VaR與CVaR的敏感性凸性及其核估計(jì)

黃金波，李仲飛，周先波

(1.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510320；2.中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510275；3.中山大學(xué)嶺南學(xué)院，廣東 廣州 510275)

1 引言

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(Value-at-Risk, 縮寫(xiě)為VaR,)和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(Conditional Value-at-Risk, 縮寫(xiě)為CVaR)是當(dāng)今最為流行的兩大風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。VaR是指給定置信水平和目標(biāo)時(shí)段下預(yù)期的最大可能損失[1]，這一概念涵蓋了不確定性和損失兩大風(fēng)險(xiǎn)特征，而且還允許人們根據(jù)自己對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好選擇一個(gè)特定的主觀概率，其對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的度量方式與人們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的心理感受非常接近[2]。所以VaR一經(jīng)提出，便得到了迅速推廣，巴塞爾協(xié)議(Basel Accord, 1995)和歐盟資本充足率指導(dǎo)(EU Capital Adequacy Directive, 1996)先后將VaR列入監(jiān)督指標(biāo)。在巴塞爾銀行監(jiān)督委員會(huì)和國(guó)際證券委員會(huì)的推動(dòng)下，VaR逐漸發(fā)展為國(guó)際上風(fēng)險(xiǎn)度量的通用標(biāo)準(zhǔn)。目前，VaR的應(yīng)用范圍涉及到證券公司、投資銀行、商業(yè)銀行、養(yǎng)老基金及金融監(jiān)管機(jī)構(gòu)等。

VaR的廣泛應(yīng)用也引發(fā)人們對(duì)它的深入研究，并開(kāi)始把VaR與其它指標(biāo)進(jìn)行比較。Artzner 等[3]提出一致性風(fēng)險(xiǎn)度量理論，他們認(rèn)為一致性風(fēng)險(xiǎn)度量工具至少應(yīng)該滿(mǎn)足四個(gè)公理性條件：?jiǎn)握{(diào)性；次可加性；正齊次性；平移不變性。Artzner等[4]指出，VaR不滿(mǎn)足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量理論中的次可加性公理，也就是說(shuō)，用VaR度量的組合風(fēng)險(xiǎn)不一定小于單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)的加總，從而破壞投資組合理論中的風(fēng)險(xiǎn)分散化原理；另一方面，許多學(xué)者指出，VaR只報(bào)告收益(或損失)分布的一個(gè)分位數(shù)，并不關(guān)心分位數(shù)后部的風(fēng)險(xiǎn)分布情況。基于VaR的不足，Rockafellar和Uryasev[5-6]提出CVaR的概念，并證明了CVaR的一致性。CVaR度量的是損失超過(guò)VaR水平的條件期望值。CVaR保留了VaR的優(yōu)點(diǎn)，還彌補(bǔ)了VaR不滿(mǎn)足次可加性、沒(méi)有考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)等缺陷，它的計(jì)算問(wèn)題方便處理，是理論界公認(rèn)的一種比VaR更為合理有效的風(fēng)險(xiǎn)度量工具[7]。然而，劉俊山[8]比較VaR和CVaR的優(yōu)劣，指出CVaR在性質(zhì)上要優(yōu)于VaR，但在橢球分布假定下，VaR依然保持次可加性和二階隨機(jī)占優(yōu)的一致性。由于橢圓分布包含諸如t分布以及帕累托分布等能夠反映厚尾特征的分布，因此VaR依然可以刻畫(huà)金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的尾部特征。同時(shí)他指出CVaR在風(fēng)險(xiǎn)管理和監(jiān)管實(shí)踐中遇到諸多的問(wèn)題，例如CVaR模型的事后檢驗(yàn)不易實(shí)施，所以，VaR和CVaR在度量金融風(fēng)險(xiǎn)上孰優(yōu)孰劣沒(méi)有定論。時(shí)至今日，VaR和CVaR都被寫(xiě)進(jìn)巴塞爾協(xié)議III作為監(jiān)管部門(mén)的風(fēng)險(xiǎn)度量工具。

