非對稱成本擾動信息非線性需求函數下的供應鏈契約設計

黃 松，楊 超

(1.華南農業大學經濟管理學院，廣東 廣州 510642；2.華中科技大學管理學院，湖北 武漢 430074)

1 引言

經濟全球化使得企業對于供應鏈的內部運作效率的變化越來越敏感，供應鏈中伙伴企業的績效的改變將會影響供應鏈中核心企業的績效，最終會影響供應鏈的整體績效。人力成本的變化、機器故障、原材料價格變化等因素都會對企業的生產成本產生影響，造成產品生產成本的擾動，而上游企業的成本擾動會在供應鏈上進行傳遞，從而導致供應鏈的初始生產計劃不可行或者次優。2011年，上游供應商的玉米價格上漲導致蓮花味精的總成本上升，最終導致其凈利潤同比減少了90.78%；2012年，隨著資源和能源價格、財稅等改革政策陸續出臺，鐵礦石、煤炭、電力等鋼鐵生產用原、燃材料價格不斷上漲，鋼鐵企業面臨高成本壓力，鋼鐵產品成本平均上升幅度超過了15%，導致41.2%的全國重點大中型鋼鐵企業虧損。在發生成本擾動的情形下，如果供應鏈不能采取有效的運作策略加以應對，那么將會嚴重降低供應鏈系統的績效。如何設計有效的供應鏈契約來協調成員之間的運作決策，從而減少成本擾動對于供應鏈績效的不利影響，是供應鏈擾動管理中的重要研究問題。因此，研究由于異常因素而產生的生產成本擾動時的供應鏈的契約設計問題具有重要的理論價值和實踐意義[1]。

研究者很早就注意到了擾動的存在對于供應鏈績效的影響。擾動通常會導致偏離成本的產生，如何在考慮偏離成本的條件下最大化供應鏈的總利潤是供應鏈擾動管理的重要研究內容[2]。Qi Xiangtong和Yu Gang[3]將擾動管理引入到供應鏈管理的分析框架中，研究了線性需求函數下發生需求擾動時的定價與協調問題，他們同時考慮了兩種不同的偏離成本，當實際需求超過初始的生產數量時，將會產生缺貨成本，而當實際需求小于初始的生產數量時，將會產生處理成本。在Qi Xiangtong和Yu Gang[3]的研究基礎上，很多研究者都對供應鏈中的擾動管理進行了拓展研究。如Xiao Tiaojun等[4-5]和Zhang Weiguo等[6]研究了需求擾動下存在競爭性零售商的供應鏈的協調問題；Chen Kebing和Xiao Tiaojun[7]和Chen Kebing和Zhuang Pin[8]研究了需求擾動下零售商主導的供應鏈的協調問題。與上述文獻假定需求函數為線性函數不同，Huang Chongchao等[9]研究了需求函數為指數函數形式時的供應鏈的擾動管理問題。上述文獻考慮的是需求擾動下的供應鏈的協調問題，Xu Minghui等[10]則研究了生產成本擾動下的供應鏈的協調問題。雷東等[11]，曹二保和賴明勇[12-14]，吳忠和等[15]則在傳統零售渠道中進一步考慮了同時發生需求和成本擾動時的供應鏈的協調問題。不同于上述文獻，Huang Song等[16-17]則分別研究了雙渠道供應鏈在需求擾動和成本擾動下的最優定價與生產決策問題。

然而上述關于供應鏈擾動管理的研究考慮的都是擾動信息是對稱的情形。如果發生擾動并且擾動信息是對稱的，那么可以通過設計有效的供應鏈契約實現供應鏈的協調。但是當發生生產成本擾動時，擾動信息對于供應鏈的成員來說通常都是非對稱的。生產成本擾動信息通常只有制造商能夠觀察到，零售商通常不能觀測到。由于生產成本擾動信息是非對稱的情形在實際中較為普遍，因此假定生產成本擾動信息是制造商的私有信息能夠更好地反映實際情形。最近，Lei Dong等[18]在Qi Xiangtong[3]和Xu Minghui[10]的基礎上研究了非對稱的擾動信息下的供應鏈的契約設計問題，他們分別研究了在非對稱的需求擾動信息和非對稱的生產成本擾動信息下如何設計最優的線性批發價格契約菜單，并且分析了非對稱的擾動信息對于供應鏈績效的影響。Cao Erbao等[19]在雙渠道供應鏈中研究了非對稱的成本信息下的最優批發價契約設計問題；周建中和陳秀宏[20]研究了市場需求非對稱的情形下、同時發生需求擾動和成本擾動時的供應鏈的最優定價與生產決策問題。然而，Lei Dong等[18]和Cao Erbao等[19]都只分析了線性需求函數的情形，而沒有考慮非線性需求函數下的契約設計問題；周建中和陳秀宏[20]雖然同時分析了線性和非線性需求函數，但是他們沒有分析非對稱信息下的契約設計問題。由于常數柔性需求函數和指數需求函數是運作管理和經濟學文獻中最為常見的非線性需求函數形式[21-23]，因此有必要分析在這些非線性需求函數下，當發生生產成本擾動、并且擾動信息是非對稱的情形下，如何設計有效的契約菜單從而使信息的擁有方通過契約選擇揭示其真實的類型，并且分析非對稱的生產成本擾動信息對于供應鏈的利潤的影響。

