印度高級小學數學教學大綱評介

龔彥琴，張維忠

（1.蘭州職業技術學院，甘肅 蘭州 730070；2.浙江師范大學 教師教育學院，浙江 金華 321004）

印度共和國，簡稱印度，別稱婆羅多，位于亞洲南部，是由28個邦和7個中央直轄區組成的聯邦制政體.作為目前僅次于中國的第二人口大國，印度2001—2011年的人口平均增長率高達1.64%，超過中國增長速度的3倍.自獨立后的65年里，印度依靠教育調和不同民族、不同宗教、不同語言間的文化沖突，以信息技術為支柱產業，走出了一條教育振興經濟的自主之路，其經驗與教訓值得中國借鑒與學習.中國2001年教育部頒發了《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》，經過10年的課程改革實驗，2011正式公布了《全日制義務教育數學課程標準》.學習借鑒國外數學課程改革經驗，進一步落實數學課程標準的理念與具體要求急為迫切[1～2].然而，國內對印度數學教育的研究幾乎空白，因此這里對印度高級小學數學教學大綱的評介就顯得尤為重要.

1 印度的數學課程改革

印度基礎教育課程經歷了多次改革.1985年，印度政府順應世界教育改革的大潮宣布將對現行教育制度進行改革.同年，頒布了題為《教育的挑戰——政策透視》的文件，號召社會各界進行廣泛討論.在聽取討論意見的基礎上，政府在1986年制定了《國家教育政策》，并公布了名為《1986國家教育政策：行動計劃》的24點實施計劃[3].正是這種思想促成了10+2+3學制在全國的實施（普通教育10年，包括初小5年，高小3年和初中2年；高中教育2年，稱為分科教育，也就是說根據學生的愛好、興趣、個性、能力實行差別化教育；高等教育3年，學生通過3年的大學學習，可得到學士學位）.此次改革中，對課程內容做出改動，如：之前僅在大學講授的算法下放到高中，刪除了射影幾何.此次改革后，學生對數學的焦慮和在數學學習中失敗體驗的負擔沒有變化，來自邦考試、入學考試和名校機構的壓力在城市中創建了一個激烈競爭的環境.此外，許多孩子由于無法應付數學課程的需要，數學就成了他們輟學的“殺手”.

2005年印度國家教育與培訓委員會（National Council for Educational Researchand Training，簡稱NCERT）頒布的《國家課程框架》（National Curriculum Framework，簡稱NCF）掀起了印度新一輪的課程改革.進入21世紀后，世界課改潮流的引領與推動，促使印度重新審視過去改革成效甚微的問題.例如，印度在第一個五年計劃期間，國家教育經費的56%撥給了初等教育，為什么一直沒能實現普及義務教育.同時面對經濟全球化帶來的挑戰，政府認識到要轉向提高教育質量、鞏固兒童入學率、減輕學生壓力等方面，而不是提出不切實際的宏偉目標.最重要的是，要在保證統一有序的教育體制下促進印度多元化發展，就如NCF所言：“區別的存在是上天賜予我們的禮物，我們需要保護這種多元的存在，并使它繁榮發展.”[4]NCERT在此框架搭建的課程體系基礎上，于2006年制定了基礎教育各科教學大綱（syllabus），加快統一全國課程的步伐.

這里介紹的印度普通教育數學教學大綱文件為：Syllabus for Classes at the Elementary Level：Math (VI-VIII)，由NCERT編定并于2006年6月出版，是印度歷史上第一個全國性的統一課程文件.

2 印度高級小學數學教學大綱總體特點

高級小學教學大綱的發展一直試圖強調數學的理解和發展孩子思維.它強調將高小視為一個過渡階段，是孩子從具體的材料和經驗中學習抽象概念過渡到更高抽象性的階段.被認定為一個讓孩子學會理解和運用數學語言與符號的平臺.課程旨在幫助學生認識到數學是一門與人們的經驗相關聯的學科，并且被應用在日常生活中，它是對生活經驗的抽象，主要從以下兩方面展開：

第一，強調使孩子學習從特殊到一般、從具體到抽象的過程，鞏固和擴大孩子的經驗幫助她概括并學會如何學習，然后檢驗得出的普遍規律.幫助孩子們更好地發展邏輯思維，同時通過證明領會概念也是十分重要的.重點不在于教會孩子如何使用已知的計算法則，而是幫助孩子找到一種適合的解決不同數學問題的合理的方法.這是除了僅僅給孩子講授已知的計算法則外最有效的收獲.孩子也應被期許自己提出問題并通過小組合作和一些課外活動的方式來解決它.這樣會讓數學深入為一種興趣愛好.