VaR和CVaR概念提出之后，如何對(duì)它們進(jìn)行估計(jì)成為學(xué)者和企業(yè)界共同關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，其間誕生了一系列的估計(jì)方法，Engle和Manganelli[9]將這些估計(jì)方法分為三大類(lèi)：第一類(lèi)是參數(shù)方法，主要包括GARCH族模型和Copula函數(shù)法；第二類(lèi)是半?yún)?shù)方法，主要包括極值理論；第三類(lèi)是非參數(shù)方法。主要包括經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)法和核估計(jì)方法。相對(duì)于參數(shù)半?yún)?shù)方法，非參數(shù)方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要事先對(duì)分布函數(shù)形式做任何的模型設(shè)定，避免人為的模型設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)估計(jì)偏差，能夠給出較為準(zhǔn)確的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)。而且非參數(shù)核估計(jì)方法可以允許金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)之間相互依賴(lài)[10-11]。

因?yàn)樯鲜鰩追矫娴膬?yōu)點(diǎn)，近年來(lái)非參數(shù)核估計(jì)方法在VaR和CVaR估計(jì)上的應(yīng)用發(fā)展非常迅速。Gourieroux等[12]首次給出了VaR的核估計(jì)量但并沒(méi)有研究該估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。Chen Songxi和Tang Chengyong[11]在較弱的條件下證明了VaR核估計(jì)量的一致性和漸進(jìn)正態(tài)性，并且他們發(fā)現(xiàn)，與基于經(jīng)驗(yàn)分布的次序統(tǒng)計(jì)量相比，該核估計(jì)量具有更小的方差和均方誤差。Scaillet[13]首次給出了期望損失(Expected Shortfall, 縮寫(xiě)為ES，在分布函數(shù)滿(mǎn)足連續(xù)性條件下，ES與CVaR相同)的兩步核估計(jì)公式，并研究了ES的敏感性及其核估計(jì)量的大樣本性質(zhì)。Chen Songxi[14]比較了CVaR的非參數(shù)核估計(jì)量和基于經(jīng)驗(yàn)分布的次序統(tǒng)計(jì)量之間的差別，得出二者在估計(jì)的方差和均方誤差方面并無(wú)明顯的差異。國(guó)內(nèi)方面，劉靜和楊善朝[7]、趙曉玲等[10]、劉小茂和李楚霖[15]、劉靜等[16]以及劉曉倩和周勇[17]從不同角度研究了ES核估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

雖然金融風(fēng)險(xiǎn)的非參數(shù)核估計(jì)方法近年來(lái)得到較快發(fā)展，受到越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注，但學(xué)者大多研究VaR和CVaR核估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。少有學(xué)者結(jié)合投資組合理論來(lái)研究VaR和CVaR核估計(jì)量的性質(zhì)，而這對(duì)于實(shí)踐中的風(fēng)險(xiǎn)管理和資產(chǎn)配置至關(guān)重要。為此，本文結(jié)合核估計(jì)方法和投資組合理論研究VaR和CVaR的敏感性和凸性。

2 VaR與CVaR的核估計(jì)

2.1 非參數(shù)核估計(jì)

(1)

(i)0

(ii)g(-z)=g(z);

(2)

(3)

g1(·),h1為變量Y對(duì)應(yīng)的核函數(shù)和窗寬，選取方式同g(·),h。

Y關(guān)于X的條件分布的非參數(shù)核估計(jì)為[18]：

(4)

2.2 VaR與CVaR的核估計(jì)

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量ξ是某資產(chǎn)的隨機(jī)收益率，它的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(·)和F(·)，假設(shè)F(·)是連續(xù)且可導(dǎo)的，記損失概率α下的VaR為v(ξ,α)，則根據(jù)Jorion[1]的定義，VaR的數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫(xiě)為：

v(ξ,α):=-inf{z:F(z)≥α}?F(-v(ξ,α))=α

(5)

記損失概率α下的CVaR為u(ξ,α)，根據(jù)Rockafellar和Uryasev[5]對(duì)CVaR概念的界定，CVaR的數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫(xiě)為：

(6)

(7)

(8)

(9)

定理1：如果核函數(shù)g(·)滿(mǎn)足(2)式的條件且α∈(0,1)，則方程式(8)有且僅有一個(gè)解。

3 VaR與CVaR對(duì)頭寸的敏感性

投資組合VaR和CVaR對(duì)組合頭寸的敏感性和凸性對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)管理和組合選擇至關(guān)重要，敏感性是投資組合的風(fēng)險(xiǎn)值對(duì)頭寸的敏感程度，度量VaR和CVaR隨頭寸變動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)，而是否滿(mǎn)足凸性關(guān)系到能否找到全局最小風(fēng)險(xiǎn)的投資組合問(wèn)題。本節(jié)介紹投資組合VaR和CVaR對(duì)頭寸的敏感性及其核估計(jì)量，下節(jié)討論投資組合VaR與CVaR的凸性。

