電磁感應中幾類“形似神非”的問題

劉子玉+李興

電磁感應是高中物理中的重要內容，也是高考物理中的重點和難點.筆者在教學實踐中發現，電磁感應中經常會出現一些“形似神非”的問題，學生對于這樣的問題容易發生混淆，感到束手無策，久而久之就會在物理學習上產生畏懼心理.現對這類問題舉例加以說明.

例 如圖1中的甲、乙、丙圖所示，圖中除導體棒ab可動外，其余部分均固定不動.乙圖中電容器原來不帶電，設導體棒、導軌、和直流電源的電阻均可忽略不計，導體棒和導軌間的摩擦也不計，圖中裝置均置于水平面內且都處于方向垂直于水平面（即紙面）向下的勻強磁場中，導軌足夠長，現給導體棒ab一個向右的初速度v0，在甲、乙、丙三種情況下，導體棒ab最終的運動狀態是：

A.三種情形下，導體棒ab都做勻速運動

B.乙丙中，ab棒最終以不同速度做勻速運動，甲中棒最終靜止

c.乙丙中，ab棒最終以不同速率做勻速運動，甲中棒最終靜止

D.丙圖中，ab棒最終的速率可能大于v0

解析 甲乙丙三圖貌似相同，其實不然，它們經歷的物理過程、適用的物理規律、最終的運動狀態都不盡相同.

甲圖中的情形最為簡單.在電磁感應現象中，由于安培力的存在總要阻礙導體間的相對運動，故ab棒做加速度越來越小的減速運動，最終靜止， 棒的動能最終全部轉化為電阻 上的電熱，在數值上還等于棒克服安培力所做的功.

寫成表達式為：QR=

12mv20.

乙圖中，由于最初電容器不帶電，ab棒在最初的一段時間內給電容器充電，只要棒ab的瞬時感應電動勢大于電容器兩極板間的電壓，電路中就存在充電電流，但是充電電流的數值逐漸減小，表達式為i=BLv-uCR，當uc0=BLv1時，i=0，充電完畢，此時棒不再受安培力，棒以速度v1（v1

丙圖中，在ab棒向右運動過程中，由右手定則知棒中的感應電動勢方向由b指向a，與電源E

的電動勢彼此加強，電路中的總電流i=E+BLvR，在向左的變力安培力F=iLB的作用下，棒做加速度越來越小的減速運動；棒減速到零的瞬間，由于電源的作用，電路中仍然有電流，導體棒仍然要受到向左的安培力，故導體棒開始向左做變加速運動，由于i′=E-BLvR，所以加速度仍然越來越小.當BLv0′=E時，電路中的電流減小為零，安培力消失，ab棒最后以速度v0′向左勻速運動.棒最終的速度v0′與初速度v0的大小關系取決于E和BLv0的大小關系.若E>BLv0，則v0′>v0′；若E=BLv0，則v0′=v0；若E

綜上所述，甲圖中，棒最終靜止；乙圖中，棒最終仍向右勻速運動，只是速率變??；丙圖中，棒最終要反向，即向左勻速運動，速率可能變大、不變或者變小.故答案選B、D.

有興趣的讀者可以將丙圖中的電動勢反向接入電路，再進行相應的分析.

（參考答案：當E=BLv0時，棒一直以速度v0向右勻速運動；當EBLv0時，棒向右加速至EBL時勻速運動.）

例2 水平面內有一豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B.

⑴如圖2所示，一邊長為 的正方形金屬線框水平放置，并正以速度v勻速向右運動，當導體框剛好有一半處于磁場中時，試求F、H兩點間的電勢差.

⑵若完全相同的導體框仍垂直于磁場放置，且剛好有一半的導體框處于磁場中，如圖3所示，若磁場的磁感應強度正以ΔBΔt=K （K為定值）均勻增強，導體框各邊的電阻均為r.試求這種情況下F、H兩點間的電勢差.

