淺談高中數學教學中的數學模型

施愛軍

數學模型是隨著數學的產生而產生的，古老的計數工具和現在的計算機模擬都可以看作為數學模型.數學模型能將數學里抽象的性質和關系變得形象和具體，從而將一個數學問題變成一個實際問題，這樣就有利于學生來理解對應數學問題中的性質和關系.

在高中數學課程的教學目標中，把提高學生的數學素養作為課程的總目標.在目標細則中也要求學生獲得必要的數學基礎知識和基本技能并體會其中所蘊涵的數學思想和方法，提高數學的學習興趣并養成良好的鉆研精神和科學態度，認識數學價值并樹立良好的價值觀.因此如能在生活中找到其原型，將可以使抽象的數學理論與實際生活中的一些原理聯系起來，更有利于學生的掌握吸收.在實際教學中如能適時引入一些數學模型，不但能提高課堂教學效率，活躍課堂氣氛，而且能激發起學習興趣，培養學生解決實際問題的能力，使學生認識數學學習的實用價值，從而能起到事半功倍的作用.

在實際的教育教學過程中，我將數學模型歸結為如下這些類型：

一、身邊的數學模型

在我們的身邊有很多的數學模型，如果能引導學生去發現和尋找，將會提高他們分析數學問題的能力，體會到數學問題的現實價值.立體幾何是高中數學的一個重點，而圖形的位置關系又是部分空間想象能力較差的學生的難點.為了將抽象的位置關系具體化，在實際的教學過程中我不斷地鼓勵和激發學生尋找身邊的線面、面面的位置關系，并且很多例子在教室或學校里就能夠找到.比如在學習直線與平面垂直這一節時，我首先請同學們觀察學校操場上的旗桿與地面的位置關系，隨后讓同學們分析旗桿與操場內的線的位置關系，在此基礎上得到了定義.這樣的課堂設計既能使學生直觀地認識到了直線和平面垂直的這種位置關系，減輕學生對陌生概念的生疏感，并且可以提高學生的學習興趣，從而樂意去尋找身邊的數學，為今后進一步學習更為復雜的直線和平面垂直的判定和性質奠定基礎.

二、構造的數學模型

在實際的教學過程中，有一些數學模型因為時間或空間等方面的因素無法在教室里展示，但學生很容易通過聯想得到，也可以在課堂教學過程中加以運用.比如在講解“當表面積相等時，比較正方體，球的體積大小”時，我構造了“充氣球”的情境，即用不能伸縮的材料做成正方體形和球形的氣球，他們的面積相等，現在再充氣，哪個還能繼續充氣，進而讓同學們分析正方體形氣球在充氣過程中的變化規律，進一步讓同學們思考這樣一個問題：當表面積相等時，比較正四面體、正方體、球的體積大小.依照剛才構造的模型，這個問題也很容易解決.通過這樣的數學模型，將本來要經過的繁瑣計算才能得到的結論很直觀地就得到了.學生就會覺得即使是枯燥的數學問題只要能夠科學地構造模型，也會變得生動和形象，使學生感受到其實數學就在自己的生活中，從而增強學生解決數學問題的信心和研究數學問題的興趣.

三、生活中的數學模型

在生活中也存在這樣一些數學模型，在實際的教學過程中如果能夠合理地運用這些模型，不但能降低枯燥的推理和證明的理解難度，而且會增強學生對數學問題的認同感.在講授錐體的體積公式時可以安排了這樣一個試驗：分別到實驗室找兩個底面積和高都相等的圓柱形和圓錐形量筒，先把圓錐形量筒里裝滿水，然后在把圓錐形量筒里的水全部倒入圓錐形量筒里.通過觀察圓柱形量筒里水的高度就可以發現水只有量筒高的三分之一，由此就可以得到當圓錐和圓柱的底面積和高都相等時，圓錐的體積是圓柱體積的三分之一，進而可以推廣到所有的錐體上.其實只要我們留心去觀察發現，在生活中有很多的數學方法和數學思想，在教學過程中合理地加以運用，一定會起到事半功倍的效果.

四、實踐中的數學模型

很多抽象的數學問題在現實生活中都有具體的數學模型，在講授該部分的知識時可以結合具體的模型來解釋.這樣不但能激發學生的學習興趣，使得學生對該問題的認識更加具體，而且有利于提高學生對該類問題的分析和解決能力.如：教學《二次函數在指定區間上的最值》時可設計這樣兩個對應的實際情景：豎直放置一把撐開的雨傘和一個碗.當水珠從雨傘上向下滑落時，水珠會離雨傘中央越來越遠；當水珠從碗口向下滑落時，水珠會離碗中央越來越近.水珠在向下滑，也就類似于它所代表的函數值在變小，而撐開的雨傘類似于開口向下的拋物線，碗則類似于開口向上的拋物線，那么就可以類似地得到這樣一組結論：若拋物線的開口向下，則離對稱軸越遠值越小；若拋物線的開口向上，則離對稱軸越近值越小.這樣，同學們就很容易理解并記住這個結論，而依照這個結論在判斷二次函數在指定區間上的最值時只要判斷定義域內的值與對稱軸的遠近關系就可以了.通過這樣的模型就把一個抽象的數學問題轉化成一個實際問題，從而更有利于學生去理解并掌握一些基本的數學結論.

五、典故中的數學模型

數學中的邏輯推理很難找到具體的現實模型，而一些歷史上的趣聞軼事恰恰包含了相同的邏輯關系.比如在講解《含有量詞命題的否定》時我在課堂上就講述了歷史上的這個軼事：相傳當年有人曾在報刊上發表“國民政府中有些人是混蛋”，國民政府就責令其改正，然后就改成了“國民政府中有些人不是混蛋”.學生聽了以后哄堂大笑，接著我就讓學生分析這句話中所含有的量詞、如何否定掉這句話.最后在理解的基礎上給出含有量詞命題否定的方法.通過這個趣事不僅活躍了課堂氣氛，而且能夠加深學生對這種問題的印象，即使以后對含有量詞命題否定的方法忘記了，也可以通過這個故事來推導相應的結論.

總之，在實際的數學教學過程中，只有充分挖掘數學模型，通過數學模型讓學生在數學問題和現實問題間建立起聯系并了解數學在實際生活中的作用，不但能夠使學生更加牢靠地掌握數學概念和數學方法，從而奠定堅實的數學基礎，而且能夠提高課堂教學的效率、激發學生學習數學的興趣，同時也能使數學教學變得生動和精彩！