試論高中物理求極值的思路和方法

唐斌

高中物理極值問題解決過程中，離不開數學知識，所以熟練的數學運算能力和數學推理能力是解決物理極值問題必備的能力，高中階段，學生一定要學會熟練運用數學知識解決物理問題.很多學生認為高中物理求極值問題很難，解題時無從下手，其實物理求極值也有規律可循，只要掌握基本的解題技巧，與數學知識靈活整合，拓展解題思路，很多問題就迎刃而解了.以下對高中物理求極值的思路和方法進行簡單介紹，以饗讀者.

一、關于極值問題的概述

高中物理試題中經常出現“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語，這些詞語暗示了求極值的必要性.顧名思義，極值問題就是求某個物理量在某個過程中的極大值和極小值，物體在發展變化中，遵循一定的物理條件和物理規律，通常只有在一定范圍內才符合物理問題的實際，而這個范圍正是我們所要求得的極值.通常求極值的方法有許多，如三角函數法、均值不等式法等，以下我們以題為例，介紹幾種最為常見的物理極值問題的解決方法.

二、高中求極值的基本思路和方法

1.運用二次函數求極值

已知一元二次函數y=ax2+bx+c，當x=-b/2a時，若a>0，則y有極小值4ac-b2/4a；若a<0.則y有極大值：

4ac-b2/4a.

例 一輛汽車在公路上行駛，汽車啟動時以3 m/s2的加速度行駛，此時一輛自行車以6 m/s的速度勻速行駛，且剛好從后面追過汽車，問在汽車追上自行車之前，它們相距的最遠距離是多少？此時經過了多長時間？

解 設經過的時間為t時兩車最大距離為Δs經過時間t后，自行車位移s1=vt；

汽車位移s2=12at2.

則它們的距離為

Δs=s1-s2=vt-12at2

故t=-b2a=-62v（-82）=2（s）

此時Δs=4ac-b2/4a=6（m）

2.數形結合求極值

利用數形結合求極值，既直觀又簡便，根據給定的已知條件，做出簡單的計算或作圖，易于理解.

例1 三個共點力分別為：3N、6N、8N，它們位于同一平面上，求合力的極大值和極小值.

分析 三個共面力只要能構成一個三角形（既兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊），則合力最小值為0；

解 合力極小值Fmin=0；Fmax=F1+F2+F3=17N

例2 一質量均勻的小球置于光滑的斜面上，傾斜角為α，小球滑落一段距離后，用一塊木板擋住小球，使之停止（如圖1），現逐漸增大木板與斜面之間的夾角，小球對木板的壓力F怎樣變化，求變化極值.（木板的厚度不計）

解 對小球進行受力分析，根據力的平衡可得出，小球所受斜面支持力N1與擋板壓力N2的合力與小球的重力G等大反向，由圖可以看出，N1的方向不變，且隨著擋板與斜面夾角的增大，N1隨之增大，N2先減少后增大，N2的極小值為Gsinα，極大值為G，由于小球對木板的壓力與木板對小球壓力是一對作用力與反作用力的關系，故小球對木板的壓力F的極小值為Gsinα，極大值為G.

3.三角函數求極值

三角函數法是高中物理求極值是比較常用的一種方法，由于-1≤sina≤1，-1≤cosa≤1，如果題中的物理量滿足y=sina或y=cosα的形式，則可用此方法來求極值.

例 一個重為G的木箱放在平面上，已知木箱與平面的摩擦因數為μ，現用大小為F，與平面夾角為a的力拉木箱，使之沿水平面做勻速運動，試問a多大時，F的值最小，最小值是多少.

解 對木箱進行受力分析（如圖2所示）

①Fsinα+N=G ②Fcosα=f

③f=μN

解得F=μGcosα+μsinα=μC1+μ2sin（α+φ） 其中tgΦ=μ

當sin（α+Φ）=1時，Fmin=μG1+μ2，即α+Φ=π2，故α=

arctgμ

4.利用均值不等式求極值

利用均值不等式求極值時需要掌握a+b≥2ab的應用

例 如圖3所示，求電源輸出功率的最大值

解 P=（ε2R+r）2R=R（R+r）2ζ2=1（R+rR）2ζ2

根據均值不等式關系得R+RR≥2r

所以當P≤ζ2（2r）2=ζ24r時，外電阻R=r

5.利用數學求導法求極值

例 一艘帆船在海面行駛，已知風對帆的外力為F=12aS（v0-v），S是帆的面積，a為系數，v0為風速，v是船速，求船的速度最大時風的功率是多少？

解 風對帆所做功的功率

N=Fv=12aS（v0-v）2V，

高中物理極值問題解決過程中，離不開數學知識，所以熟練的數學運算能力和數學推理能力是解決物理極值問題必備的能力，高中階段，學生一定要學會熟練運用數學知識解決物理問題.很多學生認為高中物理求極值問題很難，解題時無從下手，其實物理求極值也有規律可循，只要掌握基本的解題技巧，與數學知識靈活整合，拓展解題思路，很多問題就迎刃而解了.以下對高中物理求極值的思路和方法進行簡單介紹，以饗讀者.

