基于ARIMA模型的匯率預測研究

魏紅燕+孟純軍

【摘要】本文采用2010年7月1日至2013年11月30日的人民幣兌美元匯率周平均值，建立了ARIMA模型，對并匯率序列進行預測和評價。實證結果表明，ARIMA（2，1，2）模型預測結果比較成功，基本能反映人民幣升值的趨勢。

【關鍵詞】人民幣匯率 ARIMA模型 匯率預測

一、引言

自美國金融危機爆發以來，人民幣匯率的走勢已成為人們關注的焦點之一。尤其是近年來中美貿易失衡加劇，美國政府將其對中巨額貿易赤字的根源歸咎于人民幣幣值的低估，并將人民幣兌美元匯率視為影響中美雙方經貿關系的焦點問題。因此，正確預測人民幣兌美元匯率具有重要的現實意義。

匯率預測的研究很多，現在國內的主要研究有：ARIMA模型，GARCH模型，GARCH_M模型，PPP模型，神經網絡模型，VAR模型及多元回歸模型。戴曉楓和肖慶憲[1]（2003）利用ARIMA模型和EGARCH模型并進行預測和評價人民幣匯率；張奕韜[2]（2009）基于ARIMA模型的外匯匯率時間序列預測研究；閆海峰，謝莉莉[3]（2009）基于GARCH-M模型的人民幣匯率預測；許少強，李亞敏[4]（2007）則利用參考“一籃子”貨幣的人民幣匯率預測—基于ARMA模型的實證方法；等等。

本文通過運用時間序列ARIMA模型的理論與方法，對非平穩時間序列差分后建立平穩的時間序列，從而進行模型參數的選取和預測。最后，對模型的預測結果進行評價分析，認為該模型在匯率的走勢較平穩時，能夠很好的擬合匯率的即時走勢，對其預測所得結果在誤差允許的范圍內。

二、模型知識概述

（一）ARIMA模型[5]

ARIMA模型，是將非平穩時間序列轉化為平穩時間序列，再將因變量對它的滯后值及隨機誤差項的現值和滯后值進行回歸所建立的模型。ARIMA模型根據原序列是否平穩及回歸中所含部分的不同，包含移動平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動平均過程（ARMA）以及ARIMA過程。

設序列yt為d階單整序列，即yt～I（d），則：wt=Δdyt=（1-L）dyt，wt是平穩序列，則我們對wt建立ARMA（p，q）模型。如果wt=Δdyt，且wt是一個ARMA（p，q）過程，則稱yt是（p，d，q）單整自回歸移動平均模型，簡記為：MRIMA（p，d，q）.模型形式為：

y■=φ■+■φ■y■+ε■-■θ■ε■

對ARMA（p，q）模型進行參數估計后，可用來進行預測。設預測的原點為h，Fh為在h時刻得到的信息集合，yh+1為向前一步預測：

■■（1）=E（y■|F■）=？漬■+■φ■y■-■θ■ε■

相應的預測誤差為eh（1）=yh+1-■■（1）=ε■。向前1步的預測方差為var[eh（1）]=σ2ε。

對向前l步預測，■■（l）=E（y■|F■）=？漬■+■φ■■■（l-i）-■θ■ε■（l-i）。

向前l步預測可通過遞歸運算得到。向前l步的預測誤差為eh（l）=yh+l-■■（l）。

（二）ADF檢驗[5]

以時間序列為依據的經驗分析預測都假定時間序列是平穩的。即是說，如果隨機序列的均值和方差在時間上都是常數，且任何兩時期間的協方差僅依賴于這兩時期間的距離或滯后，而不依賴于計算協方差的實際時間，我們就稱其為平穩。若原始序列平穩，稱之為I（0）過程。若原始序列不平穩，而經過一階差分后平穩，則稱序列是一階單整的，簡稱I（1）。平穩性常用的檢驗方法是單位根檢驗（UNIT ROOT TEST）。通常以下列形式作ADF單位根檢驗：

