中國股票市場資產價格模型設定檢驗

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(1.上海財經大學經濟學院，上海 200433；2.上海財經大學數理經濟學教育部重點實驗室，上海 200433；3.江西財經大學金融學院，江西 南昌330013)

1 引言

金融學理論和實踐用擴散過程描述資產價格連續變化，以布朗運動積分刻畫資產價格風險特征，以Poisson跳過程反映信息披露、突發事件、市場失衡等引起的資產價格跳躍變化，形成跳擴散過程。Back[1]證明，無套利市場上資產價格的對數(下文簡稱資產價格)是特殊半鞅，為采用跳擴散過程描述資產價格提供了金融經濟學理論基礎，同時也給資產價格的模型設定留下不確定性：任一特殊半鞅過程都可以分解為漂移項(drift)、擴散項(diffusion)和跳過程(jump)，跳過程又可以分解為描述大幅跳躍的有限活躍Poisson跳過程和描述小幅跳躍的無限活躍Levy跳過程[2]。實證研究表明資產價格半鞅成分具有不確定性[3-5]。

Duffie和Pan Jun[6]的研究表明，在利率仿射模型中引入Poisson跳能較好刻畫利率的分布特征, Carr等[5]認為采用Levy跳過程給出的期權定價具有更高的準確性，而Hedye和Kou[7]的研究發現，引入Poisson跳能更好地捕捉資產價格分布的厚尾性。隨著高頻數據的獲得，很多研究對資產價的動態特征進行研究。在包含布朗運動積分過程的假設下，Barndorff-Nielsen和Shephard、Jiang和Oomen以及Lee和Mykland的檢驗表明資產價格包含Poisson跳[8-10]，Lee和Hannig[11]的檢驗則表明資產價格中存在Levy跳。但這些研究均未涉及資產價格中是否包含布朗運動成分?；谫Y產價格半鞅成分的重要性以及實證結論的不一致性，Ait-Sahalia和Jacod[12-14]采用非參方法給出了價格成分設定檢驗的統一框架。

國內對資產價格模型的檢驗集中在是否存在Poisson跳。陳浪南和孫堅強[15]采用GARCH跳模型對上證綜指日數據的實證研究表明，上證綜指中的Poisson跳存在時變特征和群集效應，陳國進和王占海[16]采用1分鐘高頻數據對滬深300指數進行分析，得出資產價格存在Poisson跳的結論，沈根祥[17]、楊科和陳浪南[18]和歐麗莎等[19]對上證綜指高頻數據的實證研究表明，上證綜指存在Poisson跳，并表現出群集特征。沈根祥[20]對滬深300指數5分鐘數據進行逐時點Poisson跳檢驗的結論表明，滬深300指數中的跳服從Poisson過程，劉志東和陳曉靜[21]將上證綜指直接設定為包含無限活動Levy跳的CGMY過程，并未涉及模型設定的檢驗。

本文采用Ait-Sahalia和Jacod[12-14]的非參方法對我國股票市場資產價格過程進行設定檢驗。對資產價格過程中是否存在布朗運動、Poisson跳過程和Levy跳過程進行實證分析。選取上證綜指、深證成指和滬深300指數作為研究對象，分析市場微觀結構噪音影響，選擇10分鐘高頻數據為樣本進行檢驗，研究結果表明，我國股票市場資產價格過程既包含布朗運動成分，也包含跳過程，既包含有限活動的Poisson跳過程，也包含無限活動的Levy跳過程。由此得出結論：附加無限活動Levy跳過程的跳擴散過程是適合我國股票市場的資產價格模型。本文的研究結果為相關研究提供了基礎性的實證結論。

2 資產價格過程的半鞅設定

設時間區間[0,T]內時刻t處的資產價格為Pt，對數價格(以下簡稱價格)為pt=lnPt。Back[1]證明，無套利市場價格過程pt是特殊半鞅，可以用隨機微分方程表示為[2]：

dpt=μtdt+σtdwt+dJt

(1)

μt、σt為適應過程，wt為標準布朗運動。μtdt+σtdwt為資產價格的連續部分。Jt為跳過程，描述資產價格的不連續部分，可以分解為Poisson跳過程和Levy跳過程：

(2)

J1t為Poisson跳過程，描述跳幅(jump size)大于ε的跳，是Poisson計數過程Nt和獨立同分布的跳幅隨機變量序列{γl}形成的復合Poisson過程，用Poisson隨機測度υ(dx,ds)的積分表示。J2t為Levy跳過程，描述跳幅不超過ε的跳，重點描述跳幅接近零的跳發生的情況，通過Levy測度ν(dx)在0鄰域內的性質進行刻畫。J1t在有限時間區間內跳發生次數(以概率1)有限，是有限活動(finite activity)跳過程，J2t在任一時間區間內都有無限次小幅跳發生，是無限活動(infinite activity)跳過程，即Levy過程的跳密度測度ν(R)=，R為實數域。