3.1 投資組合的VaR與CVaR

假設(shè)市場(chǎng)上存在n(n>1)種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第i種資產(chǎn)的收益率為ξi，則ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)′為n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的隨機(jī)向量。設(shè)w=(w1,w2,…,wn)為投資者所持有的投資組合頭寸，則組合的收益率ξw=wξ。記投資組合w在損失概率α下的VaR和CVaR分別為v(w,α)和u(w,α)。則投資組合的VaR數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

v(w,α):=-inf{z:Fξw(z)≥α}?Fξw(-v(w,α))=α

式中，F(xiàn)ξw(·)為ξw的分布函數(shù)，假設(shè)其連續(xù)可導(dǎo)。投資組合的CVaR數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，fξw(·)為ξw的密度函數(shù)。

(10)

(11)

其中，hw為窗寬，可采取前面介紹的拇指法則進(jìn)行選取。

3.2 VaR與CVaR的敏感性

VaR與CVaR的敏感性被定義為投資組合VaR與CVaR對(duì)組合頭寸的一階導(dǎo)數(shù)；也有學(xué)者稱(chēng)它們?yōu)檫呺HVaR(Marginal VaR，記為MVaR)和邊際CVaR(Marginal CVaR，記為MCVaR)。用數(shù)學(xué)符號(hào)可表示為：

Δwv(w,α)=?v(w,α)/?w′；Δwu(w,α)=?u(w,α)/?w′

引理1：投資組合VaR與CVaR對(duì)組合頭寸的一階導(dǎo)數(shù)分別為[12-13]：

Δwv(w,α)=-E[ξ|ξw=-v(w,α)]；Δwu(w,α)=E[-ξ|-ξw>v(w,α)]

(12)

由于VaR和CVaR都滿(mǎn)足正奇次性[4-5]，所以對(duì)于任意投資組合w，成分VaR之和等于投資組合的VaR；成分CVaR之和等于投資組合的CVaR。即：

wΔwv(w,α)=v(w,α)；wΔwu(w,α)=u(w,α) 由(12)式可知，MVaR的解析式為條件期望的形式，可利用公式(4)得到其核估計(jì)式為：

(13)

根據(jù)CVaR與MCVaR的關(guān)系，MCVaR的核估計(jì)量可通過(guò)(11)式得到[13]：

(14)

4 VaR與CVaR的凸性

在理論上，Artzne等[4]證明VaR不是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量，而Rockafellar和Uryasev[5]證明CVaR是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量，從而也是凸風(fēng)險(xiǎn)度量。但VaR和CVaR的估計(jì)量是否滿(mǎn)足凸性并沒(méi)有學(xué)者深入討論，為此本節(jié)進(jìn)一步討論投資組合VaR與CVaR的核估計(jì)量對(duì)組合頭寸的凸性，即組合的VaR與CVaR的核估計(jì)量是否是組合頭寸的凸函數(shù)。通常情況下函數(shù)凸性與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣的半正定性是等價(jià)的；所以，以下將用投資組合的VaR與CVaR對(duì)組合頭寸的二階導(dǎo)數(shù)矩陣的性質(zhì)來(lái)討論凸性問(wèn)題。

引理2：投資組合VaR對(duì)組合頭寸的二階導(dǎo)數(shù)矩陣可表示為[12]：

(15)

投資組合CVaR對(duì)組合頭寸的二階導(dǎo)數(shù)矩陣為[15]：

(16)

式中p(·)和P(·)分別為-ξw-v(w,α)的密度函數(shù)和分布函數(shù)，V[·]為方差算子。

由公式(1)可得，投資組合w的密度函數(shù)fξw(z)的核估計(jì)為：

(17)

又因?yàn)閂[ξ|ξw=z]=E[ξξ′|ξw=z]-E[ξ|ξw=z]E[ξ′|ξw=z]

上式右邊是條件期望的形式，所以它們的核估計(jì)可通過(guò)(4)式得到：

(18)

p(·)和P(·)分別為-ξw-v(w,α)的密度函數(shù)和分布函數(shù)，所以根據(jù)公式(1)可得：

(19)

(20)

定理2 投資組合VaR對(duì)組合頭寸的二階導(dǎo)數(shù)矩陣的核估計(jì)式為：

(21)

