一道模擬題與高考題的聯(lián)系與解法探究

翁遠珍+楊唐桂

每年高考試題豐富多彩，形式各樣，而且都是原創(chuàng)題，但是對數(shù)學知識考查及解法卻是大同小異，有些高考題更是可看成是平時一些模擬題的變式提高，關(guān)鍵是能不能發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系.下以兩題為例.

一、原題展示

題目1 （2013年高考新課標1（理）第12題）設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，…，若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，則（ ）.

A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

題目2 （2012武漢模擬）如圖，線段AB=8，點C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動點，點A繞點C旋轉(zhuǎn)后與點B繞點P旋轉(zhuǎn)后重合于點D.設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）.則f（x）的定義域為 ；f（x）的最大值為 .

二、發(fā)現(xiàn)聯(lián)系

粗一看這兩道題一個問的是數(shù)列問題，一個問的是函數(shù)問題，兩者沒什么關(guān)系.可細一看，不難發(fā)現(xiàn)，兩者都涉及到三角形的面積.

再細分析條件 對于題目1

因為an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，所以an=a1，

所以bn+1+cn+1=an+bn+cn2=a1+bn+cn2，

所以bn+1+cn+1-2a1=bn+cn-2a12，又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1.

于是，在△AnBnCn中，邊長BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長度之和bn+cn=2a1為定值.

對于題目2

由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x，邊長DC為定值，另兩邊CP+DP=6為定值.

可見兩題本質(zhì)相同，實是考查同一知識：已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.

三、解法探究

因為兩題本質(zhì)相同，故可用相同方法求解.常用方法有以下幾種：

方法一：

因為三角形周長為定值，故可用海倫公式求解

題目1：可得Sn=p（p-an）（p-bn）（p-cn）=p（p-a1）（p2-2a1p+bncn），

其中p是半周長，各三角形半周長相等，bn+1cn+1=a2n+（bn+cn）an+bncn4=3a21+bncn4，所以bn+1cn+1-bncn=3a21-3bncn4>0，即{bncn}是遞增的，故{Sn}是遞增的.選B

題目2中：由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x.

因為△CPD中，兩邊之差小于第三邊及兩邊之和大于第三邊，所以得x∈（2，4），三角形的周長是一個定值8，

故其面積可用海倫公式表示出來，即f（x）=4（4-x）（4-6+x）2=-8x2+48x-64，

易得x=3時，f（x）max=22.

方法二：

由于海倫公式在有些教材是作為閱讀材料補充的，可能較多學生不會記憶，也可用三角形余弦定理求解.以題目2為例，由余弦定理有

cos∠DCP=DC2+CP2-DP22DC·CP=4+x2-（6-x）24x=3x-8x

，

所以sin∠DCP=1-（3x-8x）2=-8x2+48x-64x（2

，則f（x）=12DC·CP·sin∠DCP，可得f（x）=-8x2+48x--64，下同法一.

方法三：

設(shè)∠DCP=α，由方法二cos∠DCP=3x-8x，可得x=83-cosα，則S△DCP=12DC·CP·sin∠DCP=8sinα3-cosα（0<α<π）.可求得最大值22.

以上三種方法都是圍繞解三角形而來，而方法二與方法三在解題目2時易于想到，對于題目1卻難以聯(lián)想.而且對于這樣一道選擇題，對海倫公式不熟練的同學，也是想不到此公式的.那么，有沒有更易于想到且計算更快的方法呢？由上分析已得知：題目1和題目2都是已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.以上三法都是從三邊出發(fā)而得，實際也可看成是三角形三頂點中兩點固定，另一頂點運動.筆者經(jīng)過進一步的分析思考，得到方法四.

方法四：

題目1中，因為an+1=an=a1=BnCn，bn+cn=AnCn+AnBn=2a1>a1=BnCn所以An在以Bn，Cn為焦點的橢圓上運動（不與E，F(xiàn)重合），如圖.同方法一中，因為bn+1-cn+1=cn+an2-bn+an2=-12（bn-cn），所以bn-cn=（-12）n-1（b1-c1）.

當n→+∞時，有bn-cn→0，即bn→cn，所以An在橢圓頂點D兩邊擺動向D點靠近，由圖易知，當An越向D點靠近，△AnBnCn的面積越大，故{Sn}是遞增的.

