巧用割補法求陰影部分面積

劉昆

九年級上冊學完扇形的面積公式后，細心的同學一定會發現，與扇形有關的練習題常常以“與圓有關的求解陰影部分面積”的形式出現.這類題目看起來復雜，其實只要掌握好解題技巧，就能化繁為簡. 下面通過幾個例子詳細介紹解決這類題目最常用的割補法.

類型一：分割法

例1 如圖1所示的陰影部分，其形狀稱為“弓形”，其面積為所對扇形與三角形面積之差.即：S陰影=S扇形AOB-S△AOB

【拓展練習】

練習1 如圖2所示，求陰影部分面積.

【分析】陰影部分實際上是兩個弓形，其面積可表示為半圓面積減去直角三角形的面積.

解：S陰影=S半圓-S三角形=[12]π×52-6×8×[12]=12.5π-24

練習2 如圖3，正方形ABCD的邊長為a，以頂點B，D為圓心，以邊長a為半徑分別畫弧，求在正方形內兩弧所圍成的圖形的面積.

【分析】連接AC，將這陰影的圖形，分割轉化為兩個相同的弓形求解。

解：S陰影=2（S扇形ADC-S△ADC）=2（[90πa2360-12][a2]）=[12πa2]-[a2]

練習3 如圖4，正方形的邊長為2a，以各邊為直徑在正方形內分別作半圓，求四弧所圍成的陰影部分圖形的面積.

【分析】方法一，可以將整個圖形分割成4個練習2中的圖形，然后按照練習2中的解題方法求解，解答略. 方法二，這個圖形是正方形內4個半圓互相重疊，陰影部分剛好是正方形對角線在4個半圓中切出的8個弓形之和，因此陰影部分面積可表示為4個半圓面積減4個等腰直角三角形面積，而這4個等腰直角三角形面積之和正是該正方形的面積. 解答如下：

解：S陰影=4S半圓-S正方形=4×[12]π[a2]-4[a2]=（2π-4）[a2]

類型二：拼補法.此類題目一般是將幾個圖形進行拼、接補全后，形成較規則的圖形，再解答.

例2 （1）如圖5，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且它們的半徑都是0.5cm，則圖中三個扇形（即三個陰影部分）的面積之和為多少？

（2）若在題（1）的條件下，增加一個圓，變成如圖6所示圖形，設這四個圓的半徑都是r，則這四個圓中陰影部分面積之和為多少？

（3）若在題（1）的條件下，有n個這樣的半徑都是r的圓，如圖7所示，那么這n個圓中陰影部分的面積之和又為多少呢？請說明理由.

【分析】這些扇形所在圓的半徑均相同，但是各自圓心角度數不確定，但當我們將其拼接后，會發現圖5中圓心角的度數之和就是△ABC的內角和，這樣就可以化零為整，將陰影部分整合成一個圖形求解. 問題（2）和問題（3）都可以按照此方法求解，只是陰影部分拼接成的圖形圓心角度數變成了多邊形的內角和.

解：（1）[S陰影=180π×0.52360=0.125π]

（2）[S陰影=360πr2360=πr2]

（3）[S陰影=180（n-2）πr2360=（n-2）πr22]

【拓展練習】

練習4 如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，兩等圓⊙A，⊙B外切，那么圖中兩個扇形（即陰影部分）的面積之和為多少？

【分析】由于這兩個扇形半徑相等，且∠A+∠B=90°，可以將這兩個扇形拼接在一起形成一個圓心角為90°的扇形.

類型三：等積變形法，又可以分為平移法、對稱法、等底同高法幾類.

例3 平移法.

如圖9，兩個半圓中長為4的弦AB與直徑CD平行，且弦AB與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積為多少？

【分析】在大半圓中，任意移動小半圓的位置，陰影部分面積都保持不變，所以可將小半圓平移至兩個半圓共圓心，位置如圖10所示.

例4 對稱法.

如圖11，PA，PB是半徑為1的⊙O的兩條切線，點A，B分別為切點，∠APB=60°，OP與弦AB交于點C，與⊙O交于點D. 求陰影部分的面積（結果保留π）.

