B樣條曲線曲率簡易求解算法

江本赤

(安徽國防科技職業學院，安徽 六安 237011)

B樣條是于1946年首次由Schoenberg提出的[1]。B樣條曲線具有局部控制能力強的優點，可在不改變曲線階數的情況下增加控制點[2]。在CAD/CAM中，B樣條常用來表達幾何形狀。在工程力學中，B樣條還用作機件的應力和位移分析[3-4]。而在分析B樣條曲線形狀時，通常需要求出其曲率[5-6]。不同于簡單曲線的曲率計算，B樣條曲線的曲率求解則復雜得多，目前常見的方法是先求出其導曲線，而對B樣條的求導非常復雜，極容易出錯。

鑒于上述情況，本文提出一種簡易的曲率計算方法。具體做法是先對原B樣條曲線進行相對簡單的降階處理，然后直接利用曲率計算公式即可。該算法可避免對B樣條曲線的求導運算，對于減低運算量具有積極意義。

1 B樣條曲線定義

一條p次B樣條曲線定義為

(1)

式中：Pi是控制頂點，Ni,p(u)是p次基函數，它定義在節點矢量U上，并在區間[ui,ui+p+1)上非零，其數值按照式(2)和(3)求取。

(2)

(3)

節點矢量U中a和b的重復度都為p+1，除非特別聲明，通常取a=0，b=1。

2 曲率求解算法

根據文獻[3]中的表述，對p次B樣條曲線的定義公式進行形式化求導，可得一階導曲線，其公式為：

(4)

現將式(1)記為C1(u)，并改寫成：

(5)

可見式(5)的形式與B樣條曲線的定義公式完全一致?？梢灾苯訉1(u)看作降階處理后的(p-1)次B樣條曲線，其對應的曲線參數分別為控制頂點Qi、節點矢量U1。其中，控制頂點Qi的坐標值可以對照式(4)和(5)求出，即Qi=p(Pi+1-Pi)/(ui+p+1-ui+1)；節點矢量U1可以通過去掉原節點矢量U中的第一個和最后一個節點得到(即將端點的重復度降低1次)。如此就完成了對原B樣條曲線的一次降階處理。若需二階導數，則亦無需對原公式進行復雜的二次求導，只需在此基礎上進行第二次降階處理，即以C1(u)為原函數，再次利用式(5)即可得到曲線C2(u)。

參數ui處所對應的曲率值為Ki，其數值按照式(6)求取。

(6)

對于二維平面曲線，C1(u)和C2(u)對應的坐標點分別為(x′,y′)和(x″,y″)，將所得的坐標值代入式(7)即可。

(7)

3 仿真實驗與分析

為了驗證上述算法，下面分別以一條二次和一條三次B樣條曲線為例，求解其曲率分布曲線。先來考察二次曲線，其參數為U=[0,0,0,0.025,0.1, 0.2, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8, 0.9, 0.975, 1, 1, 1]；P=[0,1；0,0；6,0；4,2；1,11；5,16；11,16；15,11；12,2；10,0；16,0；16,1]；p=2。它描述的是一個“Ω”形曲線，如圖1所示。利用上述算法求出的曲率分布見圖2。

再來考察三次曲線，其參數為U=[0,0,0,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8, 0.9, 1, 1, 1, 1]；控制頂點坐標值為P=[0,1；1,3；2,5；3,4.2；4,3.4；5,2.5；6,2；7,3；8,5；9,6；10,4；12,1]；p=3。它描述的是一個“M”形曲線，如圖3所示。利用上述算法求出的曲率分布見圖4。

由上面兩個舉例可以看出，所求出的曲率分布曲線符合實際情況，驗證了所提算法的正確性和可行性。

4 結語

本文從B樣條定義公式出發，在分析其求導公式形式的基礎上，總結出了低次B樣條曲線的參數簡易求法，完成了對原B樣條曲線的降階處理，進而實現了相對的曲率求解算法。該算法避免了對B樣條曲線進行復雜的多次求導運算，具有一定的工程意義。

[1]Schoenberg I J.Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions[J].Quart, Appl.Maths 4, 1946, 4(45-99):112-114.

[2]康蘭,趙文.基于散亂數據點的B樣條曲線反求方法[J].機械設計與制造,2009,(9):221-223.

[3]施法中.計算機輔助設計與非均勻有理B樣條[M].北京:高等教育出版社,2011.

[4]郭風華,楊興強.調整節點矢量對B樣條曲線的影響[J].計算機工程與科學, 2005, 27(11): 109-111.

[5]Jena M K, Shunmugaraj P,Das P C.A subdivision algorithm for trigonometric spline curves[J].Computer Aided Geometric Design, 2002(19):71-88.

[6]秦開懷,孫家廣,范剛.三次NURBS曲線的插值方法[J].計算機輔助設計與圖形學學報，1993，5(3):179-183.