一、關于極值問題的概述

高中物理試題中經常出現“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語，這些詞語暗示了求極值的必要性.顧名思義，極值問題就是求某個物理量在某個過程中的極大值和極小值，物體在發展變化中，遵循一定的物理條件和物理規律，通常只有在一定范圍內才符合物理問題的實際，而這個范圍正是我們所要求得的極值.通常求極值的方法有許多，如三角函數法、均值不等式法等，以下我們以題為例，介紹幾種最為常見的物理極值問題的解決方法.

二、高中求極值的基本思路和方法

1.運用二次函數求極值

已知一元二次函數y=ax2+bx+c，當x=-b/2a時，若a>0，則y有極小值4ac-b2/4a；若a<0.則y有極大值：

4ac-b2/4a.

例 一輛汽車在公路上行駛，汽車啟動時以3 m/s2的加速度行駛，此時一輛自行車以6 m/s的速度勻速行駛，且剛好從后面追過汽車，問在汽車追上自行車之前，它們相距的最遠距離是多少？此時經過了多長時間？

解 設經過的時間為t時兩車最大距離為Δs經過時間t后，自行車位移s1=vt；

汽車位移s2=12at2.

則它們的距離為

Δs=s1-s2=vt-12at2

故t=-b2a=-62v（-82）=2（s）

此時Δs=4ac-b2/4a=6（m）

2.數形結合求極值

利用數形結合求極值，既直觀又簡便，根據給定的已知條件，做出簡單的計算或作圖，易于理解.

例1 三個共點力分別為：3N、6N、8N，它們位于同一平面上，求合力的極大值和極小值.

分析 三個共面力只要能構成一個三角形（既兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊），則合力最小值為0；

解 合力極小值Fmin=0；Fmax=F1+F2+F3=17N

例2 一質量均勻的小球置于光滑的斜面上，傾斜角為α，小球滑落一段距離后，用一塊木板擋住小球，使之停止（如圖1），現逐漸增大木板與斜面之間的夾角，小球對木板的壓力F怎樣變化，求變化極值.（木板的厚度不計）

解 對小球進行受力分析，根據力的平衡可得出，小球所受斜面支持力N1與擋板壓力N2的合力與小球的重力G等大反向，由圖可以看出，N1的方向不變，且隨著擋板與斜面夾角的增大，N1隨之增大，N2先減少后增大，N2的極小值為Gsinα，極大值為G，由于小球對木板的壓力與木板對小球壓力是一對作用力與反作用力的關系，故小球對木板的壓力F的極小值為Gsinα，極大值為G.

3.三角函數求極值

三角函數法是高中物理求極值是比較常用的一種方法，由于-1≤sina≤1，-1≤cosa≤1，如果題中的物理量滿足y=sina或y=cosα的形式，則可用此方法來求極值.

例 一個重為G的木箱放在平面上，已知木箱與平面的摩擦因數為μ，現用大小為F，與平面夾角為a的力拉木箱，使之沿水平面做勻速運動，試問a多大時，F的值最小，最小值是多少.

解 對木箱進行受力分析（如圖2所示）

①Fsinα+N=G ②Fcosα=f

③f=μN

解得F=μGcosα+μsinα=μC1+μ2sin（α+φ） 其中tgΦ=μ

當sin（α+Φ）=1時，Fmin=μG1+μ2，即α+Φ=π2，故α=

arctgμ

4.利用均值不等式求極值

利用均值不等式求極值時需要掌握a+b≥2ab的應用

例 如圖3所示，求電源輸出功率的最大值

解 P=（ε2R+r）2R=R（R+r）2ζ2=1（R+rR）2ζ2

根據均值不等式關系得R+RR≥2r

所以當P≤ζ2（2r）2=ζ24r時，外電阻R=r

5.利用數學求導法求極值

例 一艘帆船在海面行駛，已知風對帆的外力為F=12aS（v0-v），S是帆的面積，a為系數，v0為風速，v是船速，求船的速度最大時風的功率是多少？

解 風對帆所做功的功率

N=Fv=12aS（v0-v）2V，

高中物理極值問題解決過程中，離不開數學知識，所以熟練的數學運算能力和數學推理能力是解決物理極值問題必備的能力，高中階段，學生一定要學會熟練運用數學知識解決物理問題.很多學生認為高中物理求極值問題很難，解題時無從下手，其實物理求極值也有規律可循，只要掌握基本的解題技巧，與數學知識靈活整合，拓展解題思路，很多問題就迎刃而解了.以下對高中物理求極值的思路和方法進行簡單介紹，以饗讀者.