半鞅過程的各組成部分描述了資產價格變化的不同情況。擴散過程描述資產價格的正常變化，其中σtdwt度量了布朗運動形成的風險，可以通過標準的方法進行對沖。dJ1t刻畫重大信息披露引起的資產價格瞬間大幅跳躍，dJ2t刻畫市場失衡、大宗交易等引起的資產價格的小幅跳躍，是與交易策略相關的風險源。除漂移項之外，σtdwt、dJ1t和dJ2t其中之一或者其組合相加都能形成實質性特殊半鞅。模型設定檢驗的目的，是確定資產價格過程是否包含對應特定資產變化的各種半鞅成分。

設定義隨機過程的概率空間為(Ω,F,Ft,P)，Ft為隨機過程對應的濾波(filtration)。根據(1)和(2)中給出的分解，將不同假設的樣本空間表述為Ω的子集。用Ωw和Ωnow分別表示存在布朗運動成分和不存在布朗運動成分的半鞅集合，Ωc和Ωj分別表示連續半鞅和不連續半鞅形成的集合，Ωf和Ωi分別表示有限活動跳過程和無限活動跳過程的集合。

3 檢驗統計量構造

設時間段[0,T]等間隔時點{t0,t1,t2…,tn}觀測到資產價格p(t0),p(t1),…,p(tn)，其中p(t0)=p0,p(tn)=pT。設Δn表示時間間隔，n→時表示資產價格在區間[ti,ti+1]上的變化i=0,1,…,n，Δpt=pt-pt-表示資產價格在時點t處的改變量，pt-表示價格過程在t處的左極限。如果Δpt=0則表示資產價格在t處連續，否則表示發生了跳躍。設r≥0，定義價格改變量形成的已實現門限冪變差(realize threshold power variation)：

(3)

3.1 布朗運動成分檢驗統計量

檢驗資產價格過程是否包含布朗運動成分，有兩種方式設定待檢驗假設：將包含布朗運動成分設為原假設和將不包含布朗運動成分設為原假設。此外還需要設定在不包含布朗運動成分時價格過程包含的其他成分，最一般的設定是價格半鞅包含B-G指數(Levy過程跳發生強度，取值范圍是(0,2)[2])β<2的無限活動Levy跳過程，用Ωiβ表示。為此給出兩種方法的待檢驗假設

(1a)H0:Ωw；H1:Ωnow∩Ωiβ；(1b)H0:Ωnow∩Ωiβ；H1:Ωw∩Ωiβ

(1a)將包含布朗運動設為原假設，(1b)將不包含布朗運動設為原假設。

首先考慮待檢驗假設(1a)的檢驗統計量構造。在價格半鞅包含布朗運動成分的原假設下，r<2對應的冪變差B(r,un,Δn)主要包含連續擴散過程產生的價格改變量，并且當Δn→0時以概率趨于無限大[22-23]；在不存布朗運動成分而只有無限活動Levy跳成分的備擇假設下，當0

(4)

Ait-Sahalia和Jacod[13]給出Sw(1a)原假設的概率極限為k1-r/2，備擇假設下的概率極限為1。兩個概率極限的巨大差異，使Sw能夠有效地區分兩種不同類型的模型，并推導出經標準化后Sw在原假設下的極限分布(此處為穩態收斂(stable convergence in law)意義下的極限[13])：