Δy=β■+β■t+δy■+α■■Δy■+ε■

其中t為時間或趨勢變量，Δy■為滯后差分項。

某具體數據包含多少個滯后差分項，要根據經驗決定，尤其對具有自相關特征的金融時間序列，一般應包含足夠的滯后項以保證上面方程中的誤差項在序列上是相互獨立的。

（三）實證分析

1.數據的選擇。由于時間序列模型要求數據保持一致性，即其內在生成機制是一致的，所以2005年到2010年的人民幣匯率數據并不能完全采用。特別是金融危機期間，我國暫時放慢了對匯率改革的進程，人民幣匯率受到管制，這一時期的數據基本不發生變化，對其進行研究也沒太多意義。因此，本文的研究選取的數據是2010年7月1日至2013年11月30日美元兌換人民幣的176個周平均數據，根據實證研究需要，將樣本數據分割為兩部分：2010年7月1日至2013年6月30日的前154個周平均數據作為樣本內研究區間，余下的22個數據作為樣本外預測區間，樣本內期間的數據用來估計預測模型的參數，樣本外期間的則用來檢驗模型的預測效果。數據來源于國家外匯管理局（http：//www.safe.gov.cn/）。

在進行匯率預測時，研究所需的數據資料可以使用每日數據、每周資料或每月數據，查閱相關文獻，利用月平均數據的較多，這里，本文選擇利用周平均數據對匯率預測模型進行深入探討。

圖1 2010年7月～2013年6月美元兌換人民幣周平均匯率走勢圖

通過匯率走勢圖，直觀上可得在這一區間內人民幣在逐漸升值，且趨勢明顯，數據基本符合時間序列模型對數據的要求。從圖中可以看到人民幣匯率有比較明顯的時間趨勢，應該是非平穩序列。后面會進一步說明。下表是數據序列的基本統計量：

表1 人民幣匯率序列基本統計量表

如果序列是對稱分布，則偏度應為0，而該序列偏度為0.778776，說明序列的分布是有偏的且向右偏斜。另外，已知正態分布的峰度等于3，而表3-1中峰度為2.413661，說明該序列不服從正態分布。

2.模型識別。建立ARIMA模型，必須先對模型進行識別，故先對匯率的時間序列的自相關和偏自相關系數圖進行分析。

圖2 人民幣對美元匯率序列相關圖

從圖中看出，人民幣對美元匯率的時間序列是不平穩的。只有平穩的時間序列才能建立ARIMA模型，因此經過對序列差分，其序列圖如圖3所示，并進行ADF單位根檢驗，檢驗結果如表2所示。

圖3 2010年7月～2013年6月美元兌換人民幣周平均匯率一階差分走勢圖

表2 人民幣對美元匯率ADF檢驗表

從上表可知：人民幣匯率序列經一階差分后ADF統計量為-8.765482，比1%、5%和10%置信水平上的臨界值小，所以一階差分序列表現為平穩序列。

原匯率序列經過一階差分后為平穩序列，此時，可以考慮對其建立相關的模型。根據自相關與偏自相關系數的性質，從圖4中，由一階差分序列相關圖中，自相關系數在k=1后迅速趨于0，但k=2時又與0有差異，因此，q值取1或2。偏自相關系數在k=2處顯著不為0，p值取2。故差分后序列可以建立ARMA（2，1）或ARMA（2，2）模型。由于一階差分后序列為平穩序列，確定d值為1，實際上也就是采用ARIMA（2，1，1）和ARIMA（2，1，2）模型進行參數估計。

圖4 人民幣對美元匯率一階差分序列相關圖

3.參數估計。在確定模型可能為ARIMA（2，1，1）和ARIMA（2，1，2）后，分別運用回歸方程進行參數的估計。估計結果如下面兩表所示：

表3 ARIMA（2，1，1）模型參數估計與相關檢驗結果

表4 ARIMA（2，1，2）模型參數估計與相關檢驗結果

上面兩表中各滯后多項式的倒數根都在單位圓內，說明過程既是平穩的，也是可逆的。但從模型的估計結果看，模型ARIMA（2，1，1）的各項系數除截距項C外均不顯著，模型ARIMA（2，1，2）各項系數顯著性均較高，兩模型的AIC和SIC值又十分接近，故模型ARIMA（2，1，2）的估計結果是較好的。因此，我們得到ARIMA（2，1，2）預測模型表達式為：