【分析】△ACO與△BCO關于直線OP對稱，可將△BCO換為△ACO，即可將陰影部分合為一個扇形.

[解：∵PA，PB是半徑為1的⊙O的兩條切線，點A，B分別為切點∴PA=PB且OA⊥PA，∠APO=12∠APB=12×60°=30°又∵OA=OB∴OP垂直平分AB. 即AB⊥OC，AC=BC又∵OC=OC∴△BCO≌△ACO（SAS）∴S△ACO=SΔBCO，即S陰影=S扇形AOD∵在Rt△APO中∠AOP=90°-30°=60°∴S陰影=60π×12360=16π]

例5 等底同高法.

如圖12所示，正方形ABCD內接于⊙O，直徑MN∥AD，則陰影部分面積占圓面積的比例為多少？

【分析】陰影部分圖形不規則，需要將其進行圖形變換，拼接在一起. 如圖13，連接OD，OC，根據圖形的軸對稱性和等底等高的三角形的面積相等，易知陰影部分的面積即為扇形OCD的面積，再根據正方形的四個頂點是圓的四等分點，即可求解.

用割補法求陰影部分面積，其核心的數學思想就是化歸思想，即，將我們不熟悉的、不規則的圖形，通過割補的方式轉化為我們常見的、熟悉的、規則的圖形來求解.下次再碰到這樣的題目，同學們應該能輕松解決.

九年級上冊學完扇形的面積公式后，細心的同學一定會發現，與扇形有關的練習題常常以“與圓有關的求解陰影部分面積”的形式出現.這類題目看起來復雜，其實只要掌握好解題技巧，就能化繁為簡. 下面通過幾個例子詳細介紹解決這類題目最常用的割補法.

類型一：分割法

例1 如圖1所示的陰影部分，其形狀稱為“弓形”，其面積為所對扇形與三角形面積之差.即：S陰影=S扇形AOB-S△AOB

【拓展練習】

練習1 如圖2所示，求陰影部分面積.

【分析】陰影部分實際上是兩個弓形，其面積可表示為半圓面積減去直角三角形的面積.

解：S陰影=S半圓-S三角形=[12]π×52-6×8×[12]=12.5π-24

練習2 如圖3，正方形ABCD的邊長為a，以頂點B，D為圓心，以邊長a為半徑分別畫弧，求在正方形內兩弧所圍成的圖形的面積.

【分析】連接AC，將這陰影的圖形，分割轉化為兩個相同的弓形求解。

解：S陰影=2（S扇形ADC-S△ADC）=2（[90πa2360-12][a2]）=[12πa2]-[a2]

練習3 如圖4，正方形的邊長為2a，以各邊為直徑在正方形內分別作半圓，求四弧所圍成的陰影部分圖形的面積.

【分析】方法一，可以將整個圖形分割成4個練習2中的圖形，然后按照練習2中的解題方法求解，解答略. 方法二，這個圖形是正方形內4個半圓互相重疊，陰影部分剛好是正方形對角線在4個半圓中切出的8個弓形之和，因此陰影部分面積可表示為4個半圓面積減4個等腰直角三角形面積，而這4個等腰直角三角形面積之和正是該正方形的面積. 解答如下：

解：S陰影=4S半圓-S正方形=4×[12]π[a2]-4[a2]=（2π-4）[a2]

類型二：拼補法.此類題目一般是將幾個圖形進行拼、接補全后，形成較規則的圖形，再解答.

例2 （1）如圖5，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且它們的半徑都是0.5cm，則圖中三個扇形（即三個陰影部分）的面積之和為多少？

（2）若在題（1）的條件下，增加一個圓，變成如圖6所示圖形，設這四個圓的半徑都是r，則這四個圓中陰影部分面積之和為多少？

（3）若在題（1）的條件下，有n個這樣的半徑都是r的圓，如圖7所示，那么這n個圓中陰影部分的面積之和又為多少呢？請說明理由.

