小學數學專家教師課堂教學決策的個案研究

黃興豐，高 麗

（1.常熟理工學院 數學與統計學院，江蘇 常熟 215500；2.常熟市石梅小學，江蘇 常熟 215500）

1 引 言

數學課堂是教師、學生、數學這3個要素在交互作用中生成的動態環境，是一個開放的不斷變化的復雜系統[1].事實上，教師和學生在數學課堂中分擔的職責從來就是不一樣的[2].近來數學課程標準就明確指出學生應該是“數學學習的主體”，而教師則是“學生學習活動的組織者、引導者、合作者”，應當有效發揮教師的主導作用[3].毫無疑問，教師必須通過自身的行為履行課堂的職責，發揮教師的作用.而教師的行為又無不受到個人信念、知識、態度等諸多因素的影響[4～5].一旦這些因素和課堂情境交互作用，就會形成教師內隱的教學決策，并付諸于外在的教學行為.在Bishop看來，教學決策是教學活動的心臟，研究教師的教學決策可以有效提高教師的課堂教學水平[6].Schoenfeld也持有相似的觀點，他認為研究教師的教學決策不僅可以幫助研究者理解教師是“如何思考的”，而且還可以以此作為促進教師的專業發展的起點[7].

關于教學決策的研究，近四十年來一直受到許多研究者的關注，得出了不少重要的結論[8].第一，教師的教學決策可以分成課前設計的教學決策、課堂教學決策、課后反思的教學決策[9].課前設計可以為課堂教學決策作好必要的準備，而課后反思可以調整和改善教師以后的課堂決策.其中課堂教學策略被教師一致認為是最具挑戰性的，因為他們必須臨場做出判斷和選擇.第二，一般說來，教師具備3種不同的課堂教學決策圖式，即執行計劃的圖式，回憶情境的圖式，以及臨場推斷的圖式.執行計劃可以減輕教師的認知負擔.回憶相似的情境，完全依賴教師的教學經驗.只有當課堂出現意料之外、完全陌生的教學事件時，教師的臨場決策才格外顯得具有挑戰性，這也可以看成是考驗教師教學水平的重要契機[10].近來，中國也有學者開始關注數學教師的課堂決策.比如，楊翠蓉等使用比較專家、新手的方法，發現數學專家教師的課堂教學決策要比新手更有效、更具目的性等優勢[11].楊豫暉通過個案研究的方法，發現數學教師的教學思維、教學信念是影響個人教學決策的重要因素[12].

為了進一步理解和剖析數學教師課堂教學決策的特征及其成因，研究者將通過精細分析課堂的方法，透視數學教師的課堂教學決策.由于專家教師更能深刻地理解課堂，更能捕捉重要的信息，更能了解學生的思考方式[13～14].因此，研究優秀教師的課堂教學決策特點及其背后形成的原因，更有利于教師追求卓越的課堂教學，更有利于教師教育者采取有效的措施促進教師的專業發展.

2 研究方法

2.1 數據收集

梅老師（化名）從事小學數學教學近二十年，小學數學高級教師，蘇州市教學名師，也是江蘇省小學特級教師培養對象，曾多次獲得省市以上的表彰.她目前承擔一個班的數學教學工作，同時還要負責學校的教學管理工作，十分繁忙.梅老師在本地區的小學數學教師中享有盛名，同行都稱她是一個“有研究”的數學老師.不僅如此，梅老師和她班上的小朋友也相處得十分融洽.可以看到時常有小朋友到辦公室同她聊天，在她面前孩子們無拘無束，盡是燦爛的笑臉.研究者之所以選擇梅老師，一方面她是本地區公認的小學數學專家教師，具備卓越教師的顯著特征；另一方面，研究者與她有過合作，比較熟悉.這有助于研究者獲得更多真實的、富有價值的信息.

研究者分析的這一節課是梅老師執教的小學五年級“認識方程”.這是一堂公開課，研究者收集了梅老師的教學設計（word文檔）、說課稿（PPT文檔），拍攝了課堂教學（42分35秒）以及說課、評課（53分鐘）的全部錄像，并把課堂錄像轉錄成文本（約五千三百字）.最后，又通過互聯網對梅老師進行了兩次半結構式的在線訪談（共整理出文字約三千字）.

2.2 課堂編碼

在此，研究者借鑒了Schoenfeld發展起來的精細分析課堂的方法[15].

第一步，對課堂錄像的文本分行編號，即根據課堂中發言者的次序依次編號，一共獲得161個編號.如果教師的一次發言比較長，則根據內容編上A、B、C等字母.第二步，根據教師的教學設計，把編了行號的文本分成5個教學環節，即（1）復習字母表示數，引入等和不等關系（3分30秒）；（2）引導學生認識相等關系，理解等式（17分10秒）；（3）布置分類任務，概括方程的概念（14分）；（4）課堂練習（6分34秒）；（5）總結（1分31秒）.第三步，劃分教學環節的不同教學活動.比如在課堂開始的第一個教學環節中，教師首先利用視頻創設了教學情境，然后提出問題，讓學生用字母表示視頻中的量，接著引導學生用等和不等關系描述視頻中的情境.這樣，就可以把這個教學環節又劃分為3個教學活動.第四步，如果教學活動中包含了若干個不同問題的師生互動，可以再把這個教學活動分成若干個教學片段（圖1）.按照這樣的方法，最后一共獲得40個教學片段.第五步，利用Schoenfeld的教學決策流程（圖2）[16]對每個教學片段中教師的教學決策進行編碼（表1）.課堂教學決策具體是指在課堂教學片段中，教師提出問題后，課堂出現師生言語的交流.教師面對學生的回答，經過推理或判斷，決定下一步的教學行為.