yt=-0.399912-0.479324yt-1-0.510567yt-2+εt+0.690476εt-1+0.538203εt-2

（0.0002） （0.0390） （0.0089） （0.0042） （0.0010）

4.模型預測。在Eviews中有兩種預測方式：“Dynamic”和“Static”，前者是根據所選擇的一定的估計區間進行多步向前預測，后者是只滾動的進行向前一步預測，即每預測一次，用真實值代替預測值，加入到估計區間，再進行向前一步預測。

為檢驗ARIMA（2，1，2）模型的預測效果，分別用兩種預測方式對2013年7月1日至11月30日人民幣匯率差分序列進行試預測，得到圖5和圖6所示的預測結果。圖中實線代表的是差分序列的預測值，兩條虛線則提供了2倍標準差的置信區間。圖的右邊列出的是評價預測的一些標準，如平均預測誤差平方和的平方根（RMSE），Theil不相等系數及其分解。

圖5 ARIMA（2，1，2）模型Dynamic預測方式結果

圖6 ARIMA（2，1，2）模型Static預測方式結果

從上面兩圖中可以看到，“Static”方法得到的預測值波動性較大；同時，方差比例的下降和協方差比例的上升也較好的模擬了實際序列的波動，Theil不相等系數也有所減小，所以用“Static”預測方式較為理想。

將原匯率預測值與實際值進行比較，得表5，可看出預測值與實際值之間的誤差較小，除個別誤差達到1個點以上，其余數據的誤差都在1以內，說明模型對未來匯率的預測準確度較高。

表5 ARIMA（2，1，2）模的型匯率預測結果

圖7 ARIMA（2，1，2）模型預測結果圖

從圖7（藍色為預測值，紅線為實際值）中也可看出，該模型對匯率的未來走勢預測結果令人滿意，在大部分時候能夠準確判斷匯率波動的方向，同時，波動幅度在一定程度上反映真實波動幅度變化。

三、結論

時間序列分析是根據時間序列的歷史數據，得出有關過去行為的結論，從而對未來數據進行預測，也即是說通過數據過去的波動特征來推斷數據未來的變化趨勢。建立預測模型要保證時間序列是平穩的.所以建模之前要先進行單位根檢驗，以平穩的時間序列建立預測模型.基于模型參數的選擇標準，為使預測結果較好，我們應采取較好的模型預測.根據模型擬合趨勢，未來人民幣匯率的升值壓力還會進一步加大，建議應采取的措施：一是制定合理的匯率制度；二是調控國內外宏觀經濟和金融環境。

參考文獻

[1]戴曉楓，肖慶憲.時間序列分析方法及人民幣匯率預測的應用研究[J].上海理工大學學報，2005，200093：342-345.

[2]張奕韜.基于ARIMA模型的外匯匯率時間序列預測研究[J].華東交通大學學報，2009.

[3]閆海峰，謝莉莉.基于GARCH-M模型的人民幣匯率預測[J].南京財經大學金融學院，2009，210046：41-44.

[4]許少強，李亞敏.參考“一籃子”貨幣的人民幣匯率預測[J].世界經濟學報，2007（3）：32-35.

[5]易丹輝.數據分析與Eviews應用[M].北京：中國統計出版社，2002：1-55.

[6][美] George E P，Gwilym M，Gregory C.時間序列分析預測與控制[M].顧嵐，主譯.北京：中國統計出版社，1997：16-19.

[7]范正綺，王祥云.ARIMA模型在匯率時間數列預測中的應用[J].上海金融，1997，1997（3）：28-29.

[8]Fang-Mei Tseng，Fuzzy ARIMA Model for Forecasting the Foreign Exchange Market[J].Fuzzy Sets and Systems，2001（11）：9—19.