解析 根據電磁感應的相關知識可以知道，感應電動勢分為動生電動勢和感生電動勢兩類.它們產生的機理不相同.當導體在磁場中做切割磁感線運動時，導體中大量自由電荷也隨導體一起定向移動，微觀上要受到洛倫茲力的作用，從而使這些自由電荷相對于導體要向導體的某一端聚集，導體的另外一端顯示出相反的電性，這樣在導體的兩端就會出現電勢差，這就是動生電動勢的由來.感生電動勢的產生原因是因為變化的磁場會在周圍的空間里產生電場，這種電場被稱為渦旋電場，在渦旋電場的作用下會使導體中的自由電荷發生定向移動，從而在導體中產生感應電流或使導體的不同部分之間存在電勢差.從能量轉化的角度來看，動生電動勢是導體棒克服安培力做功將自身的動能或其他形式的能量轉化為電能的過程；感生電動勢是將磁場中隱藏的磁場能向電場能轉化的過程.

⑴圖2所示為動生電動勢情形

AE邊相當于等效電源，感應電動勢大小為E1=BLv，回路中的總電流I1=BLv4r，另外AC、CD、DE相當于外電路，R外=3r，故FH間的電壓U1=I1·rRCDH=BLv4r×2r=12BLv.

⑵圖3所示為感生電動勢情形

根據法拉第電磁感應定律，閉合電路感應電動勢與穿過這一電路磁通量的變化率成正比.而且整個回路都產生感應電動勢，且不可把回路分成內外電路，也不可錯誤的認為只有處在磁場中的那部分導體才是電源、處在磁場之外的那部分就是外電路.這是因為變化的磁場產生的渦旋電場并不僅僅存在于有界的那部分磁場之中，沒有磁場的地方仍然有渦旋電場，渦旋電場會對整個回路中的電荷都做功.但是在 公式中的E=nΔΦΔt=nsΔBΔt應該用回路在磁場中的那部分有效面積，因為磁通量的變化只存在于這部分面積上，公式中的E為整個回路的電動勢，包括磁場內外兩部分電動勢之和.簡而言之，回路中的各個部分都可以當成含源電路來處理.

根據上面的分析可知，回路的總電動勢

E2=ΔBΔt·s有效=12KL2.

如圖所示，圖4和圖5的閉合回路的感應電動勢完全相同，即圖FCDH中的部分的感應電動勢與圖FH中的部分完全相同.由于圖4中的FH部分電阻為總電阻的13，渦旋電場對這部分上的電荷做功數值也為整個回路的13，故FH部分感應電動勢大小E3=13E2=16KL2.

故FCDH部分產生的感應電動勢大小E4=E3=16KL2.

圖3回路中的總電流I2=E24r=KL28r.

FCDH部分的等效電路如圖5所示：

UHF=U2r-E4=I2×2r-E4=14KL2-16KL2=112KL2.

電磁感應是高中物理中的重要內容，也是高考物理中的重點和難點.筆者在教學實踐中發現，電磁感應中經常會出現一些“形似神非”的問題，學生對于這樣的問題容易發生混淆，感到束手無策，久而久之就會在物理學習上產生畏懼心理.現對這類問題舉例加以說明.

例 如圖1中的甲、乙、丙圖所示，圖中除導體棒ab可動外，其余部分均固定不動.乙圖中電容器原來不帶電，設導體棒、導軌、和直流電源的電阻均可忽略不計，導體棒和導軌間的摩擦也不計，圖中裝置均置于水平面內且都處于方向垂直于水平面（即紙面）向下的勻強磁場中，導軌足夠長，現給導體棒ab一個向右的初速度v0，在甲、乙、丙三種情況下，導體棒ab最終的運動狀態是：

A.三種情形下，導體棒ab都做勻速運動

B.乙丙中，ab棒最終以不同速度做勻速運動，甲中棒最終靜止

c.乙丙中，ab棒最終以不同速率做勻速運動，甲中棒最終靜止

D.丙圖中，ab棒最終的速率可能大于v0

解析 甲乙丙三圖貌似相同，其實不然，它們經歷的物理過程、適用的物理規律、最終的運動狀態都不盡相同.

