基于財富效用的產權協商交易定價的計算求解和參數分析

楊忠直，孫皓辰，彭俊偉

(1.上海交通大學安泰經濟與管理學院，上海 200052；2.天津大學管理學院，天津 300072)

1 引言

有關財富效用的起源來自1738年Bernoulli[1]發表了題為“一個風險測量新理論的解釋”求解了圣彼得堡悖論。研究的前提是：沒有理由假設兩個人經受相同的風險，每個人都將期望獲得更接近實現的希求，每個人所期望的風險一定被認為在價值上相等。他認為，每個人都是根據個人的具體財物條件估計來自任何風險承擔的前景；一項物品的價值(value)不是基于它的價格(price)，而是基于它所產生的效用(utility)；物品的價格僅僅依賴于物品本身，而效用取決于估價人的特殊環境；進一步舉例說：毫無疑問，同樣贏得一千達克特(ducats)對于一個窮光蛋來說要比財主更有意義；從等量的盈利中一個窮人要比一個富人獲得更大的效用。這就是Bernoulli[1]關于效用的思想：同一物品對于不同的人，不同的用途和不同的使用環境有不同的效用，進一步認識到人們對物品的偏好，這就構思了效用函數的結構。文中Bernoulli[1]陳述了期望收益的效用的計算方法，發現財富的任何一個微小增加都將引起效用增加，而這個效用增加又反比于已經擁有財富的數量，這就是效用函數的重要性質：隨著財富數量的增加效用值遞增(不滿足定律)，而隨著財富數量的增加邊際效用遞減(滿足程度遞減定律)。Bernoulli根據每個人固有的生產能力提出了對應于效用等于零的個人初始貨物擁有量，也是承擔零風險的財富現狀，對應的效用值即為等于零的保本效用值(status quo)，并給出了道德期望和期望效用的計算公式和對數曲線。與此不同，消費者理論中的效用及效用函數均是以商品數量為自變量，但也仍然遵循Bernoulli 1738年提出的不滿足定律和滿足程度遞減定律，之前在國內外經濟類文獻中沒有看到此類研究報道。

Stanley[2]最早提出商品交換原理：交換必須使交易雙方的效用增加或至少不減，指出雙方的效用平衡將導致交換。Ysidro[3]利用效用函數導出了二人商品交換的邊際效用均等條件，即著名的Edgeworth Box模型。von Neumann和Morgenstern[4]系統地陳述了商品交換的協商博弈理論，尤其是非零和博弈理論為交易人的互惠共贏問題的研究打下基礎。Nash[5]用效用函數建立了二人商品交換的數學模型，以描述交易人渴望最大化其在商品交換中的盈利。Nash[6]進一步提出了協商交易中交易人具有威脅(threats)的作用，即交易人各自的保留效用值(status quo)。Harsanyi和Selten[7]提出了不完備信息件下二人協商博弈的廣義Nash求解模型。Svejnar[8]給出了不一致協議的憂慮(fear of disagreement)的定義和協商勢力(bargaining power)的定義，并進一步得到在協商交易達到均衡時滿足的公理條件。Morgenstem[9]和Rubinstein[10]論述和證明了輪番討價還價均衡解的形成。Binmore, Swierzbinski, Tomlinson[11]實驗檢驗了Stahl-Rubinstein Bargaining Model。上述研究均沒有發現數值求解，更沒有對協商交易均衡價格作參量分析，應用案例也沒有看到。國內作者對于上述著名文獻并不陌生，但是卻沒有比較成功的應用案例，進步性的研究更少。本文作者[12-13]運用凸分析方法構造了業主與承包商的投資，質量和進度變量的多屬性效用函數，建立了協商力系數線性加權和冪加權的合同協商談判模型和求解方程，運用數字模擬求解合同訂立，合同變更，合同索賠和合同仲裁等問題。

本文基于上述理論方法，結合作者[14]產權交易協商定價理論模型，運用某國有科研機構的制藥廠轉讓為案例，說明產權協商交易定價的建模與數值求解。經評估該企業產權的資本量現值為700萬元人民幣，預期收益現值1500萬元人民幣。設產權賣方的交易底價為1000萬元，產權買方的交易底價為1300萬元。在求解均衡協商交易價格的基礎上，分別對交易雙方的交易底價，偏好，協商能力，信息擁有量，以及交易人財富擁有量對交易定價的影響進行數值分析。本文通過這個案例研究，說明含有多種因素(參量)影響的產權協商交易定價的建模與模擬求解方法。

2 效用函數設計

財富效用函數是指以財富數量為自變量的效用函數，并遵照效用函數不滿足定律和滿足程度遞減定律。

根據文獻[14]中財富效用函數及其性質構造產權賣方的財富效用函數為：

(1)