【分析】這些扇形所在圓的半徑均相同，但是各自圓心角度數不確定，但當我們將其拼接后，會發現圖5中圓心角的度數之和就是△ABC的內角和，這樣就可以化零為整，將陰影部分整合成一個圖形求解. 問題（2）和問題（3）都可以按照此方法求解，只是陰影部分拼接成的圖形圓心角度數變成了多邊形的內角和.

解：（1）[S陰影=180π×0.52360=0.125π]

（2）[S陰影=360πr2360=πr2]

（3）[S陰影=180（n-2）πr2360=（n-2）πr22]

【拓展練習】

練習4 如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，兩等圓⊙A，⊙B外切，那么圖中兩個扇形（即陰影部分）的面積之和為多少？

【分析】由于這兩個扇形半徑相等，且∠A+∠B=90°，可以將這兩個扇形拼接在一起形成一個圓心角為90°的扇形.

類型三：等積變形法，又可以分為平移法、對稱法、等底同高法幾類.

例3 平移法.

如圖9，兩個半圓中長為4的弦AB與直徑CD平行，且弦AB與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積為多少？

【分析】在大半圓中，任意移動小半圓的位置，陰影部分面積都保持不變，所以可將小半圓平移至兩個半圓共圓心，位置如圖10所示.

例4 對稱法.

如圖11，PA，PB是半徑為1的⊙O的兩條切線，點A，B分別為切點，∠APB=60°，OP與弦AB交于點C，與⊙O交于點D. 求陰影部分的面積（結果保留π）.

【分析】△ACO與△BCO關于直線OP對稱，可將△BCO換為△ACO，即可將陰影部分合為一個扇形.

[解：∵PA，PB是半徑為1的⊙O的兩條切線，點A，B分別為切點∴PA=PB且OA⊥PA，∠APO=12∠APB=12×60°=30°又∵OA=OB∴OP垂直平分AB. 即AB⊥OC，AC=BC又∵OC=OC∴△BCO≌△ACO（SAS）∴S△ACO=SΔBCO，即S陰影=S扇形AOD∵在Rt△APO中∠AOP=90°-30°=60°∴S陰影=60π×12360=16π]

例5 等底同高法.

如圖12所示，正方形ABCD內接于⊙O，直徑MN∥AD，則陰影部分面積占圓面積的比例為多少？

【分析】陰影部分圖形不規則，需要將其進行圖形變換，拼接在一起. 如圖13，連接OD，OC，根據圖形的軸對稱性和等底等高的三角形的面積相等，易知陰影部分的面積即為扇形OCD的面積，再根據正方形的四個頂點是圓的四等分點，即可求解.

用割補法求陰影部分面積，其核心的數學思想就是化歸思想，即，將我們不熟悉的、不規則的圖形，通過割補的方式轉化為我們常見的、熟悉的、規則的圖形來求解.下次再碰到這樣的題目，同學們應該能輕松解決.

九年級上冊學完扇形的面積公式后，細心的同學一定會發現，與扇形有關的練習題常常以“與圓有關的求解陰影部分面積”的形式出現.這類題目看起來復雜，其實只要掌握好解題技巧，就能化繁為簡. 下面通過幾個例子詳細介紹解決這類題目最常用的割補法.

類型一：分割法

例1 如圖1所示的陰影部分，其形狀稱為“弓形”，其面積為所對扇形與三角形面積之差.即：S陰影=S扇形AOB-S△AOB

【拓展練習】

練習1 如圖2所示，求陰影部分面積.

【分析】陰影部分實際上是兩個弓形，其面積可表示為半圓面積減去直角三角形的面積.

解：S陰影=S半圓-S三角形=[12]π×52-6×8×[12]=12.5π-24

練習2 如圖3，正方形ABCD的邊長為a，以頂點B，D為圓心，以邊長a為半徑分別畫弧，求在正方形內兩弧所圍成的圖形的面積.

【分析】連接AC，將這陰影的圖形，分割轉化為兩個相同的弓形求解。

解：S陰影=2（S扇形ADC-S△ADC）=2（[90πa2360-12][a2]）=[12πa2]-[a2]

練習3 如圖4，正方形的邊長為2a，以各邊為直徑在正方形內分別作半圓，求四弧所圍成的陰影部分圖形的面積.