第二，認為語言是發展數學理解力的一個重要組成部分，希望孩子們能有機會去理解數學語言，以及理解問題或描述中潛在的邏輯結構.僅僅向孩子們解釋概念的意思是不夠的，但是應該幫助他們參與概念的形成過程，從而逐漸形成自己對概念的理解.應給孩子條件讓其發展研究自己提出的定義并用一些新的數據和信息來驗證.這并不意味著不會給他們清晰正確的概念，而是為他們自己思考留足空間.

因此，本課程不強調算法和記憶，而是強調邏輯思考的能力和理解與發展理論的能力.同時，避免超綱的概念和思想.要在這一階段將分數、負數、空間認識、數據處理和變量強調為一個構成孩子理解抽象數學概念的基石.發展空間概念的理解力也是一個重點，這部分將包括對稱性以及對二維三維空間表示的理解.教學大綱同時將數據處理作為數學學習的一個重要組成部分.它還包括數據的表示，以及用可能性和概率的知識對數據作簡單分析.

以下的課程理念是培養孩子學習數學的自信和能力，從而有基礎去學習更多同時為學習數學建立興趣.它的重點不在于復雜的算法與數值計算，而在于培養估算的能力和對數學思想的理解.高小階段數學教科書設計的一般理念：

◆在教材的設計中應該強調的是：用孩子們會的且他們自己能夠理解的語言來編寫，并要求他們以小組合作的形式開展學習活動.老師則只提供支持和幫助.

◆整個教材應該深入和來源于孩子的生活環境.孩子們能用語言表達他們的理解、概括和對概念的想法，能提出并完善自己下的定義.

◆需要為孩子們提供推理的空間，并對不同想法進行邏輯論證.他們將依據邏輯論證，識別不正確的和不被接受的推理與邏輯公式.

◆孩子們觀察模型并歸納規律.識別除了普遍法則的規律，將這些規律拓展到新的情形中，并檢驗其有效性.

◆需要意識到不僅有許多解決問題的方法和替代方法，而且也有很多可用的備選策略.問題應該有多種正確的解決方法.

◆應該意識到檢驗和證明之間的區別.應該接觸一些簡單的證明以至于他們能意識到什么是證明.

◆課本不應過于單調而應以不同的方式來吸引孩子.這個觀點可能會影響包括語言、描述的性質和一些例子，是否附有圖解.應用漫畫或動畫去說明一個知識點，包括一些故事或者孩子感興趣的一些文章.

◆數學應成為一個不斷探索創新而不是尋找已知的舊答案的學科.復雜的問題往往需要一些未知的計算法則.

◆數學的目的不是讓孩子學習定義，因此不應以講授定義和解釋開始.概念和定義應該通過孩子自己觀察，探索并概括而來.當學生對概念形成了清晰的認識，他們就會在討論結束時得出定義.

◆除了向他們的朋友和同事提出問題以外，孩子們應該被期許同時向自己提出問題.

◆教科書也應要求教師構想出一些與文章相關的問題，來迎合班上學生的經驗和需要.

◆應在各個章節之間呈現連續性.接下來應該給學生一些機會來說一說他們對于話題的感受.

3 印度高級小學數學教學大綱具體內容

3.1 六年級數學具體內容

數系 （60課時）

（i）了解數系

鞏固最大為5位數的數字的數感，數的規格、估算，識別更小或更大，等等.位值（用概括和延伸的方法），運算連接：利用符號<，>，=，利用括號，包含大數字運算的文字（應用）題，在所有運算之后的結果最大可達五位數.包括長度和質量單位的轉換（從大到小），數字運算的結果的估計.大數數感的介紹，初步熟悉位數可能達到8位的大數或者大數的估計.

（ii）玩數字游戲

括號的簡化，倍數和因數1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的整除規律（都通過觀察模式.首先幫助學生推導出一些，然后要求學生得到基本模式的組合的整除）.偶數和奇數，素數和合數，互素數，分解素因素，每個數都可以分解為素因數的乘積.HCF（最大公約數）和LCM（最小公倍數），用分解素因數和長除法求得最大公因數和最小公倍數，最大公因數和最小公倍數相差就等于兩個數的乘積.所有這些都包含在情境中，給學生展現學習這些的意義，并為他們提供學習動機.