此法用于題目2，亦可快速得出f（x）的最大值.

每年高考試題豐富多彩，形式各樣，而且都是原創(chuàng)題，但是對數(shù)學知識考查及解法卻是大同小異，有些高考題更是可看成是平時一些模擬題的變式提高，關(guān)鍵是能不能發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系.下以兩題為例.

一、原題展示

題目1 （2013年高考新課標1（理）第12題）設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，…，若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，則（ ）.

A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

題目2 （2012武漢模擬）如圖，線段AB=8，點C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動點，點A繞點C旋轉(zhuǎn)后與點B繞點P旋轉(zhuǎn)后重合于點D.設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）.則f（x）的定義域為 ；f（x）的最大值為 .

二、發(fā)現(xiàn)聯(lián)系

粗一看這兩道題一個問的是數(shù)列問題，一個問的是函數(shù)問題，兩者沒什么關(guān)系.可細一看，不難發(fā)現(xiàn)，兩者都涉及到三角形的面積.

再細分析條件 對于題目1

因為an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，所以an=a1，

所以bn+1+cn+1=an+bn+cn2=a1+bn+cn2，

所以bn+1+cn+1-2a1=bn+cn-2a12，又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1.

于是，在△AnBnCn中，邊長BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長度之和bn+cn=2a1為定值.

對于題目2

由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x，邊長DC為定值，另兩邊CP+DP=6為定值.

可見兩題本質(zhì)相同，實是考查同一知識：已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.

三、解法探究

因為兩題本質(zhì)相同，故可用相同方法求解.常用方法有以下幾種：

方法一：

因為三角形周長為定值，故可用海倫公式求解

題目1：可得Sn=p（p-an）（p-bn）（p-cn）=p（p-a1）（p2-2a1p+bncn），

其中p是半周長，各三角形半周長相等，bn+1cn+1=a2n+（bn+cn）an+bncn4=3a21+bncn4，所以bn+1cn+1-bncn=3a21-3bncn4>0，即{bncn}是遞增的，故{Sn}是遞增的.選B

題目2中：由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x.

因為△CPD中，兩邊之差小于第三邊及兩邊之和大于第三邊，所以得x∈（2，4），三角形的周長是一個定值8，

故其面積可用海倫公式表示出來，即f（x）=4（4-x）（4-6+x）2=-8x2+48x-64，

易得x=3時，f（x）max=22.

方法二：

由于海倫公式在有些教材是作為閱讀材料補充的，可能較多學生不會記憶，也可用三角形余弦定理求解.以題目2為例，由余弦定理有

cos∠DCP=DC2+CP2-DP22DC·CP=4+x2-（6-x）24x=3x-8x

，

所以sin∠DCP=1-（3x-8x）2=-8x2+48x-64x（2

，則f（x）=12DC·CP·sin∠DCP，可得f（x）=-8x2+48x--64，下同法一.

方法三：

設(shè)∠DCP=α，由方法二cos∠DCP=3x-8x，可得x=83-cosα，則S△DCP=12DC·CP·sin∠DCP=8sinα3-cosα（0<α<π）.可求得最大值22.

以上三種方法都是圍繞解三角形而來，而方法二與方法三在解題目2時易于想到，對于題目1卻難以聯(lián)想.而且對于這樣一道選擇題，對海倫公式不熟練的同學，也是想不到此公式的.那么，有沒有更易于想到且計算更快的方法呢？由上分析已得知：題目1和題目2都是已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.以上三法都是從三邊出發(fā)而得，實際也可看成是三角形三頂點中兩點固定，另一頂點運動.筆者經(jīng)過進一步的分析思考，得到方法四.

方法四：

題目1中，因為an+1=an=a1=BnCn，bn+cn=AnCn+AnBn=2a1>a1=BnCn所以An在以Bn，Cn為焦點的橢圓上運動（不與E，F(xiàn)重合），如圖.同方法一中，因為bn+1-cn+1=cn+an2-bn+an2=-12（bn-cn），所以bn-cn=（-12）n-1（b1-c1）.

當n→+∞時，有bn-cn→0，即bn→cn，所以An在橢圓頂點D兩邊擺動向D點靠近，由圖易知，當An越向D點靠近，△AnBnCn的面積越大，故{Sn}是遞增的.

