高斯曲率內蘊公式的幾種形式的推導方法

邢家省，高建全，羅秀華

（1.北京航空航天大學數學與系統科學學院，北京100191；2.數學、信息與行為教育部重點實驗室，北京100191；3.平頂山教育學院數學系，河南平頂山467000）

高斯曲率內蘊公式的幾種形式的推導方法

邢家省1，2，高建全3，羅秀華3

（1.北京航空航天大學數學與系統科學學院，北京100191；2.數學、信息與行為教育部重點實驗室，北京100191；3.平頂山教育學院數學系，河南平頂山467000）

考慮曲面上高斯曲率內蘊公式的表示問題，運用曲面基本方程的矩陣表示法，給出了高斯曲率是內蘊量的直接的顯式公式，并指出這種內蘊公式與Brioschi的表示公式是明顯一致的；給出了高斯曲率簡化公式的推導來源，揭示出了高斯曲率隱式公式的發現過程。

曲面的基本方程；曲面結構方程；高斯曲率；內蘊公式；Brioschi公式

曲面上的高斯曲率的定義和計算公式是經典曲面論的重要內容［1-9］。曲面上的高斯曲率是曲面的內蘊量［1-6］，這個重要結果是高斯于1827年發現的著名定理，稱為高斯絕妙定理［2-6］，該定理的原始表述形式是用曲面上的第一類基本量的隱式表達。曲面論基本方程的理論到Riemann和Liouville時代，才被建立了完善體系。意大利數學家Brioschi給出了高斯曲率是內蘊量的顯式表達公式［1-2，4，6］，并給出了正交坐標曲線網下高斯曲率的簡化計算公式［1］，導致了新型曲面的發現。Brioschi公式的發現與高斯導出的發現方法完全不同，兩者的一致性似乎不能明顯的看出來，在曲面論的結構方程的推導過程中還能給出高斯曲率是內蘊量的顯式表達公式，這個公式和Brioschi公式是明顯一致的。高斯曲率是內蘊量的隱式公式［1-7，9］，人們通常都是采用驗證的方式［7，9］，沒有指出這種公式是如何合理發現的，本文給出了導致發現的推導過程。對曲面論的基本方程性質的推導，在前人成果的基礎上，本文運用矩陣運算的推導方法，給出了簡便的推導過程，有利于人們理解掌握，溝通了各部分的聯系，構成了一套新的處理體系。

1 曲面論的基本方程的矩陣方程表示形式

曲面論的基本問題是研究由曲面的第一基本形式和第二基本形式如何確定曲面存在的問題，解決的方法是從曲面的基本方程出發，尋找到了存在可解曲面的充要條件［1-6］。給出C3類的正則曲面