圖1 梅老師《認識方程》第一個教學環節的編碼

表1 課堂教學決策模式

圖2 課堂教學決策流程

根據教學決策流程，研究者一共辨認了4種不同的課堂教學決策模式（見表1）：第一是快速模式（R）：教師提出問題，學生回答問題.在學生回答之后，教師只做簡單的反饋，不再要求學生解釋或者反思，然后馬上進入下一個教學片段.比如表1中教學片段【1.2.2】.第二是解釋模式（E）：教師提出問題后，不僅要求學生回答，而且還要求學生或其它學生解釋.比如在教學片段【2.5.3】中，教師要求學生解釋學生S30所列的等式“5+10=15”中數字表示的意義.第三是概括模式（G）：在學生回答問題之后，教師要求學生進一步反思，或者自己對此作出概括.比如在教學片段【2.3.2】中，學生列出了等式“600=2×300”后，教師不僅指出這個等式和“2×300=600”一樣的，而且進一步總結“習慣上是把含有運算符號的寫在左邊”.第四種決策模式其實是解釋和概括模式的復合（EG）.比如在教學片段【2.3.1】中，在學生S12指出“相等”之后，教師進一步要求學生用等式來表示這個相等關系.

3 結果與分析

3.1 宏觀的視角

（1）課堂概況.

“認識方程”這一節課是在一段廣告視頻中開始的.這則廣告夸張地表現了3個小朋友吃了“大力士”餅干后，可以把坐在蹺蹺板另一端的3頭大象翹飛上天.老師一方面利用視頻中的信息，提出3個簡單的問題，幫助學生回憶字母表示數.比如第一個問題是“3頭大象的質量分別為a噸、b噸、c噸，那么這3頭大象的質量一共是多少呢”.另一方面借助“蹺蹺板”引出“大于、小于”的話題，并引入另外一個稱量工具——天平.梅老師問“用這個天平去稱2個蘋果和1個菠蘿，會出現什么結果”，引出了3種大小關系（大于、等于、小于）.接著，老師對蘋果和菠蘿進行量化——蘋果每個300克，菠蘿600克，并請學生用式子表示這個相等關系.學生S13列出的式子是“2×300=600”.在學生S14列出式子“600=2×300”之后，老師作出概括：“600=2×300”倒過來是和“2×300=600”一樣的，不過一般要把“運算符號寫在右邊”.S15列出了“600-300=300”的式子.梅老師對這個問題稍作改變：如果蘋果小一點，只有240克，而菠蘿仍然600克，這時要保持天平該怎么辦呢？S18說可以把菠蘿切掉一塊.老師同意他的做法，但是沒有就此繼續討論下去.S19說可以在左盤加20克的砝碼，顯然她是算錯了，應該放120克的砝碼.接下來，梅老師說：“如果不標明砝碼的大小，只用字母x表示，你能列出式子表示嗎？”“2×240+x=600”的出現，使得課堂順利地過渡到了這節課的主要內容——方程.隨后，老師讓學生在課堂上練習了類似的4個問題，并核對了答案.老師又給出了一個生活情境題：鉛筆盒a元，鋼筆5元，書包35元，用式子表示：（1）鉛筆盒和書包一共50元；（2）鉛筆盒比鋼筆貴10元.對于第一個問題，學生S28列出“a+35=50”的式子.老師說：“當然不只是這一個，還可以寫出其它.”不過，老師沒有繼續就此討論下去.學生S29用“a-10=5”表示第二個問題中的相等關系，但是很多學生認為這是錯誤的.S30用“5+10=15”來表示這個相等關系，老師回應說：“當然他求鉛筆盒的價錢是可以的，不過我們暫時不討論這個.”S31列出了“a-5=10”，這是學生公認的等式.梅老師這時讓學生對課堂上得到的10個式子（不等式、等式（方程））進行分類.全班學生4人一個小組展開了討論，一共出現了兩種分類法：一種將是否含有等式作為分類標準，另一種則將是否含有字母作為分類標準.老師讓學生對等式繼續分類（含字母、不含字母），進而概括出了方程的概念.課堂到此已經進入了尾聲.在學生做完3個課堂練習題之后，全班一起核對了答案，老師最后進行了課堂總結.

（2）課堂教學決策特征.

從表2的數據中，可以看到在復習引入的教學環節，教師僅僅使用了R模式的教學決策，而在其它教學環節，教師則采用了多種不同的決策模式.從表3的數據中，還可以發現E和R的教學決策模式是教師課堂最常用的兩種模式.