甲圖中的情形最為簡單.在電磁感應現象中，由于安培力的存在總要阻礙導體間的相對運動，故ab棒做加速度越來越小的減速運動，最終靜止， 棒的動能最終全部轉化為電阻 上的電熱，在數值上還等于棒克服安培力所做的功.

寫成表達式為：QR=

12mv20.

乙圖中，由于最初電容器不帶電，ab棒在最初的一段時間內給電容器充電，只要棒ab的瞬時感應電動勢大于電容器兩極板間的電壓，電路中就存在充電電流，但是充電電流的數值逐漸減小，表達式為i=BLv-uCR，當uc0=BLv1時，i=0，充電完畢，此時棒不再受安培力，棒以速度v1（v1

丙圖中，在ab棒向右運動過程中，由右手定則知棒中的感應電動勢方向由b指向a，與電源E

的電動勢彼此加強，電路中的總電流i=E+BLvR，在向左的變力安培力F=iLB的作用下，棒做加速度越來越小的減速運動；棒減速到零的瞬間，由于電源的作用，電路中仍然有電流，導體棒仍然要受到向左的安培力，故導體棒開始向左做變加速運動，由于i′=E-BLvR，所以加速度仍然越來越小.當BLv0′=E時，電路中的電流減小為零，安培力消失，ab棒最后以速度v0′向左勻速運動.棒最終的速度v0′與初速度v0的大小關系取決于E和BLv0的大小關系.若E>BLv0，則v0′>v0′；若E=BLv0，則v0′=v0；若E

綜上所述，甲圖中，棒最終靜止；乙圖中，棒最終仍向右勻速運動，只是速率變??；丙圖中，棒最終要反向，即向左勻速運動，速率可能變大、不變或者變小.故答案選B、D.

有興趣的讀者可以將丙圖中的電動勢反向接入電路，再進行相應的分析.

（參考答案：當E=BLv0時，棒一直以速度v0向右勻速運動；當EBLv0時，棒向右加速至EBL時勻速運動.）

例2 水平面內有一豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B.

⑴如圖2所示，一邊長為 的正方形金屬線框水平放置，并正以速度v勻速向右運動，當導體框剛好有一半處于磁場中時，試求F、H兩點間的電勢差.

⑵若完全相同的導體框仍垂直于磁場放置，且剛好有一半的導體框處于磁場中，如圖3所示，若磁場的磁感應強度正以ΔBΔt=K （K為定值）均勻增強，導體框各邊的電阻均為r.試求這種情況下F、H兩點間的電勢差.

解析 根據電磁感應的相關知識可以知道，感應電動勢分為動生電動勢和感生電動勢兩類.它們產生的機理不相同.當導體在磁場中做切割磁感線運動時，導體中大量自由電荷也隨導體一起定向移動，微觀上要受到洛倫茲力的作用，從而使這些自由電荷相對于導體要向導體的某一端聚集，導體的另外一端顯示出相反的電性，這樣在導體的兩端就會出現電勢差，這就是動生電動勢的由來.感生電動勢的產生原因是因為變化的磁場會在周圍的空間里產生電場，這種電場被稱為渦旋電場，在渦旋電場的作用下會使導體中的自由電荷發生定向移動，從而在導體中產生感應電流或使導體的不同部分之間存在電勢差.從能量轉化的角度來看，動生電動勢是導體棒克服安培力做功將自身的動能或其他形式的能量轉化為電能的過程；感生電動勢是將磁場中隱藏的磁場能向電場能轉化的過程.

⑴圖2所示為動生電動勢情形

AE邊相當于等效電源，感應電動勢大小為E1=BLv，回路中的總電流I1=BLv4r，另外AC、CD、DE相當于外電路，R外=3r，故FH間的電壓U1=I1·rRCDH=BLv4r×2r=12BLv.

