探究性學習在高中數學教學中的實踐

王波

我國現在的教育正在進行著全面的改革之中.在國家教育部的關于基礎教育改革的文件當中，就把學生的探究性自主學習的能力培養放在了第一位.高中數學的教學模式如果還是因循守舊，照著舊的模式進行“填鴨式”的教育，那么很難培養出高質量的數學人才.現在世界各地的基礎教育正在大力地倡導探究性學習的教學方法.

高中數學相對于高等數學來說，其教學的目的在于培養學生基本的數學思維和數學修養.讓學生能夠自主地處理一些簡單的數學問題.傳統的高中數學教學模式一般是以“模、仿、練”為主.而這樣的教學模式很容易使得學生產生出慣性思維，不利于學生的自主創新能力的培養，也很難讓學生發揮出自身的數學天賦.探究性學習和高中數學教學模式的有效結合，不僅能夠讓學生自主發現數學世界中的美，培養出學生學習數學的熱情，還能夠鍛煉學生的自主創新能力.

一、我國目前高中數學教學的現狀分析

高中數學的探究性學習方式改革在我國的數學教學體制改革中是具有里程碑意義的.探究即是探索、研究的意思.處于高中階段的學生，正是處于青春萌動、朝氣蓬勃的年華之中，對于世界充滿探知的欲望，對于新事物的接受能力、理解能力也是最強的.在這個時間段內，如果我們能夠培養起學生們探究性學習的能力，不但對于這個學生未來漫長的人生方向有著重要的引導作用，對于學生的人格塑造也起著積極作用.但是就目前我國的高中數學教育在這方面所做的 努力工作來看，依然還是收效甚微，弊端叢生.

1.學生因素

在高中數學的教學課本中，數學的基本概念、定理、公理會占有很大的內容.學生們進行這些公式定理的學習時，總是靠著死記硬背為主.許多學生不明白公式定理出現的緣由.對于考試試卷中所出現的數學證明題，學生們也大多數地是以直接運用公式定理為主，即使能夠完成證明，也不明白這么證明的意義在哪里，為什么要這么證明.而且，在高考數學當中，數學的滿分為150，占有的比例頗大.高考數學的題型差不多年年固定，重要的知識點變來變去也還是那幾個.學生們在做題的時候，可能只會注重于如何來解題，如何來拿到分數.這樣的學習態度加大了老師進行探究性學習方法培養的難度.而且現今的高中學生們在進行數學學習的時候，已經普遍的存在著這樣的一種學習狀態.面對于一個棘手的數學難題，一般來說，學生首要想到的便是參閱答案的解題思路和解題方法，不會自己去尋找解題的突破口，更不會自己靜下心來潛心去研究一個數學問題，思索其中的奧妙所在.

2.老師因素

老師上課時，在講解數學知識點時，為了能夠充分利用起課堂的時間，很少給學生們獨立思考的能力.在講解關于一些復雜的難題、例題時，大多數的老師會采用演示一遍即過的教學方式.重要的在于培養學生們解題拿分的能力，忽略了學生們學習過程中關于數學解題過程中的邏輯思維能力、發散能力的培養.很少有老師，在講解完一個例題或者一些習題之后，將之與生活實際相聯系起來.整個課堂的教學氣氛相當的枯燥，學生上課少有學習的熱情，而老師一個人在講臺聒噪也甚沒意思.而且探究性學習的教學模式，在我國興起的時間還不是特別的久.許多的老教師還是在延續著他們原來的那種教學模式.這些已經形成了教學思維定式的老教師們，要想著一下子就能夠讓他們轉變過來，也確實是為難了他們.不管是年輕的老師，還是那些經驗豐富的老師，面對于學生的探究性學習能力的培養都是力不從心、鞭長莫及.

二、探究性數學教學模式改革途徑

1.設置趣味的數學學習場景

興趣在學習過程中起著極大的推動作用，在高中教學中要激發學生的興趣，增強學生學習的自主性，數學教材和實際生活中有著密切的聯系，學生要從現實生活中學習數學，并應用到現實中去.

如橢圓及其標準方程的教學片段：

師： 我們的日常生活中，橢圓隨處可見.你能舉出橢圓形的例子嗎？

生：斜著切出來的四色卷是橢圓的.

生：我媽項鏈中間的飾物是橢圓形的.

生：嫦娥二號繞月球運行的軌道是橢圓形的.

創設情境：請拿出預先準備的圓形紙片（ 圓心為O，F是圓內異于圓心的一點） ，將圓紙片翻折，使翻折上去的圓弧通過F點，將折痕用筆畫上顏色，繼續上述過程，繞圓心一周，觀察所得到的圖形.