構造產權買方的財富效用函數為：

(2)

其中，c表示產權的成本現值，v表示產權的預期收益現值，u=v-c表示產權的預期利潤空間，α和β分別為交易人對產權價格的偏好指數，0≤α,β≤1。

根據案例數據，設c=700,v=1500,u=v-c=800,α=0.5,β=0.5，p為產權交易價格變量，于是產權賣方的財富效用函數為：

(3)

產權買方的財富效用函數為：

(4)

3 產權協商交易定價模型與求解方程

本文構造威懾力系數冪加權的福利函數如下：

(5)

其中，λ表示包含交易人的協商勢力和信息量在內的威懾力系數加權指數，其他參數同上。

產權協商交易的目標是使(5)的福利函數取最大值，于是對(5)按照最優化原理得到基本求解方程為：

(6)

(7)

表示產權賣方的加權邊際效用，而令：

-p,λ)

(8)

表示產權買方的加權邊際效用。于是(6)表示：

(9)

這被稱作加權邊際效用零和方程。從力學角度看，這符合牛頓力學第三定律。可以看出，產權賣方的加權邊際效用MUs(p-c,λ)包含了產權買方的影響，而產權買方的加權邊際效用MUb(v-p,λ)包含了產權賣方的影響，說明產權交易雙方的討價還價的能力互相影響！

4 對稱條件下產權協商交易的基本均衡價格

圖1 對稱條件下效用函數與福利函數的最大值

在圖1中，交易者二人的效用函數相交(效用值相等)處福利函數恰好取得最大值，這只在效用函數的結構對稱，威懾力對稱的條件下成立。求解均衡價格的加權邊際效用零和方程的計算圖解如圖2所示：

圖2 對稱條件下加權邊際效用零和原理

在效用值域的有效前沿和福利函數的相切點指示出協商交易定價的最優解如圖3所示：

圖3 對稱條件下效用值域的協商交易均衡價格的確定

5 參數變動對均衡價格的影響分析

5.1 不對稱偏好對產權交易定價的影響

若交易雙方的偏好不對稱α≠β,，設賣方偏好系數α=0.6，買方偏好系數為β=0.5，其它條件不變，則解出均衡價格為1136.36萬元。此時，迫使均衡價格上移，效用函數值分別為Us(p=1136.36)=0.6951和Ub(p=1136.36)=0.6742，福利函數的最大值為W(1136.36)=0.6830，計算圖解如圖4所示：

圖4 偏好不對稱的協商交易定價圖解

5.2 保留價格對產權交易定價的影響

圖5 具有保留價格的協商交易定價原理

5.3 威懾力對產權交易定價的影響

設產權賣方的威懾力較強，設λ=0.6,1-λ=0.4，保留價格為ps=1000,pb=1300，其他參數不變。由(6)解出均衡價格為1180.00萬元，高于基本均衡價格1100.00萬元，這說明產權賣方比買方具有更強的威懾力，推動均衡價格上移。計算圖解如圖6所示：

圖6 不對稱威懾力的協商交易定價原理

在均衡價格1180.00，Us(1180)=0.7746，Ub(1180)=0.6325，福利函數的增量最大值為W(1180)=0.1496。

5.4 信息不對稱對產權交易定價的影響

圖7 不對稱信息的協商交易定價原理

5.5 產權協商交易定價的綜合求解

(10)

由(6)得到均衡價格的求解方程為：

(11)

解出均衡價格為p*=1169.17萬元，Us(1169.17)=0.7260，Ub(1169.17)=0.6431，福利函數的增量最大值為W(1169.17)=0.1899。加權邊際效用零和方程如圖8所示。

圖8 綜合條件下協商交易定價原理

6 財富擁有量變動對均衡價格的影響

Bernoulli[1]舉例解釋了富人和窮人對于獲得一單位的增量收益所帶來的增量效用是不同的。在產權交易中給定獲利水平，擁有財富量大的富人每獲得到一單位的增量收益所帶來的增量效用低于擁有財富量小的窮人每獲得到一單位的增量收益所帶來的增量效用，即富人的收益邊際效用小于窮人的收益邊際效用，這就是所謂的財富效應。設產權賣方的財富擁有量大于其買方的財富擁有量，將會有以下結果：

MUs(p-c)≤MUb(v-p)|p=p0

(12)

在產權交易達到均衡時(9)式可以寫為：

w×MUs(p-c,λ)+MUb(v-p,λ)=0

(13)

其中，w為財富系數，w≥1。(13)式可用來計算購買方財富擁有量變動或具有不同財富擁有量的購買人與出售方協商交易的均衡價格。將(13)轉換為(6)就有：

(14)