vw為Sw的方差估計量，計算公式為vw=C(r,k)[B(2r,un,Δn)/B2(r,un,Δn)，其中：

U和V為相互獨立的標準正態分布隨機變量。由此得出顯著水平α下(1a)的拒絕域為：

zα為標準正態分布的α分位數(下同)。

由于檢驗(1a)的第二類錯誤難以控制，考慮以不存在布朗運動成分為原假設的(1b)的檢驗統計量構造。不存在布朗運動時，必須假定存在跳過程成分，包括Poisson大幅跳和Levy小幅跳，否則資產價格模型只剩下趨勢項而沒有風險項，成為無風險資產模型，而只包含Poisson跳過程不能反映資產價格的小幅變化，因此原假設需設為Ωnow∩Ωiβ。(1b)的檢驗統計量構造主要依賴不同門限閾值下門限二階變差B(2,un,Δn)的變化。二階變差(r=2)中布朗運動和跳過程產生的價格改變量同樣重要，但通過門限閾值可以去掉B(2,un,Δn)中跳過程價格改變量。如果備擇假設成立，un→0時B(2,un,Δn)中只剩下布朗運動價格改變量，將門限閾值改變一個常數倍不會影響這一結論，即取γ>1時B(2,γun,Δn)和B(2,un,Δn)具有相同的極限，二者比值以概率收斂到1。但如果原假設成立，二者的比值的概率極限為γ2-β，由于β未知，無法計算原假設的拒絕域。為消掉β，考慮上截尾冪變差U(0,un,Δn)和U(0,γun,Δn)比值，極限狀態下二者都只包含跳產生的冪變差，比值的概率極限為γβ，與二階變差比值相乘便可消掉β?；谝陨戏治?，定義檢驗統計量Snow：

(5)

Ait-Sahalia和Jacod[13]證明Snow(1b)原假設下的概率極限為γ2，備擇假設下的概率極限為γβ，標準化后Snow的漸進分布為：

vnw為Snow的方差估計量，計算公式為:

vnw=γ4{B(4,un,Δn)/B2(4,un,Δn)+U-1(0,un,Δn)+(1-2/γ2)[B(4,un,Δn)/B2(4,un,Δn)+U-1(0,γun,Δn)]}

由此得出顯著水平α下(1b)的拒絕域為：

3.2 跳過程成分檢驗統計量

與布朗運動成分檢驗一樣，檢驗資產價格過程是否包跳過程有兩種方式設定待檢驗假設：包含跳過程設為原假設和不包含跳過程為原假設。在不存在跳的情況下，需要假設價格過程包含布朗運動成分。為此給出兩種方式的待檢驗假設

(2a)H0:Ωj；H1:Ω∩Ωw； (2b)H0:Ωc∩Ωw；H1:Ωj

(2a)的原假設為包含跳過程，(1b)的原假設為不包含跳過程。

首先考慮(2a)的檢驗統計量構造。設B(r)=∑sT|Δsp|r為價格過程的r階跳變差。根據變差理論，當r>2時半鞅過程的r階變差中連續擴散部分形成的r階變差為0，等于r階跳變差B(r)。如果價格過程包含跳過程，當Δn→0時B(r,Δn)和較低抽樣頻率下的B(r,kΔn)(k≥2)都以概率收斂到B(r)，如果價格過程為布朗運動形成的連續過程，兩者具有不同的概率極限。基于上述分析，定義檢驗統計量SJ

(6)

Ait-Sahalia和Jacod[12]證明SJ在(2a)原假設下概率極限為1，備擇假設下概率極限為kr/2-1，當r>3時，標準化后SJ的漸進分布為：

vJ為原假設下SJ的方差估計量，計算公式為vJ=[(k-1)Δnr2D(r,Δn)]/[2B2(r,Δn)]，其中:

由此得出顯著水平α下(2a)的拒絕域為：

檢驗假設(2b)的統計量與檢驗(2a)的檢驗統計量相同，即SJ。Ait-Sahalia和Jacod[12]證明在(2b)原假設下，當r>2時，標準化后SJ的漸進分布為：

由此得出(2b)的拒絕域為

需要注意的是，(2b)原假設下SJ的概率極限kr/2-1>1，而備擇假設下的概率極限是1，因此原假設拒絕域是臨界值Cc的左側區域。

3.3 Levy跳成分檢驗統計量

與前兩種檢驗一樣，有兩種方式設定待檢驗假設：不包含Levy跳過程(但包含Poisson跳過程和布朗運動成分)作為原假設和包含Levy跳過程作為原假設。兩種方式的待檢驗假設為：

(3a)H0:Ωf∩Ωw;H1:Ωi; (3b)H0:ΩiH1:Ωf∩Ωw

首先考慮(3a)的檢驗統計量構造。(3a)原假設假定價格過程只包含大幅Poisson跳，而備擇假設假定還包含跳幅可以任意小的Levy跳。采用不同抽樣頻率下r>2的門限冪變差構造檢驗統計量。由于Poisson大跳的跳幅不隨Δn變化，采用門限值進行截尾，可以將其從冪變差中去掉。因此，如果價格過程只包含Poisson跳和布朗運動成分(即原假設成立)，不同抽樣頻率下的截尾冪變差B(r,un,kΔn)(k≥2)和B(r,un,Δn)在Δn趨于0時只包含布朗運動成分產生的價格改變量，其比值的概率極限為kr/2-1。如果價格過程包含跳幅可以任意小的Levy跳，則不管Δn多小，門限冪變差中都包含Levy跳產生的價格改變量。根據布朗運動的性質，r>2的門限冪變差中主要成分是Levy跳產生的價格改變量，因此B(r,un,kΔn)和B(r,un,Δn)具有相同的概率極限，其比值的概率極限為1?；谝陨戏治?，定義檢驗統計量SFA：