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11271117）。

作者簡介：魏紅燕（1986-），女，河南駐馬店人，湖南大學數學與計量經濟學院碩士研究生，研究方向：數據統計預測、匯率預測；孟純軍（1968-），女，漢族，湖南長沙人，湖南大學副教授。

圖2 人民幣對美元匯率序列相關圖

從圖中看出，人民幣對美元匯率的時間序列是不平穩的。只有平穩的時間序列才能建立ARIMA模型，因此經過對序列差分，其序列圖如圖3所示，并進行ADF單位根檢驗，檢驗結果如表2所示。

圖3 2010年7月～2013年6月美元兌換人民幣周平均匯率一階差分走勢圖

表2 人民幣對美元匯率ADF檢驗表

從上表可知：人民幣匯率序列經一階差分后ADF統計量為-8.765482，比1%、5%和10%置信水平上的臨界值小，所以一階差分序列表現為平穩序列。

原匯率序列經過一階差分后為平穩序列，此時，可以考慮對其建立相關的模型。根據自相關與偏自相關系數的性質，從圖4中，由一階差分序列相關圖中，自相關系數在k=1后迅速趨于0，但k=2時又與0有差異，因此，q值取1或2。偏自相關系數在k=2處顯著不為0，p值取2。故差分后序列可以建立ARMA（2，1）或ARMA（2，2）模型。由于一階差分后序列為平穩序列，確定d值為1，實際上也就是采用ARIMA（2，1，1）和ARIMA（2，1，2）模型進行參數估計。

圖4 人民幣對美元匯率一階差分序列相關圖

3.參數估計。在確定模型可能為ARIMA（2，1，1）和ARIMA（2，1，2）后，分別運用回歸方程進行參數的估計。估計結果如下面兩表所示：

表3 ARIMA（2，1，1）模型參數估計與相關檢驗結果

表4 ARIMA（2，1，2）模型參數估計與相關檢驗結果

上面兩表中各滯后多項式的倒數根都在單位圓內，說明過程既是平穩的，也是可逆的。但從模型的估計結果看，模型ARIMA（2，1，1）的各項系數除截距項C外均不顯著，模型ARIMA（2，1，2）各項系數顯著性均較高，兩模型的AIC和SIC值又十分接近，故模型ARIMA（2，1，2）的估計結果是較好的。因此，我們得到ARIMA（2，1，2）預測模型表達式為：

yt=-0.399912-0.479324yt-1-0.510567yt-2+εt+0.690476εt-1+0.538203εt-2

（0.0002） （0.0390） （0.0089） （0.0042） （0.0010）

4.模型預測。在Eviews中有兩種預測方式：“Dynamic”和“Static”，前者是根據所選擇的一定的估計區間進行多步向前預測，后者是只滾動的進行向前一步預測，即每預測一次，用真實值代替預測值，加入到估計區間，再進行向前一步預測。

為檢驗ARIMA（2，1，2）模型的預測效果，分別用兩種預測方式對2013年7月1日至11月30日人民幣匯率差分序列進行試預測，得到圖5和圖6所示的預測結果。圖中實線代表的是差分序列的預測值，兩條虛線則提供了2倍標準差的置信區間。圖的右邊列出的是評價預測的一些標準，如平均預測誤差平方和的平方根（RMSE），Theil不相等系數及其分解。

圖5 ARIMA（2，1，2）模型Dynamic預測方式結果

圖6 ARIMA（2，1，2）模型Static預測方式結果

從上面兩圖中可以看到，“Static”方法得到的預測值波動性較大；同時，方差比例的下降和協方差比例的上升也較好的模擬了實際序列的波動，Theil不相等系數也有所減小，所以用“Static”預測方式較為理想。

將原匯率預測值與實際值進行比較，得表5，可看出預測值與實際值之間的誤差較小，除個別誤差達到1個點以上，其余數據的誤差都在1以內，說明模型對未來匯率的預測準確度較高。

表5 ARIMA（2，1，2）模的型匯率預測結果

圖7 ARIMA（2，1，2）模型預測結果圖

從圖7（藍色為預測值，紅線為實際值）中也可看出，該模型對匯率的未來走勢預測結果令人滿意，在大部分時候能夠準確判斷匯率波動的方向，同時，波動幅度在一定程度上反映真實波動幅度變化。