2 問題背景與基本模型

2.1 問題背景

考慮由單零售商和單制造商組成的供應鏈，其中制造商以批發價格w將產品出售給零售商，零售商再以零售價格p將產品銷售給終端顧客。市場需求是關于零售價格的非線性函數，特別地，假定市場需求和零售價格之間的關系是Q=Γ(p)[9-10]，其中Q表示零售價格為p時實現的市場需求，也即是制造商的生產數量，假定Γ(p)是關于零售價格p的嚴格減函數。考慮兩種不同的非線性需求函數：(1)常數柔性函數Q=Dp-k，其中D和k表示市場參數，并且D>0，k>1；(2)指數函數Q=De-bp，其中D和b表示市場參數，并且b>0。

本文假定制造商的生產過程需要兩個連續的階段[10]。在第一階段，由于原材料的采購提前期較長、或者原材料的預處理周期較長，制造商需求提前購買一些原材料并且進行一些預處理。在第二階段，制造商將原材料轉換為最終產品。制造商將根據從兩個階段獲得的生產成本信息來確定生產計劃，注意到第一階段的存在對于制造商縮短生產周期至關重要。在第二階段開始之前，第一階段的采購原材料的價格通常能夠準確得到，而在第二階段的生產過程中，機器故障、工人工資浮動、相關生產輔料的價格變化等諸多因素都會影響實際生產過程中發生的成本，而在第二階段開始之前，這些都不能準確得知，因此，第二階段的生產成本通常只是一個估計。假定初始的單位產品的生產成本是c，而實際的單位產品的生產成本是c+Δc，其中Δc表示生產成本擾動。為了避免不合理的情況發生，本文總假定c+Δc>0，表明即使發生生產成本擾動，實際的生產成本也仍然是正的，并且假定|Δc/c|較小。

與文獻[10]不同的是，本文假定生產成本擾動Δc是制造商的私有信息，這在實際中比較常見，因為零售商通常不能直接了解制造商在生產過程中所遇到的引起生產成本變動的原因。當制造商的生產成本發生擾動時，通常會產生缺貨成本或者處理成本，令λ1和λ2分別表示單位缺貨成本和單位處理成本，并且假定制造商承擔全部的偏離成本(缺貨成本或者處理成本)[1]。在實際中，缺貨成本和處理成本通常會小于產品的邊際成本，因此，本文假定max{λ1,λ2}

當不存在生產成本擾動時，供應鏈的總利潤f(Q)=Q(Γ-1(Q)-c)，容易驗證f(Q)是關于Q的嚴格凹函數，因此存在唯一的最優生產數量Q*使得供應鏈的總利潤取得最大值f(Q*)。由一階最優性條件(Γ-1(Q)-c)+Q(Γ-1(Q))'=0，可得供應鏈的最優生產數量Q*。

當需求函數為Q=Dp-k時，供應鏈的最優生產數量、最優零售價格、以及供應鏈的最優利潤分別為：

當需求函數為Q=De-bp時，供應鏈的最優生產數量、最優零售價格、以及供應鏈的最優利潤分別為：

Q*=De-(bc+1)，p*=c+1/b，f*=De-(bc+1)/b

2.2 基本模型：對稱成本擾動信息下的最優決策

首先分析當生產成本擾動信息是對稱的情形下的供應鏈的最優決策。假定實際的生產成本為c+Δc，其中Δc表示生產過程中發生的成本擾動。當發生生產成本擾動時，為了實現供應鏈利潤的最大化，供應鏈的生產數量和零售價格將會發生變化。此時，供應鏈的最優化問題可以表示為：

maxf0(Q)=Q(Γ-1(Q)-c-Δc)-λ1(Q-Q*)+-λ2(Q*-Q)+

(1)