(7)

Ait-Sahalia和Jacod[14]證明在(3a)原假設下，標準化后SFA的漸進分布為：

vFA為SFA的方差估計量，計算公式為：

vFA=C(r,k)B(2r,un,Δn)/B2(r,un,Δn)

由此得出(3a)的拒絕域為：

(3b)的檢驗計量構造較為復雜，原假設下價格過程包含無限活動的Levy跳過程，需要采用不同次冪的冪變差和不同截尾閾值的冪變差構造檢驗統計量才能區分原假設和備擇假設。定義檢驗統計量SIA：

(8)

在原假設下價格過程中包含跳幅可以任意小的Levy跳，當Δn→0時SIA中冪變差以不同的階數趨于0，即：

B(r′,γun,Δn)=Op((γun)r′-β)

B(r,γun,Δn)=Op((γun)r-β)

vIA為SIA的方差估計量，計算公式為：

vIA=γ2(r′-r){B(2r,un,Δn)/B2(r,un,Δn)+(1-2γ-r)B(2r,γun,Δn)/B2(r,γun,Δn)+B(2r′,un,Δn)/B2(r′,un,Δn)+(1-2γ-r′)B(2r′,γun,Δn)/B2(r′,γun,Δn)-2B(r′+r,un,Δn)/[B(r′,un,Δn)B(r,un,Δn)]-2(1-γ-r-γ-r')B(r′+r,γun,Δn)/[B(r′,γun,Δn)B(r,γun,Δn)]}

由此得出(3b)的拒絕域為：

4 資產價格模型設定的實證檢驗

4.1 數據說明

本文選取代表我國股票市場資產價格的上證指數、深圳成指、滬深300進行實證分析，抽樣范圍為2010.01.04至2010.12.31的，樣本為日內高頻數據，數據來源為《天相投資數據庫》。研究發現，金融高頻數據中存在微觀市場結構噪音，如買賣價差、價格離散等，對冪變差的估計及其概率極限產生影響，抽樣頻率越高，噪音的影響越嚴重[26]。減少噪音影響的方法之一是降低抽樣頻率。采用已實現方差圖示法選擇數據抽樣頻率，發現抽樣頻率低于8分鐘后已實現方差趨于穩定。圖1給出的是滬深300指數平均已實現方差隨抽樣頻率變化的趨勢圖，其它兩個指數具有類似的情況。據此，本文選取10分鐘的高頻數據作為實證分析樣本，抽樣區間內共有5808個有效樣本。設抽樣區間為[0,1]，則n=5808，Δn=1/n=0.00017。

4.2 模型設定檢驗

4.2.1 布朗運動成分檢驗

4.2.2 跳過程檢驗

表1 布朗運動成分檢驗結果

(1a)檢驗結果表明，統計量樣本值Sw顯著大于拒絕域臨界值Dw，在5%顯著水平下不能拒絕價格過程包含布朗運動成分的原假設，并且取r和k的不同值時檢驗結果不發生變化。(1b)檢驗結果表明，統計量樣本值Snow顯著小于拒絕域臨界值Dnow，在5%顯著水平下拒絕價格過程不包含布朗運動成分的原假設，并且γ取不同值時檢驗結果不發生變化。由此得出結論，上證指數、深圳成指、滬深300存在布朗運動成分。

表2 跳過程成分檢驗結果

顯著性水平下(2a)原假設H0:Ωj為拒絕域為

從檢驗結果看出，5%顯著水平下不能拒絕(2a)的資產價格過程包含跳過程的原假設，能夠拒絕(2b)的資產價格過程不包含跳過程的原假設。檢驗結果對r和k的取值具有穩定性。由此表明，上證指數、深圳成指、滬深300存在跳過程成分。

4.2.3 Levy跳檢驗

表3 Levy跳過程成分檢驗結果

5 結語

采用基于高頻數據非參數統計檢驗的實證分析表明，以上證指數、深證綜合指數和滬深300指數為代表的中國股票市場資產價格過程，包含布朗運動成分、Poisson跳成分和Levy跳成分，是典型的特殊半鞅過程。擴散過程、跳擴散過程、純跳過程都不能完全刻畫中國股票市場資產價格的動態變化，必須引入具有無限活動的Levy跳過程。

本文采用日內10分鐘高頻數據作為實證樣本，有效減少市場微觀結構噪音的影響，每個檢驗都采用原假設和備擇假設互換兩種方法進行，控制了兩類錯誤，對同一原假設下的檢驗統計量取不同參數值進行多次檢驗以保證穩定性。所有情況下得出了相同的檢驗結果，實證結論具有可信性。

參考文獻：

[1] Back K.Asset pricing for general processes[J].Journal of Mathematical Economics, 1991, 20(4):371-395.