⑵圖3所示為感生電動勢情形

根據法拉第電磁感應定律，閉合電路感應電動勢與穿過這一電路磁通量的變化率成正比.而且整個回路都產生感應電動勢，且不可把回路分成內外電路，也不可錯誤的認為只有處在磁場中的那部分導體才是電源、處在磁場之外的那部分就是外電路.這是因為變化的磁場產生的渦旋電場并不僅僅存在于有界的那部分磁場之中，沒有磁場的地方仍然有渦旋電場，渦旋電場會對整個回路中的電荷都做功.但是在 公式中的E=nΔΦΔt=nsΔBΔt應該用回路在磁場中的那部分有效面積，因為磁通量的變化只存在于這部分面積上，公式中的E為整個回路的電動勢，包括磁場內外兩部分電動勢之和.簡而言之，回路中的各個部分都可以當成含源電路來處理.

根據上面的分析可知，回路的總電動勢

E2=ΔBΔt·s有效=12KL2.

如圖所示，圖4和圖5的閉合回路的感應電動勢完全相同，即圖FCDH中的部分的感應電動勢與圖FH中的部分完全相同.由于圖4中的FH部分電阻為總電阻的13，渦旋電場對這部分上的電荷做功數值也為整個回路的13，故FH部分感應電動勢大小E3=13E2=16KL2.

故FCDH部分產生的感應電動勢大小E4=E3=16KL2.

圖3回路中的總電流I2=E24r=KL28r.

FCDH部分的等效電路如圖5所示：

UHF=U2r-E4=I2×2r-E4=14KL2-16KL2=112KL2.

電磁感應是高中物理中的重要內容，也是高考物理中的重點和難點.筆者在教學實踐中發現，電磁感應中經常會出現一些“形似神非”的問題，學生對于這樣的問題容易發生混淆，感到束手無策，久而久之就會在物理學習上產生畏懼心理.現對這類問題舉例加以說明.

例 如圖1中的甲、乙、丙圖所示，圖中除導體棒ab可動外，其余部分均固定不動.乙圖中電容器原來不帶電，設導體棒、導軌、和直流電源的電阻均可忽略不計，導體棒和導軌間的摩擦也不計，圖中裝置均置于水平面內且都處于方向垂直于水平面（即紙面）向下的勻強磁場中，導軌足夠長，現給導體棒ab一個向右的初速度v0，在甲、乙、丙三種情況下，導體棒ab最終的運動狀態是：

A.三種情形下，導體棒ab都做勻速運動

B.乙丙中，ab棒最終以不同速度做勻速運動，甲中棒最終靜止

c.乙丙中，ab棒最終以不同速率做勻速運動，甲中棒最終靜止

D.丙圖中，ab棒最終的速率可能大于v0

解析 甲乙丙三圖貌似相同，其實不然，它們經歷的物理過程、適用的物理規律、最終的運動狀態都不盡相同.

甲圖中的情形最為簡單.在電磁感應現象中，由于安培力的存在總要阻礙導體間的相對運動，故ab棒做加速度越來越小的減速運動，最終靜止， 棒的動能最終全部轉化為電阻 上的電熱，在數值上還等于棒克服安培力所做的功.

寫成表達式為：QR=

12mv20.

乙圖中，由于最初電容器不帶電，ab棒在最初的一段時間內給電容器充電，只要棒ab的瞬時感應電動勢大于電容器兩極板間的電壓，電路中就存在充電電流，但是充電電流的數值逐漸減小，表達式為i=BLv-uCR，當uc0=BLv1時，i=0，充電完畢，此時棒不再受安培力，棒以速度v1（v1

丙圖中，在ab棒向右運動過程中，由右手定則知棒中的感應電動勢方向由b指向a，與電源E

的電動勢彼此加強，電路中的總電流i=E+BLvR，在向左的變力安培力F=iLB的作用下，棒做加速度越來越小的減速運動；棒減速到零的瞬間，由于電源的作用，電路中仍然有電流，導體棒仍然要受到向左的安培力，故導體棒開始向左做變加速運動，由于i′=E-BLvR，所以加速度仍然越來越小.當BLv0′=E時，電路中的電流減小為零，安培力消失，ab棒最后以速度v0′向左勻速運動.棒最終的速度v0′與初速度v0的大小關系取決于E和BLv0的大小關系.若E>BLv0，則v0′>v0′；若E=BLv0，則v0′=v0；若E

綜上所述，甲圖中，棒最終靜止；乙圖中，棒最終仍向右勻速運動，只是速率變??；丙圖中，棒最終要反向，即向左勻速運動，速率可能變大、不變或者變小.故答案選B、D.