其中，a+=max(a,0)，第一項表示銷售收入，第二項表示可能存在的缺貨成本，而第三項表示可能存在的處理成本，并且缺貨成本和處理成本不可能同時存在。注意到供應鏈的利潤函數f0(Q)不是關于生產數量Q的可微函數，可以將(1)式中的優化問題分解為兩個子問題，然后利用Kuhn-Tucker條件進行求解。如下的引理1和引理2給出了在對稱的成本擾動信息下的供應鏈的最優生產數量和零售價格。

引理1 假定需求函數為Q=Dp-k，當發生生產成本擾動Δc、并且Δc是雙方的共同知識時，供應鏈的最優生產數量和最優零售價格為：

引理2 假定需求函數為Q=De-bp，當發生生產成本擾動Δc、并且Δc是雙方的共同知識時，供應鏈的最優生產數量和最優零售價格為：

引理1和引理2表明，當生產成本發生擾動時，初始的最優生產數量和零售價格都具有一定程度的穩健性，并且在兩種不同的非線性需求函數下，生產成本擾動的穩健性區域是相同的。具體地，當-λ1≤Δc≤λ2時，供應鏈的最優生產數量和零售價格保持不變；當Δc<-λ1時，Q**>Q*，p**λ2時，Q**p*，并且供應鏈的最優生產數量Q**和零售價格p**可以分別看作是不存在生產成本擾動下市場規模為D且生產成本為c+Δc-λ2時供應鏈的最優決策。

3 非對稱成本擾動信息下的契約設計

上一節分析了對稱的生產成本擾動信息下的供應鏈的最優決策。而在實際中，生產成本擾動信息通常是非對稱的。假定零售商委托制造商生產產品，制造商在生產制造過程由于機器故障，勞動力成本浮動以及原材料價格波動等原因，生產成本會發生擾動，而生產成本擾動信息只有制造商能夠觀察到，零售商不知道具體的生產成本擾動信息。假定生產成本擾動Δc∈{ΔcH,ΔcL}，雖然零售商不知道真實的生產成本擾動c，但是他知道Δc等于ΔcH的概率為，等于ΔcL的概率為1-。為了表述方便，假定將觀察到高的生產成本擾動ΔcH的制造商稱為高成本制造商，而將觀察到低的生產成本擾動ΔcL的制造商稱為低成本制造商，并且始終假定ΔcH>ΔcL。假定零售商作為委托人設計契約菜單，零售商希望通過制造商的契約選擇來推測真實的生產成本擾動信息。假定雙方之間的決策過程如下：(1)制造商觀察到了實際的生產成本擾動Δc∈{ΔcH,ΔcL}；(2)零售商提供一組契約菜單{(QH,wH),(QL,wL)}，其中，(QH,wH)是提供給高成本制造商的契約，而(QL,wL)是提供給低成本制造商的契約；(3)制造商根據其自身所屬的類型，或者選擇與其類型相一致的契約，或者選擇放棄；(4)如果制造商選擇了相應的契約，那么零售商必須按照契約規定的批發價格向制造商購買規定數量的產品；(5)雙方的利潤實現，制造商承擔可能產生的缺貨成本或處理成本。

在非對稱的生產成本擾動信息下，零售商的決策問題可以表示為：

(2)

s.t.

QH(wH-c-ΔcH)-λ1(QH-Q*)+-λ2(Q*-QH)+≥QL(wL-c-ΔcH)-λ1(QL-Q*)+-λ2(Q*-QL)+

(3)

QL(wL-c-ΔcL)-λ1(QL-Q*)+-λ2(Q*-QL)+≥QH(wH-c-ΔcL)-λ1(QH-Q*)+-λ2(Q*-QH)+

(4)

QH(wH-c-ΔcH)-λ1(QH-Q*)+-λ2(Q*-QH)+≥0

(5)

QL(wL-c-ΔcL)-λ1(QL-Q*)+-λ2(Q*-QL)+≥0

(6)

其中，目標函數(2)式是最大化零售商的期望利潤，不等式(3)-(4)式表示激勵相容約束，表明每種類型的制造商都沒有動機去模仿其它類型的制造商的契約選擇；不等式(5)-(6)式表示個體理性約束，表明制造商只有在獲得非負時的利潤才會選擇相應的契約。由于不等式(4)-(5)蘊含不等式(6)式，所以不等式(6)式是冗余約束。在最優解處，不等式(4)-(5)式必然是緊約束，否則零售商可以適當使wH(wL)增大ε>0，使得約束條件(4)-(5)式仍然成立，但是目標函數(2)式會增加，因此：

