外部表征和問題呈現方式對小學生數學應用題解決的影響

邢 強，蔡新華，單永明

（廣州大學 心理學系，廣東 廣州 510006）

1 問題提出

解決應用題首先要理解問題，在頭腦中對題目的初始條件、數量關系以及問題等信息進行搜集、整合和加工，達到對題目的深入理解，這就是對應用題的表征.近年來國內外一些研究者對表征的類型進行了重新探討，提出內部表征和外部表征的概念，更加注重主體的心理加工過程.

在認知心理學的研究中一般認為表征就是信息在大腦中的記載或表達方式，是一種信息的內部表達.Zhang對此定義提出質疑[1]，他采用Tic-Tac-Toe式同型游戲問題作為實驗材料進行研究，發現有關問題的外部結構和問題情景對個體的問題表征有獨立的作用，基于此，他認為問題表征不僅僅只是信息在個體頭腦中的內部表達，于是提出了問題的外部表征的概念.這引起了許多研究者們的關注，他們開始從新的角度思考問題表征的涵義，同時也對內部表征和外部表征的關系作出分析，概括而言主要有以下3種看法：一是認為外部表征是一種刺激輸入，個體的知覺系統能夠激活大腦記憶系統中與這些輸入有關的信息，進而構建一個恰當的心理表征模型.這個觀點傾向于強化內部表征的作用.二是個體的知覺系統完全可以覺察到問題本身和問題情景等信息，這種外部表征完全有助于認知任務的完成，不需要建立任何模型.因為外部表征本身就是高度結構化的.這個觀點強調外部表征的作用，認為通過外部表征就能達到對問題實質的理解.三是個體在完成認知任務的過程中，外部表征和內部表征共同起著作用，二者交互影響著問題解決，這種表征系統即是由內、外部表征組成的分布式表征.此觀點強調了外部表征和內部表征各自的作用，并且認為二者對問題的表征共同起作用，是一種折中的觀點.

研究者在理論上對這兩種表征進行了深入探討的同時，在具體的學科研究領域也取得了些許成果.從概念理解上來看，外部表征主要包括物體、維度、物理符號和外部規則、邊界條件等，這些都是問題情景的成分和結構，而且這些信息只能被知覺系統捕獲、分析、加工；內部表征則是對知覺系統捕獲到的關于問題的初始條件或者約束條件的理解，是問題解決者構建的一個問題認知結構.廖伯琴在其研究中提出內部表征也稱主觀表征，是個體通過一系列算子，對知覺到的刺激或信息進行記錄、存儲并描述，從而對信息的結構方式進行重構[2].為了對內部表征和外部表征進行分離研究，有研究者分別對這兩種表征方式進行了劃分.鄧鑄和余嘉元[3]指出認知心理學研究中對表征的定義隱含著一個默認的并被普遍接受的假設，即無論以何種方式呈現問題，或者問題的信息是如何輸入的，問題解決行為的發生都源自對問題的理解，換句話說就是問題的內部表征決定了問題解決行為的發生.在這種內隱觀念的指導下，具體研究中人們都將問題表征過程看作是個體內部的心理理解過程，致力于尋求一般的內部表征機制并希望這種機制能夠解釋所有類型的問題表征.然而可以肯定的一點是，研究者們逐漸接受了學科問題表征分為內部表征和外部表征，即認為問題解決中“表征”概念的涵義已經超出了傳統上對表征概念的解釋，不僅只是指對信息的內部理解或表達，而且也包括信息的外部表達、信息的環境結構，它們對內部的認知理解有直接的影響，甚至是決定性的影響.

Eysenck[4]等人提出命題表征和類比表征可以歸為內部表征，語言表征和圖形表征（圖表和圖片）可以看作是外部表征.鄧鑄等人[3]在研究中指出命題、圖式、神經網絡和其它類型的知識或結構是內部表征的主要形式；文字、圖表、圖形和照片等是外部表征的主要形式.Iliada Elia[5]研究了小學一、二、三年級學生解決不同外部表征模式的一步加法應用題過程，發現使用信息圖、裝飾圖、文本描述和數軸4種方式呈現問題時，3個年級的學生在信息圖條件下的解題成績沒有顯著差異，在裝飾圖、文本描述和數軸這3種條件下的成績都隨著年級的升高而升高；另外，隨著年齡的增長，4種表征模式下學生的問題解決能力不斷發展，信息圖條件下的發展要慢于其它3種.