（iii）整數

自然數，整數，數的性質（交換律，結合律，分配律，加法特性，乘法特性），數軸.發現模式，學生制定看到的數的模型，識別并形成由學生完成的原則（隨著對代數熟悉程度的增長，學生就可以表達一般模式）.

（iv）負數和整數

負數是如何產生的，負數的模型，負數與日常生活的聯系，負數的排序，負數在數軸上的位置.“學生來發現”模型，識別并形成規則.整數是什么，整數在數軸上的識別，整數的加減法運算，在數軸上展示運算（加上負整數會使得值減小），整數的比較，整數的排序.

（v）分數

復習什么是分數，分數作為整個數的一部分，表示分數（在數軸上繪制），分數如同除法，真分數、假分數、帶分數、等值分數，比較分數、分數加減法（避免大量復雜的不必要的任務）.（不斷接近抽象的分數）

復習十進小數的概念，十進小數中位值的概念，分數和十進小數的相互轉換（在這里要避免循環小數），涉及小數加減法的應用題（兩種運算都與金錢、質量、長度和溫度有關）.

代數 （15課時）

代數學介紹

通過模型、適當的應用題與一般規律介紹變量（例如5×1=5等）

從更多的例子中找到類似的規律

利用上下文中簡單易懂的例子，介紹新知識（單運算）

比率與比例 （15課時）

比率的概念

比例是兩個比率的等式

歸一化方法（只含有正變分）

文字（應用）題

幾何學 （65課時）

（i）基礎幾何概念（二維）

介紹幾何學，它與日常生活有聯系并反映了生活經驗

直線、線段、射線

開放圖形與封閉圖形

封閉圖形的內部與外部

直線的和曲線的邊界

角——頂點、邊、內部、外部

三角形——頂點、邊、角、內部和外部、高線和中線

四邊形——邊、頂點、角、對角線、鄰邊和對邊（只討論凸四邊形），四邊形的內部和外部

圓——圓心、半徑、直徑、弧度、扇形、弦、段、半圓、周長、內部和外部

（ii）理解基本圖形（二維與三維）

測量線段

測量角度

一組直線

——相交或垂直

——平行

銳角、鈍角、直角、平角、優角、周角、零角

三角形的分類（以邊和角為依據）

四邊形的分類——不規則四邊形、平行四邊形、矩形、正方形、菱形

簡單多邊形（介紹）（和不規則圖形一樣，一直介紹到八邊形的規則圖形）

識別三維圖形：正方體、長方體、圓柱體、球體、圓錐體、棱柱體（三角形的）、錐體（三角形的和正方形的），能在生活環境中找出這些并識別這些圖形

三維圖形的基本元素（面、邊和頂點）

正方體、長方體、圓柱體、圓錐體和四面

（iii）對稱性（回憶）

觀察并識別二維反射對稱物體

簡單二維物體的反射運算（鏡像反射）

識別反射對稱（識別反射軸線）

（iv）作圖（使用直尺、量角器、圓規）

繪制一條線段

構造一個圓

垂直平分線

作一個角（使用量角器）

作60°，120°的角（使用圓規）

利用角平分線作30°，45°，90°的角等.（使用圓規）

作一個與已知角相等的角（使用圓規）

過一點：a）直線上一點；b）直線外一點，作一條直線垂直于已知直線

測量 （15學時）

周長的概念和面積介紹

通過各種圖形引進周長的概念，并使學生大致理解其意思.介紹相同周長的不同圖形.矩形和正方形的面積概念，列舉與周長和面積相關的不同的錯誤概念的例子.

矩形的周長——它的特例——正方形.推導矩形的周長公式，然后通過模型推導出正方形的周長公式.

數據處理 （10學時）

（i）什么是數據——選擇數據以檢查假設

（ii）搜集并整理數據——如用統計欄和表格組織數據

（iii）統計圖表需要測量圖表解釋與作圖

（iv）根據所給數據作柱狀圖，并對其增長做出解釋

3.2 七年級數學具體內容

數系 （50課時）

（i）了解數系：整數

整數的乘法和除法（通過模式）.除數為0的除法是無意義的.