此法用于題目2，亦可快速得出f（x）的最大值.

每年高考試題豐富多彩，形式各樣，而且都是原創(chuàng)題，但是對數(shù)學知識考查及解法卻是大同小異，有些高考題更是可看成是平時一些模擬題的變式提高，關(guān)鍵是能不能發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系.下以兩題為例.

一、原題展示

題目1 （2013年高考新課標1（理）第12題）設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，…，若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，則（ ）.

A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

題目2 （2012武漢模擬）如圖，線段AB=8，點C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動點，點A繞點C旋轉(zhuǎn)后與點B繞點P旋轉(zhuǎn)后重合于點D.設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）.則f（x）的定義域為 ；f（x）的最大值為 .

二、發(fā)現(xiàn)聯(lián)系

粗一看這兩道題一個問的是數(shù)列問題，一個問的是函數(shù)問題，兩者沒什么關(guān)系.可細一看，不難發(fā)現(xiàn)，兩者都涉及到三角形的面積.

再細分析條件 對于題目1

因為an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，所以an=a1，

所以bn+1+cn+1=an+bn+cn2=a1+bn+cn2，

所以bn+1+cn+1-2a1=bn+cn-2a12，又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1.

于是，在△AnBnCn中，邊長BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長度之和bn+cn=2a1為定值.

對于題目2

由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x，邊長DC為定值，另兩邊CP+DP=6為定值.

可見兩題本質(zhì)相同，實是考查同一知識：已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.

三、解法探究

因為兩題本質(zhì)相同，故可用相同方法求解.常用方法有以下幾種：

方法一：

因為三角形周長為定值，故可用海倫公式求解

題目1：可得Sn=p（p-an）（p-bn）（p-cn）=p（p-a1）（p2-2a1p+bncn），

其中p是半周長，各三角形半周長相等，bn+1cn+1=a2n+（bn+cn）an+bncn4=3a21+bncn4，所以bn+1cn+1-bncn=3a21-3bncn4>0，即{bncn}是遞增的，故{Sn}是遞增的.選B

題目2中：由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x.

因為△CPD中，兩邊之差小于第三邊及兩邊之和大于第三邊，所以得x∈（2，4），三角形的周長是一個定值8，

故其面積可用海倫公式表示出來，即f（x）=4（4-x）（4-6+x）2=-8x2+48x-64，

易得x=3時，f（x）max=22.

方法二：

由于海倫公式在有些教材是作為閱讀材料補充的，可能較多學生不會記憶，也可用三角形余弦定理求解.以題目2為例，由余弦定理有

cos∠DCP=DC2+CP2-DP22DC·CP=4+x2-（6-x）24x=3x-8x

，

所以sin∠DCP=1-（3x-8x）2=-8x2+48x-64x（2

，則f（x）=12DC·CP·sin∠DCP，可得f（x）=-8x2+48x--64，下同法一.

方法三：

設(shè)∠DCP=α，由方法二cos∠DCP=3x-8x，可得x=83-cosα，則S△DCP=12DC·CP·sin∠DCP=8sinα3-cosα（0<α<π）.可求得最大值22.

以上三種方法都是圍繞解三角形而來，而方法二與方法三在解題目2時易于想到，對于題目1卻難以聯(lián)想.而且對于這樣一道選擇題，對海倫公式不熟練的同學，也是想不到此公式的.那么，有沒有更易于想到且計算更快的方法呢？由上分析已得知：題目1和題目2都是已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.以上三法都是從三邊出發(fā)而得，實際也可看成是三角形三頂點中兩點固定，另一頂點運動.筆者經(jīng)過進一步的分析思考，得到方法四.

方法四：

題目1中，因為an+1=an=a1=BnCn，bn+cn=AnCn+AnBn=2a1>a1=BnCn所以An在以Bn，Cn為焦點的橢圓上運動（不與E，F(xiàn)重合），如圖.同方法一中，因為bn+1-cn+1=cn+an2-bn+an2=-12（bn-cn），所以bn-cn=（-12）n-1（b1-c1）.

當n→+∞時，有bn-cn→0，即bn→cn，所以An在橢圓頂點D兩邊擺動向D點靠近，由圖易知，當An越向D點靠近，△AnBnCn的面積越大，故{Sn}是遞增的.

此法用于題目2，亦可快速得出f（x）的最大值.