【分析】方法一，可以將整個圖形分割成4個練習2中的圖形，然后按照練習2中的解題方法求解，解答略. 方法二，這個圖形是正方形內4個半圓互相重疊，陰影部分剛好是正方形對角線在4個半圓中切出的8個弓形之和，因此陰影部分面積可表示為4個半圓面積減4個等腰直角三角形面積，而這4個等腰直角三角形面積之和正是該正方形的面積. 解答如下：

解：S陰影=4S半圓-S正方形=4×[12]π[a2]-4[a2]=（2π-4）[a2]

類型二：拼補法.此類題目一般是將幾個圖形進行拼、接補全后，形成較規則的圖形，再解答.

例2 （1）如圖5，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且它們的半徑都是0.5cm，則圖中三個扇形（即三個陰影部分）的面積之和為多少？

（2）若在題（1）的條件下，增加一個圓，變成如圖6所示圖形，設這四個圓的半徑都是r，則這四個圓中陰影部分面積之和為多少？

（3）若在題（1）的條件下，有n個這樣的半徑都是r的圓，如圖7所示，那么這n個圓中陰影部分的面積之和又為多少呢？請說明理由.

【分析】這些扇形所在圓的半徑均相同，但是各自圓心角度數不確定，但當我們將其拼接后，會發現圖5中圓心角的度數之和就是△ABC的內角和，這樣就可以化零為整，將陰影部分整合成一個圖形求解. 問題（2）和問題（3）都可以按照此方法求解，只是陰影部分拼接成的圖形圓心角度數變成了多邊形的內角和.

解：（1）[S陰影=180π×0.52360=0.125π]

（2）[S陰影=360πr2360=πr2]

（3）[S陰影=180（n-2）πr2360=（n-2）πr22]

【拓展練習】

練習4 如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，兩等圓⊙A，⊙B外切，那么圖中兩個扇形（即陰影部分）的面積之和為多少？

【分析】由于這兩個扇形半徑相等，且∠A+∠B=90°，可以將這兩個扇形拼接在一起形成一個圓心角為90°的扇形.

類型三：等積變形法，又可以分為平移法、對稱法、等底同高法幾類.

例3 平移法.

如圖9，兩個半圓中長為4的弦AB與直徑CD平行，且弦AB與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積為多少？

【分析】在大半圓中，任意移動小半圓的位置，陰影部分面積都保持不變，所以可將小半圓平移至兩個半圓共圓心，位置如圖10所示.

例4 對稱法.

如圖11，PA，PB是半徑為1的⊙O的兩條切線，點A，B分別為切點，∠APB=60°，OP與弦AB交于點C，與⊙O交于點D. 求陰影部分的面積（結果保留π）.

【分析】△ACO與△BCO關于直線OP對稱，可將△BCO換為△ACO，即可將陰影部分合為一個扇形.

[解：∵PA，PB是半徑為1的⊙O的兩條切線，點A，B分別為切點∴PA=PB且OA⊥PA，∠APO=12∠APB=12×60°=30°又∵OA=OB∴OP垂直平分AB. 即AB⊥OC，AC=BC又∵OC=OC∴△BCO≌△ACO（SAS）∴S△ACO=SΔBCO，即S陰影=S扇形AOD∵在Rt△APO中∠AOP=90°-30°=60°∴S陰影=60π×12360=16π]

例5 等底同高法.

如圖12所示，正方形ABCD內接于⊙O，直徑MN∥AD，則陰影部分面積占圓面積的比例為多少？

【分析】陰影部分圖形不規則，需要將其進行圖形變換，拼接在一起. 如圖13，連接OD，OC，根據圖形的軸對稱性和等底等高的三角形的面積相等，易知陰影部分的面積即為扇形OCD的面積，再根據正方形的四個頂點是圓的四等分點，即可求解.

用割補法求陰影部分面積，其核心的數學思想就是化歸思想，即，將我們不熟悉的、不規則的圖形，通過割補的方式轉化為我們常見的、熟悉的、規則的圖形來求解.下次再碰到這樣的題目，同學們應該能輕松解決.