有興趣的讀者可以將丙圖中的電動勢反向接入電路，再進行相應的分析.

（參考答案：當E=BLv0時，棒一直以速度v0向右勻速運動；當EBLv0時，棒向右加速至EBL時勻速運動.）

例2 水平面內有一豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B.

⑴如圖2所示，一邊長為 的正方形金屬線框水平放置，并正以速度v勻速向右運動，當導體框剛好有一半處于磁場中時，試求F、H兩點間的電勢差.

⑵若完全相同的導體框仍垂直于磁場放置，且剛好有一半的導體框處于磁場中，如圖3所示，若磁場的磁感應強度正以ΔBΔt=K （K為定值）均勻增強，導體框各邊的電阻均為r.試求這種情況下F、H兩點間的電勢差.

解析 根據電磁感應的相關知識可以知道，感應電動勢分為動生電動勢和感生電動勢兩類.它們產生的機理不相同.當導體在磁場中做切割磁感線運動時，導體中大量自由電荷也隨導體一起定向移動，微觀上要受到洛倫茲力的作用，從而使這些自由電荷相對于導體要向導體的某一端聚集，導體的另外一端顯示出相反的電性，這樣在導體的兩端就會出現電勢差，這就是動生電動勢的由來.感生電動勢的產生原因是因為變化的磁場會在周圍的空間里產生電場，這種電場被稱為渦旋電場，在渦旋電場的作用下會使導體中的自由電荷發生定向移動，從而在導體中產生感應電流或使導體的不同部分之間存在電勢差.從能量轉化的角度來看，動生電動勢是導體棒克服安培力做功將自身的動能或其他形式的能量轉化為電能的過程；感生電動勢是將磁場中隱藏的磁場能向電場能轉化的過程.

⑴圖2所示為動生電動勢情形

AE邊相當于等效電源，感應電動勢大小為E1=BLv，回路中的總電流I1=BLv4r，另外AC、CD、DE相當于外電路，R外=3r，故FH間的電壓U1=I1·rRCDH=BLv4r×2r=12BLv.

⑵圖3所示為感生電動勢情形

根據法拉第電磁感應定律，閉合電路感應電動勢與穿過這一電路磁通量的變化率成正比.而且整個回路都產生感應電動勢，且不可把回路分成內外電路，也不可錯誤的認為只有處在磁場中的那部分導體才是電源、處在磁場之外的那部分就是外電路.這是因為變化的磁場產生的渦旋電場并不僅僅存在于有界的那部分磁場之中，沒有磁場的地方仍然有渦旋電場，渦旋電場會對整個回路中的電荷都做功.但是在 公式中的E=nΔΦΔt=nsΔBΔt應該用回路在磁場中的那部分有效面積，因為磁通量的變化只存在于這部分面積上，公式中的E為整個回路的電動勢，包括磁場內外兩部分電動勢之和.簡而言之，回路中的各個部分都可以當成含源電路來處理.

根據上面的分析可知，回路的總電動勢

E2=ΔBΔt·s有效=12KL2.

如圖所示，圖4和圖5的閉合回路的感應電動勢完全相同，即圖FCDH中的部分的感應電動勢與圖FH中的部分完全相同.由于圖4中的FH部分電阻為總電阻的13，渦旋電場對這部分上的電荷做功數值也為整個回路的13，故FH部分感應電動勢大小E3=13E2=16KL2.

故FCDH部分產生的感應電動勢大小E4=E3=16KL2.

圖3回路中的總電流I2=E24r=KL28r.

FCDH部分的等效電路如圖5所示：

UHF=U2r-E4=I2×2r-E4=14KL2-16KL2=112KL2.