一、關于極值問題的概述

高中物理試題中經常出現“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語，這些詞語暗示了求極值的必要性.顧名思義，極值問題就是求某個物理量在某個過程中的極大值和極小值，物體在發展變化中，遵循一定的物理條件和物理規律，通常只有在一定范圍內才符合物理問題的實際，而這個范圍正是我們所要求得的極值.通常求極值的方法有許多，如三角函數法、均值不等式法等，以下我們以題為例，介紹幾種最為常見的物理極值問題的解決方法.

二、高中求極值的基本思路和方法

1.運用二次函數求極值

已知一元二次函數y=ax2+bx+c，當x=-b/2a時，若a>0，則y有極小值4ac-b2/4a；若a<0.則y有極大值：

4ac-b2/4a.

例 一輛汽車在公路上行駛，汽車啟動時以3 m/s2的加速度行駛，此時一輛自行車以6 m/s的速度勻速行駛，且剛好從后面追過汽車，問在汽車追上自行車之前，它們相距的最遠距離是多少？此時經過了多長時間？

解 設經過的時間為t時兩車最大距離為Δs經過時間t后，自行車位移s1=vt；

汽車位移s2=12at2.

則它們的距離為

Δs=s1-s2=vt-12at2

故t=-b2a=-62v（-82）=2（s）

此時Δs=4ac-b2/4a=6（m）

2.數形結合求極值

利用數形結合求極值，既直觀又簡便，根據給定的已知條件，做出簡單的計算或作圖，易于理解.

例1 三個共點力分別為：3N、6N、8N，它們位于同一平面上，求合力的極大值和極小值.

分析 三個共面力只要能構成一個三角形（既兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊），則合力最小值為0；

解 合力極小值Fmin=0；Fmax=F1+F2+F3=17N

例2 一質量均勻的小球置于光滑的斜面上，傾斜角為α，小球滑落一段距離后，用一塊木板擋住小球，使之停止（如圖1），現逐漸增大木板與斜面之間的夾角，小球對木板的壓力F怎樣變化，求變化極值.（木板的厚度不計）

解 對小球進行受力分析，根據力的平衡可得出，小球所受斜面支持力N1與擋板壓力N2的合力與小球的重力G等大反向，由圖可以看出，N1的方向不變，且隨著擋板與斜面夾角的增大，N1隨之增大，N2先減少后增大，N2的極小值為Gsinα，極大值為G，由于小球對木板的壓力與木板對小球壓力是一對作用力與反作用力的關系，故小球對木板的壓力F的極小值為Gsinα，極大值為G.

3.三角函數求極值

三角函數法是高中物理求極值是比較常用的一種方法，由于-1≤sina≤1，-1≤cosa≤1，如果題中的物理量滿足y=sina或y=cosα的形式，則可用此方法來求極值.

例 一個重為G的木箱放在平面上，已知木箱與平面的摩擦因數為μ，現用大小為F，與平面夾角為a的力拉木箱，使之沿水平面做勻速運動，試問a多大時，F的值最小，最小值是多少.

解 對木箱進行受力分析（如圖2所示）

①Fsinα+N=G ②Fcosα=f

③f=μN

解得F=μGcosα+μsinα=μC1+μ2sin（α+φ） 其中tgΦ=μ

當sin（α+Φ）=1時，Fmin=μG1+μ2，即α+Φ=π2，故α=

arctgμ

4.利用均值不等式求極值

利用均值不等式求極值時需要掌握a+b≥2ab的應用

例 如圖3所示，求電源輸出功率的最大值

解 P=（ε2R+r）2R=R（R+r）2ζ2=1（R+rR）2ζ2

根據均值不等式關系得R+RR≥2r

所以當P≤ζ2（2r）2=ζ24r時，外電阻R=r

5.利用數學求導法求極值

例 一艘帆船在海面行駛，已知風對帆的外力為F=12aS（v0-v），S是帆的面積，a為系數，v0為風速，v是船速，求船的速度最大時風的功率是多少？

解 風對帆所做功的功率

N=Fv=12aS（v0-v）2V，