探究1：多媒體演示.讓我們回到折紙活動中，看看得到的橢圓究竟是怎樣形成的.我們不妨來分析其中的一個折疊過程.此時圓周上的點A與點F重合，連接OA，交折痕BC 于點M，那么點M的軌跡是什么？

探究2：取一條定長的細線，把它的兩端都固定在圖板的兩個點處，套上鉛筆，拉緊細線，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？情境：用“幾何畫板”進行動畫演示，進一步使學生從視覺上感受橢圓的形成過程及其幾何關系.

在這個案例中，教師充分發揮主動性和創造性，從學生的年齡特征出發，對教材內容做不同程度的處理，根據學生的知識經驗創設學生熟悉的生活情境，把學生引入一種迫切探究的狀態，誘發學生的學習欲望.教師發揮主導性，努力為學生創造學習的自由環境，誘發學生探究的主動性.

2.培養學生從多角度看待問題的能力

新課標強調要關注學生的差異性，有效地實施有差異的教學，使每個學生都得到充分的發展，面對全體學生多元化的學習要求，多角度分析、看待問題能很好地達到這一要求.學生通過一系列分析，展開發散性思維，運用所學知識經過推理，得出正確結論，充分顯示思維的多樣性，同時也體現學生的個性化，從而全方位地培養學生的創造力.學生在學習過程中通過多角度看待問題經歷適當的數學交流活動，讓他們感受到別人的思維方式和思維過程，以改變自己在認識上的單一性，從而發展學生的求異思維，激發學生的學習興趣，發揮主體精神，培養學生達到個性良好發展的目的.從多角度看待問題，轉換思維的方法有很多：從一般到特殊的思維也在此列，如有些數學問題，所要求的結論在一般情況下不容易推出，但在特殊情況下，反倒易處理，因為有些問題的普遍性經常寓于特殊性之中，換個角度考慮，如果把要解決的問題化歸為某個特殊問題，再把解決特殊情況的方法或結論應用到或推廣到一般問題上去，解決問題就易如反掌了.

例 點P在雙曲線2x2-y2=1上，定點A（0，4），求動點P到定點A距離 AP的最大值.對于此題學生很容易求解，解完這道題后，教師要主動引導學生進一步思考，同學們能不能仿照此題給出一個新的題目呢？通過學生的主動參與，探究及分析，總結出以下幾種變題：

變式1：將求 AP的最大值改為求 AP的最小值.

變式2：將雙曲線改為橢圓：2x2+y2=1，結論改為求AP的最值.

變式3：將雙曲線改為拋物線y2=4x，結論改為求 AP的最小值.

變式4：已知點P在雙曲線2x2-y2=1上運動，定點A（0，a）（a>0），求AP的最小值.

變式5：動點Q在圓x2+y2-2y=1上運動，動點P

在雙曲線2x2-y2=1，求PQ的最小值.

3.注意聯系起生活實踐

重視數學應用是數學教學改革的需要，新編高中數學教材把培養學生應用數學的意識貫穿在教材編寫的始終.書中的大部分章節的引入都是從實際中提出問題，并且在每節的例題、練習中增加了大量的聯系實際的內容.在每章后開設有研究性課題和閱讀材料，其目的就是培養學生的數學的應用意識.應用性問題的考查把生活實際有關的具體情境與抽象的數學搭建起一座橋梁，幫助學生由生活情境中抽象出數學問題，即學會用數學建模的思想，這也要求教師轉變教學觀念，通過教學將數學建模與應用問題結合起來，對培養學生的問題意識“應用意識”和探究意識，讓學生主動關注身邊的實際問題，開辟了一條行之有效的途徑.

例 某同學生日，很多同學前來祝賀，買了一個大蛋糕并用刀分之，問切1刀最多分蛋糕幾部分？切2刀最多分幾部分？切3 刀、切4刀、切5刀呢？ （ 指豎直方向 ）.同學們探究后紛紛得出結論：1 刀最多分兩部分；2刀最多分四部分；3刀最多分七部分；4刀最多分十一部分；5刀最多分十六部分；那么第n刀把蛋糕最多分成多少部分呢？ 不妨設第1刀分a1部分，第2刀分a2部分，第n刀分an部分.學生經過探究后發現，第2刀分蛋糕數等于第一刀分蛋糕數加2，第3刀所分部分數等于第2刀所分部分數加3，第4刀所分部分數等于第3刀所分部分數加4，第5刀所分部分數等于第4刀所分部分數加5.那么以此類推猜想第n刀所分部分數等于第（n-1）刀所分部分數加 n，即：an=an-1+n.這種求n刀最多分蛋糕多少部分的方法便是數學中的歸納推理法.

例 點P在雙曲線2x2-y2=1上，定點A（0，4），求動點P到定點A距離 AP的最大值.對于此題學生很容易求解，解完這道題后，教師要主動引導學生進一步思考，同學們能不能仿照此題給出一個新的題目呢？通過學生的主動參與，探究及分析，總結出以下幾種變題：

變式1：將求 AP的最大值改為求 AP的最小值.