不妨設w=1.2，這意味著相對于賣方的財富擁有量，買方的財富擁有量增加為1.2倍。于是將對稱條件下產權協商交易的基本參數代入(14)得到產權交易的均衡價格為1136.36。這個均衡價格比基本均衡價格1100.00高，說明購買人用于購買標底物的財富量增加，其報價或接受價格傾向于更高，均衡價格也高。或者說明另一具有更高財富實力的競買人與出售方的協商交易產生的一個更高的均衡價格。

7 結語

本文建立了廣義納什協商交易(generalized Nash bargaining)的產權協商交易定價模型，導出了加權邊際效用零和方程(zero-sum equations of weighted marginal utility)，這與Svejnar[8]的研究結論一致。利用邊際效用零和方程進行數值計算驗證了只有交易人之間的加權邊際效用之和為零時才能使交易人的福利函數取得最大值，解出的均衡價格即為公允定價，這與交易人的效用值是否相等沒有關系。本文對交易人的偏好(preference)不對稱，威脅點(threat points)不對稱，協商勢力(bargaining power)不對稱和信息(information)不對稱等境況的協商交易均衡求解進行了數值計算。交易人擁有財富的多寡和購買實力的大小也是影響報價與交易價格的重要因素。本文的計算采用直接計算的方法，比運用單參量或多參量的解析求解要簡單得多，也不影響結果的精確性，其研究結果為產權協商交易的機制設計提供了科學依據。本文是以確定性模型展開分析，這并不難將其隨機化以求解不確定性問題，而不確定性問題也恰恰是在確定性模型的基礎上將其變量隨機化的。

在使用中首先要遵循不滿足定律和滿足程度遞減定律構造交易人的財富效用函數，使財富效用函數具有凹性，以使協商域的凸性，保證均衡解的唯一性。然后通過理論設計或對交易人進行實驗測定交易人的偏好構造交易人的財富效用函數。進而就要獲取交易人的交易低價，計算保留效用值，估測交易人所掌握的有關標底物的信息量，推斷交易人所具有的協商勢力，計算交易人的威懾力系數。接著構建協商交易的福利最大化模型，利用加權邊際效用零和方程試算均衡交易價格或交易數量。最后對參數及模型進行調整得到最終解決方案。

本文是以一個案例作為研究方式，旨在解釋如何運用財富效用函數建立產權交易定價模型以求解產權交易價格的參考值。其研究結論可以廣范應用于任何物品和資產協商交易均衡價格的測算，包括土地使用權，房產權，企業產權，開礦產權，工程承包與合同糾紛處理等方面的資產或產權的交易價格的測定，還可用于產權或各種物品的拍賣價格的測定。本文的研究方法還可進一步擴展到多維變量的建模與模擬求解，可應用于工資與福利協商談判，經濟利益協商談判，政治事件協商談判，國際事務協商談判和戰爭軍備協商談判等；甚至可以推廣到三人以上的協商博弈問題，如網絡協商博弈或多邊關系的協商求解。

參考文獻：

[1] Bernoulli D.Exposition of a new theory on the measurement of risk[J].Econometrica, 1954, 22(1): 23-36.

[2] Stanley J W.Money and the mechanism of exchange[M].London: Appleton, 1875.

[3] Ysidro E F.Mathematical psychics: An essay on the application of mathematics to the moral sciences[M].London: Kegan Paul, 1881.

[4] Von Neumann J, Morgenstern O.The theory of games and economic behavior[M].Princeton:Princeton University Press, 1944.

[5] Nash J F.The bargaining problem[J].Econometrica, 1950, 18(2):155-162.

[6] Nash J F.Two-person cooperative games[J].Econometrica, 1953, 21(1):128-140.

[7] Harsanyi J C, Selten R.A generalized Nash solution for two-person bargaining games with incomplete information[J].Management Science, 1972,18(5):80-106.

[8] Svejnar J.Bargaining power, fear of disagreement, and wage settlement: Theory and evidence from U.S.industry[J].Econometrica, 1986, 54(5):1055-1078.

[9] Morgenstem O.Ingolf Stahl: Bargaining theory[J].The Swedish Journal of Economics, , 1973,75(4):410-413.

[10] Rubinstein A.Perfect equilibrium in a bargaining model[J].Econometrica, 1982, 50(1): 97-109.

[11] Binmore K, Swierzbinski J, Tomlinson C.An experimental test of rubinstein’s bargaining model[R].ELSE Working Papers 260.

[12] 楊忠直.建設項目監理目標規劃與控制研究[D].天津:天津大學，1997.

[13] 楊忠直，張世英，李光泉.工程合同沖突協調的經濟學計算研究[J].管理工程學報，2006, 20(2):19-23.

[14] 楊忠直，彭俊偉.基于財富效用的產權協商定價的理論研究[J].上海交通大學學報 (自然科學版)，2010, 44(3):311-316.