目前對這兩種表征的理解存有這樣的共識：問題的外部表征和內部表征是相互獨立但又緊密聯系的兩個概念，內部表征的信息要依靠認知操作系統從記憶系統中提取出來，有時候外部表征可以幫助激活提取信息.由于對內部表征的研究在實踐操作上存在困難，已有的研究基本上是通過對外部表征的操作化來說明問題表征對問題解決的重要影響作用，有的傾向于通過不同的外部表征類型間接地推測內部表征的過程，有的認為表征其實就是一個內部表征和外部表征相互轉換的動態認知過程.Nelson等人[6]的研究表明外部表征有助于將問題從模糊、不清晰的狀態轉化到明確狀態，使個體排除多余信息的干擾，更加快速準確地理解問題，盡可能多地想出不同的問題解決方案.

具體到數學應用題教學實踐中，學生在對應用題進行理解的時候往往受到一些外部因素的影響，具體說來有以下幾種：

第一、問題情境.問題的呈現方式、問題環境及其結構等是表征的基本信息條件，對問題解決者理解問題有影響作用，決定著對問題信息以及信息中的時間、空間結構的感知.傅小蘭等[7]的研究發現個體表征不能完整地表征問題或錯誤的表征問題的主要原因之一是信息遺漏.贠麗萍等[8]在研究中發現問題呈現條件不同，數學應用題解題，學生的解題水平有很大的不同，有一定視覺提示的問題呈現方式有助于小學生解題水平的提升；不同年級和空間能力不同的學生解決不同問題呈現方式的應用題成績有差異.王楓[9]采用視覺和聽覺兩種方式呈現應用題，應用題解決能力正常和不良的學生的解題正確率有顯著差異，其中聽覺呈現對應用題解題能力不良的學生影響更大.

第二、利用多媒體技術呈現問題.在傳統的教學中，教師使用的教學工具主要是黑板和書本，教師在講解應用題的時候只能以靜態的方式將題目呈現給學生，有時候過于抽象的題目學生難于理解.隨著科學技術的發展，多媒體教學技術使得動態的教學過程得以實現，Wolfgang[10]如圖表和實物等，能夠打破學生頭腦中的刻板表征，加上利用現代化的教學技術，運用多媒體呈現問題，可以使問題的呈現更加具體、生動、直觀，有助于學生從視覺、聽覺等各個方位或角度理解問題，促進他們數學思維的發展.

綜上所述，可以看出雖然研究者們認為表征是動態的、內外部表征相互轉換的過程，但是目前的研究還是主要集中在內部表征上，多從策略的角度出發，集中于對內部表征結構和影響因素進行探討.而且，在數學應用題解決研究中，應用題實驗材料的呈現手段較為單一，較少利用到現代化的教學技術.如果以多媒體為載體，采用多種方式諸如圖標、實物、動畫等呈現應用題，就可以使呈現的問題更加直觀、具體和生動，有助于打破學生頭腦中的刻板表征，使學生多角度、全方位地表征問題.

2 方 法

2.1 被 試

隨機選取208名小學四年級學生為被試.女生77名，男生131名.所有被試智力正常.

2.2 實驗設計

兩因素混合設計，3表征方式（裝飾圖表征、信息圖表征、文字描述表征）×2呈現方式（動態、靜態）.其中表征方式為組內變量，呈現方式為組間變量.因變量為表征正確的成績，即列式正確計1分，列式錯誤計0分，用正確率作為因變量的指標.

2.3 實驗材料

根據增加、減少、合并、比較等概念知識，按語義關系將加減算術應用題歸為3種類型：（1）引起變換問題（Cause-change problems）.描述了對事物的數量進行加減操作而引發的數量上的增加或減少.（2）組合問題（Combination problems）.這類問題中有一個恒定的量，需要問題解決者做出合并或分解的運算.（3）比較問題（Comparison problems），即要比較兩個不變量的大小.已有研究普遍認為第一類問題和第二類問題的難度相當，比較問題要難于前兩類問題，并且指出比較問題中的“少多少”問題要比“多多少”問題難.結合小學生實際的數學學習情況，經過對實驗材料的同質性進行統計檢驗，測試題目的難度適合小學四年級學生的數學水平[11].

圖1 應用題樣例

2.4 實驗程序

采用Microsoft PowerPoint將應用題呈現在分辨率為1024×768的顯示器上，統一發放答題紙，要求學生列出式子即可.以班級為單位，集體測試，每個班級一位主試和一位老師，主試負責解說指導語，老師負責維持紀律.

靜態：呈現正式實驗材料之前，先分別呈現裝飾圖、信息圖、文字描述這3種外部表征的應用題各一道，主試結合這3道題講解指導語：“同學，你好！今天需要你們幫我們完成一個小小的應用題游戲.電腦屏幕上會依次出現幾道數學應用題，每道題會在屏幕上停留45秒.請集中注意力，在規定的時間內讀完題目就可以開始列式了，并將算式直接寫在答題紙上，不用計算答案.”

