中位移。正如前面的討論，單個移動荷載過橋時，在某些特殊速度下，梁體位移在荷載出橋時刻歸零，低阻尼情況和無阻尼情況有著相同的變化規律。列車荷載列過橋時，在共振速度點處，橋梁位移響應出現峰值，表現出一種完全不同的響應規律。

圖8 荷載出橋時跨中位移與荷載速度關系圖

圖9是不同的橋梁阻尼情況下，列車荷載列以不同速度過橋時，梁體跨中的位移時程。

圖9 跨中位移時程曲線

從圖9可以看出，低阻尼情況和無阻尼情況比較類似；隨著速度的提高，跨中振動幅值增大；無阻尼情況下，當列車速度系數α=0.1，0.2時，梁體跨中位移在荷載列出橋時刻歸零。

3.3 移動簡諧荷載作用下橋梁的位移響應

圖10 動力放大系數與荷載頻率及速度關系圖(β=0.05)

可以看出，當速度系數很低時，有荷載移動產生的加載頻率ω對橋梁位移的響應影響很小，位移響應表現出類似靜力作用下的響應，即在速度系數α相同的條件下，當γ=1時橋梁位移響應最大；隨著速度系數α的增大，由荷載移動產生的加載頻率ω對梁體位移響應的影響逐漸加大，梁體在γ=1時的最大位移呈現逐漸減小趨勢，而且在速度系數α相同的條件下，橋梁位移響應達到最大時，γ不再等于1。

4 結 論

1) 荷載移動速度較低時，簡支梁的跨中位移主要由其第一階振型貢獻，隨著移動速度的提高，高階振型的位移貢獻量逐漸增大。但在工程計算中，僅選取簡支梁的第一階振型計算梁體跨中位移即可達到非常高的求解精度；

2) 無阻尼情況下，橋梁跨中出現最大位移響應時的荷載位置隨著速度的增大逐漸由跨中向出橋方向移動；橋梁最大位移響應隨速度的增大呈現出一個類正弦波的形式。

3) 移動恒定荷載通過簡支梁上時，在一定速度下會引起共振或消振現象。共振速度與移動荷載列的間距有直接關系，共振時橋梁的動力響應被放大；消振速度下，所引起的橋梁余振會在荷載出橋的時刻趨近于零。當共振速度同時又是消振速度時，共振現象會被抑制。

4) 移動簡諧荷載作用下橋梁的位移響應同時受到加載頻率及荷載速度的影響：當速度系數很低時，梁體位移在γ=1時達到最大響應；隨著速度系數的增大，梁體在γ=1時的最大位移呈現降低趨勢，且梁體位移響應達到最大時，γ不再等于1。

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