QL(wL-c-ΔcL)-λ1(QL-Q*)+-λ2(Q*-QL)+=QH(wH-c-ΔcL)-λ1(QH-Q*)+-λ2(Q*-QH)+

(7)

QH(wH-c-ΔcH)-λ1(QH-Q*)+-λ2(Q*-QH)+=0

(8)

(9)

為了求解最優化問題(2)-(6)式，可以先不考慮約束條件(3)式，首先求解由目標函數(2)式和約束條件(7)-(8)式所組成的最優化問題，然后驗證得到的最優解是否滿足約束條件(3)式。將(7)-(8)式代入目標函數(2)式，則零售商的最優化問題(2)式可以簡化為：

(10)

上述最優化問題(10)式可以分解為兩個獨立的最優化問題，可以利用Kuhn-Tucker條件求解。如下的定理1和定理2給出了非對稱的成本擾動信息下的最優契約菜單。

(6)如果ΔcL>λ2，那么：

容易驗證在上述契約安排下，約束條件(3)式始終成立。注意到定理1和定理2中的六種情形必須滿足假設條件ΔcH>ΔcL，并且六種情形分別對應于圖1中的R1-R6區域。由圖1中可以看出，定理1(定理2)中的六種情形包括了所有可能的情形。定理1(定理2)表明，在第(3)種情形下(圖1中的R3區域)，制造商的最優生產數量保持不變，表明當高成本制造商和低成本制造商所經歷的生產成本擾動不超過某一給定范圍時，初始的最優生產數量應該保持不變，而只需要對批發價格進行調整。特別地，不管制造商是高成本類型的還是低成本類型的，零售商提供的批發價格都是c+ΔcH，也即零售商確定的批發價格是按照高成本制造商所經歷的生產成本擾動ΔcH而設定的，表明低成本制造商也享受到了與高成本制造商相同的較高的批發價格，并且此最優批發價格是與需求函數的類型無關的。在第(2)種情形下(圖1中的R2區域)，高成本制造商的生產數量保持不變，而低成本制造商的生產數量會增加；而在第(5)種情形下(圖1中的R5區域)，低成本制造商的生產數量保持不變，而高成本制造商的生產數量會減少。在第(1)種情形下(圖1中的R1區域)，兩種類型的制造商的生產數量都會增加；而在第(6)種情形下(圖1中的R6區域)，兩種類型的制造商的生產數量都會減少。在第(4)種情形下(圖1中的R4區域)，低成本制造商的生產數量會增加，而高成本制造商的生產數量會減少。定理1(定理2)表明，即使生產成本擾動信息是非對稱的，初始的生產計劃也具有一定的穩健性(圖1中的R3區域)。

圖1 非對稱信息下最優生產數量與生產成本擾動之間的關系

由定理1和定理2還可以發現，在R3和R5區域內，低成本制造商的生產數量不變；在R1、R2和R4區域內，低成本制造商的生產數量會增加；而在R6區域內，低成本制造商的生產數量會減少。與引理1和引理2比較可以發現，在非對稱的生產成本擾動信息下，低成本制造商的生產數量不會發生扭曲。相對地，在R2和R3區域內，高成本制造商的生產數量不變；在R4，R5和R6區域內，高成本制造商的生產數量小于引理1和引理2中當Δc>λ2時的最優生產數量；而在R1區域內，高成本制造商的生產數量也小于引理1和引理2中當Δc<-λ1時的最優生產數量。換而言之，在非對稱的生產成本擾動信息下，高成本制造商的生產數量發生了扭曲，從而降低了供應鏈的整體績效。

由定理1和定理2可以得到非對稱的生產成本擾動信息下、當生產成本擾動在不同范圍內取值時的供應鏈的最優零售價格，如下表1所示。

圖2 非對稱信息下生產成本擾動信息的價值

推論1表明高成本制造商的最優生產數量在任何情形下都不會大于低成本制造商的最優生產數量；如果制造商是高成本類型的，那么供應鏈的最優零售價格不會小于當制造商是低成本類型時的供應鏈的最優零售價格。