動態：呈現正式材料之前，先分別呈現裝飾圖、信息圖、文字描述這3種外部表征的應用題各一道，主試結合這3道題講解指導語：“同學，你好！今天需要你們幫我們完成一個小小的應用題游戲.電腦屏幕上會依次呈現幾道數學應用題，每道題總共會在屏幕上停留45秒，因為每道題被分成了3個部分：第一個部分是條件1（呈現15秒）；第二個部分是條件2（呈現15秒）；第三個部分是提問（呈現10秒），最后3個部分同時呈現（5秒）.請集中注意力，在規定的時間內讀完題目就可以開始列式了，并將算式直接寫在答題紙上，不用計算答案.”

主試耐心的解釋完指導語，確認每個被試都明白之后開始正式試驗.實驗結束后主試回收答題卡，并派發小禮物感謝被試參與實驗.

3 結果與分析

兩種呈現方式下學生裝飾圖、信息圖、文字描述題表征正確率見表1.

表1 兩種呈現方式下學生裝飾圖和信息圖及文字描述題表征正確率（M±SD）

進行2×3非重復測量與重復測量混合的方差分析.實驗結果表明，不同表征方式的主效應和外部表征方式的主效應項目都顯著，F1(2, 412)=88.377，p=0.000，partialη2=0.300；F2(2, 16)=5.138，p=0.019，partialη2=0.391.

不同問題呈現方式的主效應不顯著，F1(1, 206)=2.074，p=0.151；F2(1, 8)=4.901，p=0.058，partialη2=0.380.但成對比較發現，靜態呈現的問題準確性要比動態的好.

外部表征方式和問題呈現方式的交互作用顯著，F1(2,412)=6.074，p=0.003，partialη2=0.029；F2(2, 16)=8.629，p=0.003，partialη2=0.519.

3種外部表征在不同問題呈現方式下的表征成績條形誤差圖見圖1.

圖1 3種外部表征在不同問題呈現方式下的表征成績條形誤差圖（標準誤）

進一步簡單效應檢驗結果表明，對于動態的問題呈現方式，在裝飾圖表征、信息圖表征、文字描述表征3種水平上差異顯著，F(2, 306)=18.718，p=0.000；對于靜態的問題呈現方式，在裝飾圖表征、信息圖表征、文字描述表征3種水平上差異顯著，F=(2, 312)=20.058，p=0.000.

在裝飾圖表征條件下，動態好于靜態，但是二者差異不顯著，F(1, 206)=0.311，p=0.578；在信息圖表征條件下，動態呈現和靜態呈現差異顯著，F(1, 206)=4.180，p=0.042，靜態好于動態；在文字描述表征條件下，動態呈現和靜態呈現差異顯著，F(1, 206)=5.526，p=0.020，靜態好于動態.

4 討 論

4.1 外部表征對數學應用題理解的影響

從存在形式的角度來看，表征是指可反復指代某一事物的任何符號或符號集.心理表征可以分為外部表征和內部表征，外部表征包括語言表征和圖形表征，內部表征包括符號表征和分布式表征，其中符號表征又分為命題表征和類比表征.從認知活動的角度來看，兒童對問題表征先是從表演性表象開始的，逐漸到運動表征，發展到圖像表征，最后發展至符號表征.無論是作為存在形式還是作為一種認知活動，問題表征都與個體的認知活動息息相關.適當的問題表征對問題的解決是至關重要的，如果對問題沒有清晰準確的理解，很難準確地解決問題.恰當的問題表征應該滿足3個條件：表征與問題的真實結構相對應；表征中的各個問題成分被適當地結合在一起；表征結合了問題解決者的其它知識.

解決一道數學應用題，首先需要讀題，理解題中的數字、變量名和關系這3個基本因素，這就是表征的開始.研究中提供了3種外部表征方式，將裝飾圖、信息圖、文字描述這3種外部表征方式進行比較，信息圖下的應用題能很好地幫助學生理解題意，并用與之對應的表征策略形成良好的表征，最后成功解答問題.而裝飾圖的題目，可能提供的圖片涉及到題目中包含的主體，也能在一定程度上激發學生的想象，結合具體的、熟悉的場景來理解題中各個主體、數量和關系詞的聯系，在一定程度上促進了問題的適當表征.文字描述的題目對于剛學習應用題的小學四年級的學生來說具有一定的抽象性，理解起來比較困難，有時候通過反復讀題的方法也無法找出題目中隱含的條件，這樣就影響了應用題的準確表征，進而不能成功地解答應用題.另外，四年級的學生學到的數學應用題知識和解題方法也有所增加，這些都使得他們能更正確地表征應用題，成功解決不同的應用題.