整數的性質（包括加法和乘法的特性，交換律，結合律，分配律（通過模式））.這些也包括由整數而來的例子.涉及到用一般形式表達交換律和結合律的性質.反例的構建，有些由孩子提供.例如減法不可用交換律這樣的反例.

包含整數的文字（應用）題（所有運算）

（ii）分數和有理數

分數的乘法

分數作為運算的數

分數的倒數

分數的除法

包含帶分數的文字題

有理數的介紹（包括數軸上表示有理數）

有理數的運算（所有運算）

用小數表示有理數

有理數的文字題（所有運算）

十進制小數的乘除法

單位換算（長度單位、質量單位）

文字題（包含所有運算）

（iii）冪

指數只能是自然數.

指數定律（通過觀察模式得出一般規律）

（iv）am·bm=（ab）m

代數 （20小時）

代數式

寫出包含1—2個變量的代數式（簡單的）

辨別常量、系數和冪

同類項和異類項，公式的次數，例如x2y等（指數≤3）

代數式的加減法（系數是整數）

只含一個變量的涉及兩種運算（避免復雜的系數）的簡單線性方程（在上下文的問題中）

比率與比例 （20學時）

比率與比例（復習）

繼續學習、鞏固并一般化表述歸一化方法

介紹百分數

理解百分數是分母為100的分數

將分數和小數轉換成百分數，反之亦然

應用于利潤和虧損上（只是單一的交易）

應用于單利上（過去的時間段發生的）

幾何學 （60學時）

（i）理解圖形

一對角（線性的、互補的、互余的、相鄰的、相互垂直）（證明并簡單驗證一對相互垂直的角）

被一直線所截的平行線的性質（錯角、同位角、內角、外角）

（ii）三角形的性質

三角形內角和的性質（通過折紙驗證與證明平行線的使用性質，注意驗證與證明的區別）

外角性質

兩邊之和大于第三邊

勾股定理（需證明）

（iii）對稱性

復習反射對稱

軸對稱的概念，觀察二維物體的對稱軸（90°，120°，180°）

從90°旋轉至180°的簡單圖形的運算

旋轉對稱與反射對稱的圖形舉例（同時具備兩種運算）

反射對稱和旋轉對稱的圖形舉例，反之亦然

（iv）用二維表示三維

用二維表示遮擋的面來繪制三維圖形

識別并計算頂點數、邊數、面數、網數（立方體、圓柱體、圓錐體）

將圖形與物體相匹配（能夠識別名稱）

通過視覺估計繪制空間

（v）全等

重合即全等（例如：刀片、郵票等）

將全等的概念延伸到一些簡單的幾何圖形中，例如三角形、圓形等

全等的條件（已證）SSS、SAS、ASA、RHS

（vi）作圖（使用圖尺、量角器、圓規）

過直線外一點作一條已知直線的平行線（利用交錯角的推論簡單證明作為備注）

構造一個簡單的三角形，和已有的三條邊一樣，給出一條邊和兩個角構造三角形，或者給出兩條邊及其夾角構造三角形

測量 （15學時）

復習周長、圓周長的概念

面積

利用正方形、矩形、三角形、平行四邊形、圓形的基本單位面積介紹測量的概念，兩個矩形和兩個同心圓中間的面積測量

數據處理 （15學時）

（i）搜集并整理數據——為假設檢驗選擇所需的數據

（ii）平均數、中位數和未歸類數據的眾數——理解它們意味著什么

（iii）繪制柱狀圖

（iv）通過實驗數據感受概率.事件的可能性就像擲硬幣和骰子等.制表并記錄骰子在若干次投擲中從1至6數字出現的次數.將它與擲硬幣的觀察表格作對照.觀察拋出的一串數字，體會隨機性的概念.

3.3 八年級數學具體內容

數系 （50課時）

（i）有理數

有理數的性質（包括特性）用表達式的一般形式來描述性質

鞏固有理數的運算

有理數在數軸上的表示

在任意的兩個有理數中間存在另一個有理數（使學生知道，與整數不同，如果找到兩個不同于其它整數的有理數，這樣的話就可以找到越來越多的在他們之間的數）

文字題（高級邏輯，兩種運算，包括面積等概念）

（ii）冪

整數作為指數

整數次冪的指數定律

（iii）平方，平方根，立方，立方根

平方與平方根

利用因式分解法和分解法可求不多于四位數和不多于兩位小數的數的平方根

立方和立方根（只有數的因式分解至多包含3種數）

估算平方根和立方根，學會不斷接近所求數字的過程

（iv）玩數字游戲

會寫并理解兩位數或三位數的通式（100a+10b+c,其其中a，b，c只能是0—9之間的數字），參與到相關的多樣的智力游戲中去（例如找到基本涉及四則運算的任一個被字母代替的未知數字）.學生去解決并發現新問題和數字游戲.