[2] Protter P.E.Stochastic Integration and Differential Equations[M].Berlin: Springer，2004.

[3] Bates D.Post-’87 crash fears in the S&P500 futures option market[J].Journal of Econometrics, 2000, 94(1-2):181-238.

[4] Eraker B，Johannes M，Polson N.The impact of jumps in equity index volatility and returns[J].Journoal of Finance, 2003, 58(3):1269-1300.

[5] Carr P，Geman H，Madan D，B，et al.The fine structure of asset returns: An empirical investigation”[J].Journal of Business, 2002, 75: 305-332.

[6] Duffee D, Pan Jun.Analytical value-at-risk with jumps and credit risk[J].Finance and Stochastics, 2001,5(2):155-180.

[7] Heyde C, Kou G.On the controversy over tailweight of distributions[J].Operation Research Letters, 2004, 32(5):399-408.

[8] Barndorff-Nielsen O E, Shephard N.Econometrics of testing for jumps in financial economics using bipower variation[J].Journal of financial Econometrics, 2006, 4(1):1-30.

[9] Jiang G J, Oomen R C A.Testing for jumps when asset prices are observed with noise - A "swap variance" approach[J].Journal of Econometrics, 2008, 144(2): 352-370.

[10] Lee S S.Mykland P.A.Jumps in financial markets: A new nonparametric test and jump dynamics[J].Review of Financial Studies, 2008, 21(6):2535-2563.

[11] Lee, S.S.Hannig J.Detecting jumps from Lévy jump diffusion processes[J].Journal of Financial Economics, 2010, 96(2):193-215.

[12] A?t-Sahalia Y, Jacod J.Testing for jumps in a discretely observed process[J].Annals of Statistics, 2009, 37(1): 184-222.

[13] A?t-Sahalia Y, Jacod J.Is Brownian motion necessary to model high frequency data?[J].Annals of Statistics, 2010,38(5):3093-3128.

[14] A?t-Sahalia Y, Jacod J.Testing whether jumps have finite or infinite activity[J].Annals of Statistics, 2011, 39(3):1689-1719.

[15] 陳浪南，孫堅強.股票市場資產收益的跳躍行為研究[J].經濟研究, 2010, 4:54-66.

[16] 陳國進，王占海.我國股票市場連續性波動與跳躍性波動實證研究[J].系統工程理論與實踐，2010, 9:1554-1562.

[17] 沈根祥.滬深300指數日內跳的Hansman檢驗[J].數理統計與管理，2010, 4:713-718.

[18] 楊科，陳浪南.基于C-TMPV的中國股市高頻波動率的跳躍行為研究[J].管理科學, 2011, 2:103-112.

[19] 歐麗莎，袁琛，李漢東.中國股票價格跳躍實證研究[J].管理科學學報，2011, 14(9):60-66.

[20] 沈根祥.滬深300指數跳的逐點檢驗及動態分析[J].中國管理科學，2012，20(1):43-50.

[21] 劉志東，陳曉靜.無限活動純跳躍Levy金融資產價格模型及其CF-CGMM參數估計與應用[J].系統管理學報,2010, 4:428-438.

[22] Barndorff-Nielsen O E，Shephard N，Winkel M.Limit theorems for multipower variation in the presence of jumps[J].Stochastic Processes and Their Applications, 2006, 116:796-806.

[23] Barndorff-Nielsen O E，Graversen E，Jacod J，et al.A central limit theorem for realized power and bipower variations of continuous semimartingales[M].Berlin: Springer, 2006.

[24] Mancini C.Non-parametric threshold estimation for models with stochastic diffusion coefficient and jumps[J].Scandinavian Journal of Statistics, 2009,36:270-296.

[25] Karatzas I, Shreve S E.Brownian motion and stochastic calculus[M].Berlin:Springer, 1991.

[26] Hansen P R, Lunde A.Realized variance and market microstructure noise[J].Journal of Business and Economic Statistics, 2006, 24(2):127-161.

[27] Huang Xin, Tauchen G.The relative contribution of jumps to total price variance[J].Journal of Financial Econometrics, 2005, 3(4):456-499.