從外部表征的定義上理解，其實問題呈現方式也可以看做是一種外部表征形式，研究分別采用動態和靜態的方式呈現應用題，使得個體對問題的覺知發生變化，而這種變化與3種外部表征方式又是結合在一起的，實驗三的結果表明問題呈現方式和外部表征方式的交互作用顯著，說明在動態和靜態的條件下，學生對信息圖、裝飾圖和文字描述題目的理解是不同的.有研究者指出可以將多媒體資源分為3個水平：與設備有關的技術水平，如電腦，網絡和顯示器等；與表征形式有關的語義水平，如文本、圖片和聲音等；與感官接收信息有關的感官水平，如聽覺通路和視覺通路等.第一種水平上的多媒體資源是傳達信息的載體，而后兩種水平在多媒體學習中起著直接的影響作用，正如研究中使用的3種外部表征方式和動靜態的問題呈現方式對學生理解應用題的影響是不同的.相對于文字描述題而言，與應用題相關的信息圖片能夠幫助學生理解問題情境，根據情境表征制定計劃，這是一種抓住問題本質的理解，最終構建問題模型，完成解題任務.然而，與應用題關系不大的裝飾圖片并未明顯地起到促進問題理解的作用.

4.2 問題呈現方式在表征數學應用題的過程中發揮的作用

依據問題解決的表征態理論，個體在理解問題的過程中，采用序列搜索和并行搜索結合的方式對覺知到的信息進行分析、處理，這種系列和并行的方式在問題解決中經常表現為跳躍性的表征態變化過程，在許多情況下，問題表征及其轉換是依靠問題圖式的指引來完成的，或者在識別問題已知信息時采用并行掃描，快速激活相關的樣例或者問題圖式，準確地理解問題.研究中對動態和靜態的問題呈現方式進行對比，動態條件中將一道應用題分成3個部分依次呈現，這種操作化的引導能夠指引學生依次對問題條件和提問進行理解，結果卻發現這種問題呈現方式的主效應并不顯著，可能學生在理解問題的時候雖然是按呈現順序讀完題目，但是理解題意的時候發生了動態性的變化，運用并行的搜索方式找到大腦中存儲的與應用題相關的圖式知識，形成問題表征.

另外，學生在學習數學應用題的時候，以文字描述這種外部表征方式較為常見，但是光有語言性的描述，有時候不能讓學生直觀、形象的表征題意.借助多媒體技術，將常規的靜態呈現文字描述應用題和動態呈現文字描述應用題相比，發現靜態條件確實利于學生理解題意，在裝飾圖條件下也一樣.利用多媒體技術要符合學生的學習要求，要采用恰當的技術幫助學生學習.然而，動態方式呈現下，學生的應用題表征成績為什么會比較差呢？僅僅是因為多媒體技術的使用不當嗎？學生在表征問題的時候，是不斷的在思考的，一方面需要加工已經獲得的信息，儲存這些信息，另一方面還要提取已有的知識經驗，嘗試著思考可能的解決辦法.當以動態的方式呈現問題時，學生還要記住之前看過的問題條件，比如已知條件、數量大小、幾個客體之間的關系等信息，這樣就加重了大腦的工作負荷，可能會降低表征的準確性.

5 結 論

學生在靜態呈現方式下解答應用題的成績要優于動態呈現方式下的應用題成績；不管是靜態呈現還是動態呈現，信息圖表征的成績都優于文字描述表征和裝飾圖表征成績.

[1]Zhang J.The Nature of External Representation in Problem Solving [J].Cognitive Science, 1997, 21(2): 179-217.

[2]廖伯琴.中學生物理問題解決的表征差異及其成因探析[D].西南師范大學，1999.

[3]鄧鑄，余嘉元.問題解決中對問題的外部表征和內部表征[J].心理學動態，2001，（3）：193-200.

[4]M W 艾森克，M T 基恩.認知心理學[M].上海：華東師范大學出版社，2004.

[5]Iliada Elia, Athanasios Gagatsis, Andreas Demetriou.The Effects of Different Modes of Representation on the Solution of One-step Additive Problems [J].Learning and Instruction, 2007, (17): 658-672.

[6]Lee Y, Nelson D W.Design of a Cognitive Tool to Enhance Problem-solving Performance [J].Educational Media Internatioanl, 2005, (3): 34-35.

[7]傅小蘭，何海東.問題表征過程的一項研究[J].心理學報，1995，（2）：204-219.

[8]贠麗萍，游旭群.小學生數學應用題解題水平影響因素的實驗研究[J].心理學探新，2006，（4）：63-67.

[9]王楓.工作記憶、類比推理與小學二年級學生數學應用題解決[D].華中師范大學，2007.

[10]Wolfgang S, Love R.External and Internal Representations in Multimedia Learning [J].Learning and Instruction, 2003,13(2): 117-123.

[11]蔡新華.外部表征和工作記憶對小學生數學應用題解決影響的實證研究[D].廣州大學，2012.