按照文獻［1－6，9－10］中的符號體系，給出記號，

命

是A＝（gij）的逆矩陣，

將曲面的基本方程改寫成矩陣方程的形式為［1-6，9］：

其中，

2 曲面上第一基本形式矩陣的性質

定理1［2，6，9］對曲面→r＝→r（u1，u2）上的第一基本形式矩陣，有如下的性質：

3 曲面基本方程中系數矩陣之間關系的矩陣推導方法

利用曲面的基本方程的矩陣方程表示來研究系數矩陣之間的關系。對向量→ri，→n運用二階連續偏導數可交換次序的法則，方程組（1）、（2）可解的充要條件是

由此，須有

利用（1）式，存在可解曲面的充要條件是

（3）式的左端

（3）式的右端

比較（3）式左右兩端的系數，可得

4 高斯曲率是內蘊量的隱式表示公式的矩陣推導方法

考察（4）式成立的充要條件。（4）式的右端為

將（6）式代入（4）式，得

由（7）式兩邊矩陣中右上角的元素對應元素相等，可得［1-6，9］

于是高斯曲率的內蘊計算公式［1-6，9］

由（7）式兩邊矩陣中左下角的元素對應元素相等，可得

于是高斯曲率有內蘊計算公式［1-6，9］

在正交曲線坐標網下，可以求出系數矩陣，然后代入（8）式或（9）式，就可得出高斯曲率的計算公式［2-6］。

比較（7）式中兩邊矩陣中的對應元素相等，還可得到另外兩個形式的等式［1-4］。

5 高斯曲率是內蘊量的顯式表示公式的矩陣推導方法

利用曲面基本方程中系數矩陣的關系，（7）式的左端為：

利用

于是

由（7）式、（10）式和（11）式，得

由（12）式兩邊矩陣的右上角對應元素相等，可得

再由

可得

利用→r1·→r1＝g11，→r1·→r2＝g12，→r2·→r2＝g22，可得

于是

從而得出

所以有

在正交曲線坐標網下，可以求出系數矩陣，然后代入（14）式，就可給出高斯曲率的計算公式［1-6］。

6 高斯曲率是內蘊量的Brioschi公式表示

注意到

代入高斯曲率的計算公式［1-6，8］

利用行列式的轉置性質和矩陣乘法性質，得

其中用到行列式按第三列展開計算的性質。利用

得到

這就是高斯曲率內蘊定理的Brioschi表示公式［1-6］。

將（19）式中的兩個行列式按第三列展開計算，可知Brioschi的表示公式（19）與（14）式是完全一樣。

將（15）式、（16）式代入（19）式，得到Brioschi公式［1-6］

7 正交曲線坐標網下高斯曲率的簡化計算公式的推導

當曲面Σ：→r＝→r（u1，u2）上的曲線坐標網是正交網時，→r1·→r2＝g12＝0，利用（18）式，得到

K＝

另一方面，經過湊微分法，逐步推導，有

故有

這就是正交曲線坐標網下高斯曲率的簡化計算公式，具有重要的應用。

另一方面，需要直接計算

該式問題出現于利用劉維爾公式［2，6，10］

證明高斯—波涅公式的過程中［2-6］。

直接計算可得

由（21）式和（23）式，得

將（22）式改寫為如下形式

利用

得

由此得出

將（26）式代入（24）式，得

類似地

將（28）式代入（24）式，得

對（27）式和（29）式，這里給出導出發現過程。

在一般坐標曲線網下，直接驗證［1-2，7，9］，成立

［1］梅向明,黃敬之.微分幾何［M］.4版.北京：高等教育出版社,2008.

［2］陳維桓.微分幾何［M］.北京：北京大學出版社,2006.

［3］彭家貴,陳卿.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社, 2002.

［4］蘇步青,華宣積,忻元龍.實用微分幾何引論［M］.北京：科學出版社,1986.

［5］王幼寧,劉繼志.微分幾何講義［M］.北京：北京師范大學出版社,2003.

［6］陳維桓.微分幾何例題詳解和習題匯編［M］.北京：高等教育出版社,2010.

［7］曾憲祖.高斯曲率的一個計算公式的證明［J］.云南師范大學學報,1991,11（4）：52-53.

［8］邢家省,王擁軍.曲面上法曲率的最值和最值切方向的性質［J］.吉首大學學報：自然科學版,2013,34（1）：6-10.

［9］邢家省,張光照.曲面基本方程的性質及其應用［J］.聊城大學學報：自然科學版,2013,26（3）：7-12.

［10］邢家省,張光照.曲面上曲線的測地曲率向量的注記［J］.吉首大學學報：自然科學版,2013,34（4）：7-10.

Derivations w ith Several form s of Intrinsic Formulas of Gaussian Curvature

XING Jiasheng1，2，GAO Jianquan3，LUO Xiuhua3
（1.School of Mathematics and Systems Science，Beihang University，Beijing 100191，China；2.LMIB of the Ministry of Education，Beihang University，Beijing 100191，China；3.Department of Mathematics，Pingdingshan Institute of Education，Pingdingshan 467000，China）

The expression of intrinsic formula of Gaussian curvature on curved surface is considered.The direct explicit formula of the intrinsic quantities expressed by Gaussian curvature is derived bymeans of thematrix expression of curved surface fundamental equation.This intrinsic formula is evidently in accord with Brioschi formula.The derivation of Gaussian curvature simplified formula is demonstrated，which discloses the discovery process of Gaussian curvature implicit formula.

curved surface fundamental equation；curved surface constitutive equation；Gaussian curvature；intrinsic formula；Brioschi formula

O186.1

A

1673-1549（2014）04-0082-08

10.11863／j.suse.2014.04.20

2013-12-19

國家自然科學基金項目（11201020）

邢家?。?964-），男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，（E-mail）xjsh＠buaa.edu.cn