投資組合CVaR對(duì)組合頭寸的二階導(dǎo)數(shù)矩陣的核估計(jì)式為：

(22)

證明：當(dāng)ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)′服從參數(shù)為μ和Ω的一般n維橢球分布時(shí)，根據(jù)Landsman和Valdez[19]的研究，組合收益率ξw的VaR可以表達(dá)成：v(w,α)=cα(wΩw′)0.5-wμ,cα>0，簡(jiǎn)單推導(dǎo)可得：

(23)

容易證明上式右邊是半正定矩陣。所以多維橢球分布下，v(w,α)是組合頭寸的凸函數(shù)。

(24)

5 實(shí)證分析

利用前文的理論分析框架，本節(jié)估計(jì)我國(guó)外匯市場(chǎng)上單項(xiàng)外匯資產(chǎn)和外匯資產(chǎn)組合的匯率風(fēng)險(xiǎn)，并基于外匯組合VaR和CVaR對(duì)組合頭寸的敏感性和凸性，討論如何尋找外匯資產(chǎn)的最小風(fēng)險(xiǎn)組合及其對(duì)應(yīng)的最小風(fēng)險(xiǎn)。我們選取歐元和日元匯率的日對(duì)數(shù)收益率，數(shù)據(jù)窗口從2011年1月4日至2013年7月6日，共有755個(gè)樣本，數(shù)據(jù)來(lái)自CCER經(jīng)濟(jì)金融數(shù)據(jù)庫(kù)，樣本數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計(jì)如表1：

從歐元和日元匯率的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)看，歐元匯率的波動(dòng)更大、風(fēng)險(xiǎn)更大。歐元匯率的偏度系數(shù)大于零，說(shuō)明其分布存在“右偏”；日元匯率的偏度系數(shù)小于零，說(shuō)明其分布存在“左偏”，從而二者分布都不具有對(duì)稱(chēng)性；從偏度系數(shù)大小來(lái)看，日元的非對(duì)稱(chēng)性程度更嚴(yán)重。歐元和日元匯率的峰度系數(shù)大于3，說(shuō)明二者的分布比正態(tài)分布陡峭，尾部比正態(tài)分布厚，存在“尖峰厚尾”現(xiàn)象。JB統(tǒng)計(jì)量的值拒絕二者服從正態(tài)分布的假設(shè)。

把樣本數(shù)據(jù)代入公式(1)，核函數(shù)選擇二階Gauss核，窗寬采用拇指方法選擇，可得到非參數(shù)核估計(jì)方法下的樣本分布，把樣本均值和樣本方差代入正態(tài)分布密度函數(shù)公式可得正態(tài)分布設(shè)定下的樣本分布。圖1直觀地顯示，基于非參數(shù)核估計(jì)方法得到的樣本分布比同均值同方差下的正態(tài)分布更加陡峭，具有更高的峰和更厚的尾。這也說(shuō)明正態(tài)分布設(shè)定會(huì)低估尾部風(fēng)險(xiǎn)。

我們把區(qū)間(0, 0.2)進(jìn)行40等分，α取等分點(diǎn)處的值，把樣本數(shù)據(jù)代入(8)和(9)式，取核函數(shù)為二階Gauss核，窗寬依拇指法則選擇，這樣可以測(cè)算不同損失概率下歐元匯率和日元匯率的風(fēng)險(xiǎn)值，結(jié)果見(jiàn)圖2。由圖2可知：(1)隨著損失概率的增加，VaR和CVaR的核估計(jì)值在減小；(2)CVaR的核估計(jì)值大于VaR的核估計(jì)值；這兩點(diǎn)符合理論預(yù)期。(3)隨著損失概率的增加，VaR與CVaR減小的速度在下降，即圖2中點(diǎn)所形成的曲線(xiàn)變得更加平緩。另外，圖2中的曲線(xiàn)與指數(shù)函數(shù)圖像十分相似，這促使我們?cè)O(shè)想利用一個(gè)指數(shù)函數(shù)來(lái)擬合圖2中的點(diǎn)。利用圖2中的樣本點(diǎn)，對(duì)VaR和CVaR核估計(jì)值取自然對(duì)數(shù)，利用線(xiàn)性回歸得到如下結(jié)果：

表1 歐元和日元匯率日對(duì)數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)