數字游戲和活動

推論出用通式表示的兩位數或三位數被2，3，5，9，10除的規則

代數 （20小時）

（i）代數式

代數式的乘除（系數是整數）

一些常見的錯誤（例如2+x≠2x，7x+y≠7xy）

恒等式（a±b）2=a2±2ab+b2，a2?b2=（a?b）（a+b）因式分解（簡單的代數式）例如如下的類型a（x+y），（x±y）2，a2?b2， （x+a）·（x+b）

有關乘除法的上下文問題中（應用題），解決只有一個變量的線性方程（避免方程中復雜的系數）

比率與比例 （25學時）

應用于百分比、損益、管理費用、折扣、稅上的有些難度的問題

單利和復利間的區別（復利每年增長3倍，或者每半年增長3倍），通過一些模型得出復利的公式，并將它應用于單利的情況中去

正變分——簡單的與直接的應用題

逆變分——簡單的與直接的應用題

時間與工作問題——簡單的與直接的應用題

幾何學 （40學時）

（i）理解圖形

四邊形的性質——四邊形的內角和為360°（已證）

平行四邊形的性質（已證）

（i）平行四邊形對邊相等，（ii）平行四邊形對角相等，（iii）平行四邊形對角線互相平分.[（iv），（v），（vi）由（ii）得來]（iv）矩形對角線相等且互相平分.

（v）菱形對角線互相垂直且平分.

（vi）正方形對角線相等，它們互相垂直且平分.

（ii）用二維表示三維

識別圖片，并將它們與實物匹配起來[插入結合二維和三維圖形的更復雜的例子，（不超過兩個）].

繪制二維圖形來表示三維物體（以此類推）

計算頂點數、棱數、面數，驗證關于三維多面體的歐拉公式（正方體、長方體、四面體、棱柱和棱錐）

（iii）作圖

四邊形作圖：

一個4條邊和一條對角線

3條邊和兩條對角線

3條邊且包含兩個角

兩條鄰邊和三個角

測量 （15學時）

（i）一個梯形和一個多邊形的面積

（ii）體積的概念，使用一個基本單元測量正方體、長方體、圓柱體的體積

（iii）體積和容量（容量的測量）

（iv）正方體、長方體、圓柱體的表面積

數據處理 （15學時）

（i）閱讀柱狀圖，將未歸類的數據分組，構造柱狀圖來表示分組的數據，并對圖表做出解釋.

（ii）利用合理的數據繪制簡單的餅圖.

（iii）鞏固并歸納像擲硬幣和拋骰子等的事件可能性的概念.將它與生活中事件的可能性聯系起來.重復投擲相同的硬幣或骰子，然后觀察出現的事件的頻率.

連續投擲很多完全相同的骰子或者硬幣，統計結果并得到許多獨立事件.觀察這些重復事件中搜集的數據，并與拋硬幣的數據做比較.觀察拋出的一串數字，體會隨機性的概念.

介紹圖表 （15學時）

預備

（i）坐標軸（橫縱坐標軸單位相同），笛卡爾平面

（ii）繪制不同情況的點（正方形的周長與長度，正方形的面積與其邊長的函數，繪制不同數字的倍數，單利與年數，等等）

（iii）離開坐標圖進行觀察

觀察線狀圖

觀察距離—時間的圖表

[1]張維忠，孫慶括.多元文化視角下的初中數學教科書比較[J].數學教育學報，2012，21（2）：44-48.

[2]劉曌，楊光偉，唐恒鈞.中日兩國小學數學課程統計與概率的比較研究[J].數學教育學報，2013，22（3）：63-66.

[3]闞閱.中等教育普及化與新世紀印度高中教育改革[J].比較教育研究，2010，（6）：37-42.

[4]National Curriculum Framework 2005[EB/OL].http://www.ncert.nic.in/index.htm