三、結論

時間序列分析是根據時間序列的歷史數據，得出有關過去行為的結論，從而對未來數據進行預測，也即是說通過數據過去的波動特征來推斷數據未來的變化趨勢。建立預測模型要保證時間序列是平穩的.所以建模之前要先進行單位根檢驗，以平穩的時間序列建立預測模型.基于模型參數的選擇標準，為使預測結果較好，我們應采取較好的模型預測.根據模型擬合趨勢，未來人民幣匯率的升值壓力還會進一步加大，建議應采取的措施：一是制定合理的匯率制度；二是調控國內外宏觀經濟和金融環境。

參考文獻

[1]戴曉楓，肖慶憲.時間序列分析方法及人民幣匯率預測的應用研究[J].上海理工大學學報，2005，200093：342-345.

[2]張奕韜.基于ARIMA模型的外匯匯率時間序列預測研究[J].華東交通大學學報，2009.

[3]閆海峰，謝莉莉.基于GARCH-M模型的人民幣匯率預測[J].南京財經大學金融學院，2009，210046：41-44.

[4]許少強，李亞敏.參考“一籃子”貨幣的人民幣匯率預測[J].世界經濟學報，2007（3）：32-35.

[5]易丹輝.數據分析與Eviews應用[M].北京：中國統計出版社，2002：1-55.

[6][美] George E P，Gwilym M，Gregory C.時間序列分析預測與控制[M].顧嵐，主譯.北京：中國統計出版社，1997：16-19.

[7]范正綺，王祥云.ARIMA模型在匯率時間數列預測中的應用[J].上海金融，1997，1997（3）：28-29.

[8]Fang-Mei Tseng，Fuzzy ARIMA Model for Forecasting the Foreign Exchange Market[J].Fuzzy Sets and Systems，2001（11）：9—19.

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11271117）。

作者簡介：魏紅燕（1986-），女，河南駐馬店人，湖南大學數學與計量經濟學院碩士研究生，研究方向：數據統計預測、匯率預測；孟純軍（1968-），女，漢族，湖南長沙人，湖南大學副教授。

圖2 人民幣對美元匯率序列相關圖

從圖中看出，人民幣對美元匯率的時間序列是不平穩的。只有平穩的時間序列才能建立ARIMA模型，因此經過對序列差分，其序列圖如圖3所示，并進行ADF單位根檢驗，檢驗結果如表2所示。

圖3 2010年7月～2013年6月美元兌換人民幣周平均匯率一階差分走勢圖

表2 人民幣對美元匯率ADF檢驗表

從上表可知：人民幣匯率序列經一階差分后ADF統計量為-8.765482，比1%、5%和10%置信水平上的臨界值小，所以一階差分序列表現為平穩序列。

原匯率序列經過一階差分后為平穩序列，此時，可以考慮對其建立相關的模型。根據自相關與偏自相關系數的性質，從圖4中，由一階差分序列相關圖中，自相關系數在k=1后迅速趨于0，但k=2時又與0有差異，因此，q值取1或2。偏自相關系數在k=2處顯著不為0，p值取2。故差分后序列可以建立ARMA（2，1）或ARMA（2，2）模型。由于一階差分后序列為平穩序列，確定d值為1，實際上也就是采用ARIMA（2，1，1）和ARIMA（2，1，2）模型進行參數估計。

圖4 人民幣對美元匯率一階差分序列相關圖

3.參數估計。在確定模型可能為ARIMA（2，1，1）和ARIMA（2，1，2）后，分別運用回歸方程進行參數的估計。估計結果如下面兩表所示：

表3 ARIMA（2，1，1）模型參數估計與相關檢驗結果

表4 ARIMA（2，1，2）模型參數估計與相關檢驗結果

上面兩表中各滯后多項式的倒數根都在單位圓內，說明過程既是平穩的，也是可逆的。但從模型的估計結果看，模型ARIMA（2，1，1）的各項系數除截距項C外均不顯著，模型ARIMA（2，1，2）各項系數顯著性均較高，兩模型的AIC和SIC值又十分接近，故模型ARIMA（2，1，2）的估計結果是較好的。因此，我們得到ARIMA（2，1，2）預測模型表達式為：

yt=-0.399912-0.479324yt-1-0.510567yt-2+εt+0.690476εt-1+0.538203εt-2

（0.0002） （0.0390） （0.0089） （0.0042） （0.0010）

4.模型預測。在Eviews中有兩種預測方式：“Dynamic”和“Static”，前者是根據所選擇的一定的估計區間進行多步向前預測，后者是只滾動的進行向前一步預測，即每預測一次，用真實值代替預測值，加入到估計區間，再進行向前一步預測。