圖1 歐元和日元匯率日對(duì)數(shù)收益率的樣本分布

圖2 歐元和日元匯率的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)算(核估計(jì)方法)

(25)

(26)

(27)

(28)

接下來(lái)，考慮歐元和日元外匯資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)，并尋找二者的最小風(fēng)險(xiǎn)組合及其對(duì)應(yīng)的最小風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)投資者的財(cái)富被標(biāo)準(zhǔn)化為1，只在歐元和日元之間進(jìn)行投資。將區(qū)間(0,1)分成100等分，把等分點(diǎn)作為歐元頭寸，日元頭寸就等于1減去歐元頭寸，這樣就構(gòu)成了歐元與日元的100個(gè)投資組合，取α=5%，利用公式(10)和(13)可以估計(jì)每個(gè)投資組合的VaR和MVaR，利用公式(11)和(14)可以估計(jì)每個(gè)投資組合的CVaR和MCVaR，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

從表2的結(jié)果來(lái)看，隨著歐元頭寸的增加，組合的風(fēng)險(xiǎn)值(VaR或CVaR)先下降后上升，所以存在最小風(fēng)險(xiǎn)組合。若用VaR來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，則歐元和日元的最小風(fēng)險(xiǎn)組合為(0.47, 0.53)；若用CVaR來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，則歐元和日元的最小風(fēng)險(xiǎn)組合為(0.51, 0.49)。在最小VaR組合處，歐元和日元MVaR近似相等，同樣在最小CVaR組合處，歐元和日元的MCVaR近似相等(見(jiàn)圖4)。從圖4中還可以看到，組合VaR (CVaR)對(duì)歐元頭寸的導(dǎo)數(shù)隨歐元頭寸的增加而上升，即歐元頭寸越大，組合的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)其越敏感。相反組合VaR (CVaR)對(duì)日元頭寸的導(dǎo)數(shù)隨歐元頭寸的增加而呈下降趨勢(shì)。

圖3 VaR (CVaR)核估計(jì)值與損失概率關(guān)系擬合

表2 組合的VaR (MVaR)和CVaR (MCVaR)估計(jì)結(jié)果(α=5%)

圖4 歐元與日元組合的VaR (CVaR)核估計(jì)值圖

圖5 組合VaR (左)與CVaR (右)的凸性

為了檢驗(yàn)歐元和日元組合的風(fēng)險(xiǎn)是否具有凸性，即組合的VaR和CVaR是否是組合頭寸的凸函數(shù)，我們把區(qū)間(-1, 1)進(jìn)行40等分，把等分點(diǎn)作為歐元頭寸和日元頭寸的取值，這樣就構(gòu)成了1600個(gè)組合，利用公式(10)和(11)，可以估計(jì)每個(gè)組合處的VaR和CVaR，限于篇幅計(jì)算結(jié)果不再列出，僅把結(jié)果繪成圖5，從圖形上來(lái)看，歐元和日元組合的VaR和CVaR是組合頭寸的凸函數(shù)，這一性質(zhì)就意味著我們可以在凸可行集約束下找到全局最小風(fēng)險(xiǎn)組合及其對(duì)應(yīng)的最小風(fēng)險(xiǎn)，這為進(jìn)一步的風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化和組合選擇問(wèn)題提供了方便。

6 結(jié)語(yǔ)

本文給出VaR與CVaR的核估計(jì)量，討論了投資組合VaR與CVaR對(duì)組合頭寸的敏感性和凸性，并利用核估計(jì)方法對(duì)投資組合VaR與CVaR一階導(dǎo)數(shù)向量和二階導(dǎo)數(shù)矩陣進(jìn)行估計(jì)。中國(guó)外匯市場(chǎng)數(shù)據(jù)的實(shí)證結(jié)果顯示：核估計(jì)方法能夠抓住我國(guó)外匯市場(chǎng)匯率波動(dòng)存在的“尖峰厚尾”、“左偏”等特征，并能得出外匯組合的敏感性和凸性特征。本文的研究對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)管理和投資組合選擇具有重要意義，下步研究可把本文得到的組合VaR與CVaR的核估計(jì)量、一階導(dǎo)數(shù)向量和二階導(dǎo)數(shù)矩陣的核估計(jì)量嵌入風(fēng)險(xiǎn)最小化模型和均值-風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化模型，實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)管理、組合選擇問(wèn)題同步進(jìn)行。避免事前的分布假設(shè)，減小或消除模型設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)。

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