變式2：將雙曲線改為橢圓：2x2+y2=1，結論改為求AP的最值.

變式3：將雙曲線改為拋物線y2=4x，結論改為求 AP的最小值.

變式4：已知點P在雙曲線2x2-y2=1上運動，定點A（0，a）（a>0），求AP的最小值.

變式5：動點Q在圓x2+y2-2y=1上運動，動點P

在雙曲線2x2-y2=1，求PQ的最小值.

3.注意聯系起生活實踐

重視數學應用是數學教學改革的需要，新編高中數學教材把培養學生應用數學的意識貫穿在教材編寫的始終.書中的大部分章節的引入都是從實際中提出問題，并且在每節的例題、練習中增加了大量的聯系實際的內容.在每章后開設有研究性課題和閱讀材料，其目的就是培養學生的數學的應用意識.應用性問題的考查把生活實際有關的具體情境與抽象的數學搭建起一座橋梁，幫助學生由生活情境中抽象出數學問題，即學會用數學建模的思想，這也要求教師轉變教學觀念，通過教學將數學建模與應用問題結合起來，對培養學生的問題意識“應用意識”和探究意識，讓學生主動關注身邊的實際問題，開辟了一條行之有效的途徑.

例 某同學生日，很多同學前來祝賀，買了一個大蛋糕并用刀分之，問切1刀最多分蛋糕幾部分？切2刀最多分幾部分？切3 刀、切4刀、切5刀呢？ （ 指豎直方向 ）.同學們探究后紛紛得出結論：1 刀最多分兩部分；2刀最多分四部分；3刀最多分七部分；4刀最多分十一部分；5刀最多分十六部分；那么第n刀把蛋糕最多分成多少部分呢？ 不妨設第1刀分a1部分，第2刀分a2部分，第n刀分an部分.學生經過探究后發現，第2刀分蛋糕數等于第一刀分蛋糕數加2，第3刀所分部分數等于第2刀所分部分數加3，第4刀所分部分數等于第3刀所分部分數加4，第5刀所分部分數等于第4刀所分部分數加5.那么以此類推猜想第n刀所分部分數等于第（n-1）刀所分部分數加 n，即：an=an-1+n.這種求n刀最多分蛋糕多少部分的方法便是數學中的歸納推理法.

例 點P在雙曲線2x2-y2=1上，定點A（0，4），求動點P到定點A距離 AP的最大值.對于此題學生很容易求解，解完這道題后，教師要主動引導學生進一步思考，同學們能不能仿照此題給出一個新的題目呢？通過學生的主動參與，探究及分析，總結出以下幾種變題：

變式1：將求 AP的最大值改為求 AP的最小值.

變式2：將雙曲線改為橢圓：2x2+y2=1，結論改為求AP的最值.

變式3：將雙曲線改為拋物線y2=4x，結論改為求 AP的最小值.

變式4：已知點P在雙曲線2x2-y2=1上運動，定點A（0，a）（a>0），求AP的最小值.

變式5：動點Q在圓x2+y2-2y=1上運動，動點P

在雙曲線2x2-y2=1，求PQ的最小值.

3.注意聯系起生活實踐

重視數學應用是數學教學改革的需要，新編高中數學教材把培養學生應用數學的意識貫穿在教材編寫的始終.書中的大部分章節的引入都是從實際中提出問題，并且在每節的例題、練習中增加了大量的聯系實際的內容.在每章后開設有研究性課題和閱讀材料，其目的就是培養學生的數學的應用意識.應用性問題的考查把生活實際有關的具體情境與抽象的數學搭建起一座橋梁，幫助學生由生活情境中抽象出數學問題，即學會用數學建模的思想，這也要求教師轉變教學觀念，通過教學將數學建模與應用問題結合起來，對培養學生的問題意識“應用意識”和探究意識，讓學生主動關注身邊的實際問題，開辟了一條行之有效的途徑.

例 某同學生日，很多同學前來祝賀，買了一個大蛋糕并用刀分之，問切1刀最多分蛋糕幾部分？切2刀最多分幾部分？切3 刀、切4刀、切5刀呢？ （ 指豎直方向 ）.同學們探究后紛紛得出結論：1 刀最多分兩部分；2刀最多分四部分；3刀最多分七部分；4刀最多分十一部分；5刀最多分十六部分；那么第n刀把蛋糕最多分成多少部分呢？ 不妨設第1刀分a1部分，第2刀分a2部分，第n刀分an部分.學生經過探究后發現，第2刀分蛋糕數等于第一刀分蛋糕數加2，第3刀所分部分數等于第2刀所分部分數加3，第4刀所分部分數等于第3刀所分部分數加4，第5刀所分部分數等于第4刀所分部分數加5.那么以此類推猜想第n刀所分部分數等于第（n-1）刀所分部分數加 n，即：an=an-1+n.這種求n刀最多分蛋糕多少部分的方法便是數學中的歸納推理法.