為檢驗ARIMA（2，1，2）模型的預測效果，分別用兩種預測方式對2013年7月1日至11月30日人民幣匯率差分序列進行試預測，得到圖5和圖6所示的預測結果。圖中實線代表的是差分序列的預測值，兩條虛線則提供了2倍標準差的置信區間。圖的右邊列出的是評價預測的一些標準，如平均預測誤差平方和的平方根（RMSE），Theil不相等系數及其分解。

圖5 ARIMA（2，1，2）模型Dynamic預測方式結果

圖6 ARIMA（2，1，2）模型Static預測方式結果

從上面兩圖中可以看到，“Static”方法得到的預測值波動性較大；同時，方差比例的下降和協方差比例的上升也較好的模擬了實際序列的波動，Theil不相等系數也有所減小，所以用“Static”預測方式較為理想。

將原匯率預測值與實際值進行比較，得表5，可看出預測值與實際值之間的誤差較小，除個別誤差達到1個點以上，其余數據的誤差都在1以內，說明模型對未來匯率的預測準確度較高。

表5 ARIMA（2，1，2）模的型匯率預測結果

圖7 ARIMA（2，1，2）模型預測結果圖

從圖7（藍色為預測值，紅線為實際值）中也可看出，該模型對匯率的未來走勢預測結果令人滿意，在大部分時候能夠準確判斷匯率波動的方向，同時，波動幅度在一定程度上反映真實波動幅度變化。

三、結論

時間序列分析是根據時間序列的歷史數據，得出有關過去行為的結論，從而對未來數據進行預測，也即是說通過數據過去的波動特征來推斷數據未來的變化趨勢。建立預測模型要保證時間序列是平穩的.所以建模之前要先進行單位根檢驗，以平穩的時間序列建立預測模型.基于模型參數的選擇標準，為使預測結果較好，我們應采取較好的模型預測.根據模型擬合趨勢，未來人民幣匯率的升值壓力還會進一步加大，建議應采取的措施：一是制定合理的匯率制度；二是調控國內外宏觀經濟和金融環境。

參考文獻

[1]戴曉楓，肖慶憲.時間序列分析方法及人民幣匯率預測的應用研究[J].上海理工大學學報，2005，200093：342-345.

[2]張奕韜.基于ARIMA模型的外匯匯率時間序列預測研究[J].華東交通大學學報，2009.

[3]閆海峰，謝莉莉.基于GARCH-M模型的人民幣匯率預測[J].南京財經大學金融學院，2009，210046：41-44.

[4]許少強，李亞敏.參考“一籃子”貨幣的人民幣匯率預測[J].世界經濟學報，2007（3）：32-35.

[5]易丹輝.數據分析與Eviews應用[M].北京：中國統計出版社，2002：1-55.

[6][美] George E P，Gwilym M，Gregory C.時間序列分析預測與控制[M].顧嵐，主譯.北京：中國統計出版社，1997：16-19.

[7]范正綺，王祥云.ARIMA模型在匯率時間數列預測中的應用[J].上海金融，1997，1997（3）：28-29.

[8]Fang-Mei Tseng，Fuzzy ARIMA Model for Forecasting the Foreign Exchange Market[J].Fuzzy Sets and Systems，2001（11）：9—19.

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11271117）。

作者簡介：魏紅燕（1986-），女，河南駐馬店人，湖南大學數學與計量經濟學院碩士研究生，研究方向：數據統計預測、匯率預測；孟純軍（1968-），女，漢族，湖南長沙人，湖南大學副教授。