4 生產成本擾動信息的價值

接下來分析生產成本擾動信息對于供應鏈的價值。如果發生生產成本擾動并且擾動信息是對稱的，那么零售商可以獲得供應鏈的全部利潤而制造商只能獲得零利潤。而在非對稱的生產成本擾動信息下，低成本的制造商則可以得到信息租金，而高成本的制造商依然只能獲得零利潤。對于零售商而言，生產成本擾動信息不對稱將會給其帶來兩部分利潤損失：其中一部分利潤損失用于支付給低成本制造商的信息租金，另一部分利潤損失是來源于高成本制造商的生產數量偏離完全信息條件下的供應鏈的最優生產數量Q*，從而使得零售商的利潤降低了。但是對于供應鏈整體而言，信息租金只是在供應鏈的內部實現了轉移，并不會改變供應鏈的總利潤，因此供應鏈的利潤損失主要來源于高成本制造商的生產數量扭曲。

表1 非對稱生產成本擾動信息下的供應鏈的最優零售價格

(11)

定理3 假定需求函數為Q=Dp-k，當發生生產成本擾動ΔcH時，

(2)如果ΔcH>λ2，那么：

(12)

定理4 假定需求函數為Q=De-bp，當發生生產成本擾動ΔcH時，

5 算例分析

假設需求函數為Q=104p-1.2，單位產品的缺貨成本λ1=2.5，單位產品的處理成本λ2=2.5。在第一階段，單位產品的預計生產成本c=8；在第二階段，生產成本發生擾動，并且生產成本擾動Δc∈{ΔcH,ΔcL}是制造商的私有知識，而零售商不知道具體的生產成本擾動，但是零售商知道Δc=ΔcH的概率μ=0.7，Δc=ΔcL的概率1-μ=0.3。如果不存在成本擾動時，那么供應鏈的最優生產數量Q*=96.1，最優零售價格p*=48.0，供應鏈的最優利潤f*=3842.1。如果發生成本擾動并且擾動信息是非對稱的，那么零售商提供的最優契約菜單的參數和最優零售價格如下表2所示。

由表2可以發現，在非對稱生產成本擾動信息下，零售商需要根據成本擾動(ΔcH,ΔcL)的范圍來確定不同的契約菜單。不管制造商是高成本類型的還是低成本類型的，當生產成本擾動小于零時，制造商的最優生產數量都不會小于初始的最優生產數量Q*；而當生產成本擾動大于零時，制造商的最優生產數量都不會大于初始的最優生產數量Q*。對于給定的成本擾動(ΔcH,ΔcL)，低成本制造商的生產數量大于或者等于高成本制造商的生產數量，而低成本制造商生產出來的產品的零售價格則小于或者等于高成本制造商生產出來的產品的零售價格，與推論1的結果一致。表2的最后一列反映了生產成本擾動信息對于供應鏈的價值，可以發現，對稱信息條件下的供應鏈的總收益總是大于或者等于非對稱信息條件下的供應鏈的總收益，信息共享能夠有效地改善供應鏈的整體績效。由表2的最后一列也可以發現，非對稱的成本擾動信息并不一定會給供應鏈帶來利潤損失，當模型的參數滿足推論2中的條件時，供應鏈在對稱信息情形下和非對稱信息情形下獲得的利潤相同。

表2 非對稱擾動信息下的最優契約菜單參數與零售價格

6 結語

已有的研究供應鏈擾動管理的文獻主要關注對稱擾動信息下的供應鏈的最優契約設計，而較少有文獻關注非對稱擾動信息下的供應鏈的契約設計問題。本文研究了非線性需求函數條件下，當制造商的生產成本發生擾動、并且擾動信息是非對稱的情形下的供應鏈的契約設計問題。本文首先給出了對稱的生產成本擾動信息下的供應鏈的最優生產數量和零售價格，然后分析了非對稱的生產成本擾動信息下的供應鏈的最優契約菜單，并且刻畫了供應鏈的初始生產數量保持不變的條件，最后分析了非對稱的生產成本擾動信息對于供應鏈的績效的影響。研究結果表明，當市場需求為常數柔性需求函數或者指數需求函數形式時，如果擾動信息是非對稱的，那么仍然可以設計有效的契約菜單來改善供應鏈的績效。當滿足一定的條件時，非對稱的生產成本擾動信息不會給供應鏈帶來利潤損失。然而本文也有一些不足之處，本文只分析了常數柔性需求和指數需求這兩種最為常見的非線性需求函數，但是卻沒有分析其它類型的非線性需求函數，如代數型需求函數，Logit需求函數等，由于這些函數形式更為復雜，在設計契約菜單時可能需要更為復雜的分析工具和方法，更進一步的研究可以探討本文的結果是否可以拓展應用到這些非線性需求函數中。

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