首先，梅老師在訪談中，談到了她對教學的理解：

教學方法不能說哪種是有意義的，哪種又是無意義的，它們之間并無優劣之分，只看是否有其“必要性”.教學過程中，我們往往會根據小學生的理解和接受能力，根據知識點的難易程度，來決定教學節奏，來決定到底采用哪種方式組織教學；而且很多時候，老師會在教學過程中，接收來自學習現場的信息，即根據課堂中學生的眼神、表情、回答問題的正確率、即時生成的一些資源等，來隨時調整（【I1-1】）（I1-1表示第一次引用對梅老師的第一次在線訪談記錄，其它類似）.

在梅老師看來，教學方法本身沒有好壞優劣之分，課堂的教學要圍繞學生的“理解和接受”能力確定，要根據課堂中學生反映和表現隨時調整.這充分體現了“以學定教”的教學理念.同時，梅老師的的話語，也折射出了這樣的教學觀點，即課堂教學并不是簡單地根據預定的設計，一成不變地執行教學計劃，教師要學會捕捉“來自學習現場的信息”，經過推理判斷，進行“診斷性”的教學.

梅老師的這種“以生為本”的教學觀念，還可以從她對E、G、EG決策模式的理解和運用中表現出來.在訪談中，梅老師告訴研究者，通過這些方式，可以鼓勵學生“充分思考、全面交流、深入討論”，從而達到“理解方程中相等關系”的教學目的.在課后的說課中，她也反復強調了一點，她認為只有通過“分析”、“概括”和“交流”的課堂活動，學生才能“經歷將現實問題抽象成等式與方程的過程”，才能“積累將等量關系數學化、符號化的活動經驗”.梅老師“以生為本”的教學理念，在課堂的兩個方面得到了體現：第一，教師運用大量E模式課堂決策，通過學生解釋和討論，促進他們對數學的理解.第二，在課堂的第三個環節，梅老師給予了學生大量的時間（約占課堂總時間的三分之一），開展小組合作交流，對式子進行分類.

表2 梅老師在教學環節中對4種課堂教學決策模式的運用

R模式的課堂教學決策，正如前面所述，就是教師提出簡單問題，學生簡短回答，然后教師做出評價或反饋的過程.其缺陷是顯然的，即很難促進學生的深入思考和反思.但是，這種模式的優勢在于不僅能幫助教師了解學生掌握知識的狀況，而且還能節省教學時間，積極推進教學進程，保證教學內容的順利完成[17].梅老師是這樣解釋她在復習引入環節中使用R模式教學決策的，她說：

學生的數學學習是運用已有知識不斷獲取新知識的過程，而復習鋪墊能激活學生處于休眠狀態的舊知與經驗，為新知提供固著點和生長點，所以有時組織舊知的復習是必需的，……但是，本課教學又有全新的教學任務，不應在已有知識體系中反復回旋，……要緊扣新授課教學的重難點，……所以，相應地也就采用了這樣的方法（【I1-2】）.

由此看來，高效地完成教學任務也是梅老師追求的目標之一.也正是在這種觀念的指引下，她在復習引入的教學環節，充分發揮了R模式的優勢，使得課堂很快過渡到了重點內容的教學階段.

3.2 微觀的視角

為了更加深入地理解教師的課堂教學決策，研究者關注了在研究者看來比較重要的幾個細節.

3.2.1 菠蘿切掉一塊”

文章前面提到，為了引出用方程表示相等關系，梅老師首先提出了用天平去稱“300克的2個蘋果”和“600克的1個菠蘿”的問題.在學生列出“2×300=600”等式之后，老師略作變化，問“如果蘋果小一點，只有240克，而菠蘿仍然600克，這時要保持天平平衡該怎么辦（【2.4.2】）？”這時，學生S18回答：“菠蘿切掉一塊（【46】）.”老師只是回應“可以的”，卻沒有繼續討論下去（【47】）.在研究者看來，S18的回答正是引入方程的一個好時機.如果引導學生用字母x表示“切掉一塊”的質量，就可以列出方程“2×300=600-x”.但是梅老師為什么沒有這樣去做呢？在訪談中，她告訴研究者：

學生提出把天平右邊的“菠蘿切掉一塊”以保持平衡，是完全可以的，所以加以肯定.但如果以此為契機展開教學，將列出“480＝600－x”這樣的等式.左邊是一個數，右邊是一個含有字母的式子，這樣的書寫方式，對于小學生來說，會感覺非常“奇怪”.而且在后續教學中，蘇教版教材只要求學生會解形如“x±b＝c”、“x×b＝c”、“ax±b＝c”、“ax±bx＝c”這樣的方程，所以當時我的潛意識里，“肯定”但“絕不深入討論”這種方法.（【I2-1】）

原來，梅老師在進行教學決策的時候，充分考慮了學生的認知水平和課程的要求.也就是說，學生和課程的因素極大地影響了教師的課堂決策.在教學片段【2.3.2】中，也許教師也是考慮到了這些，因此在學生S14列出等式“600=2×300”之后（【36】），教師提出了“運算符號要寫在等號的左邊（【37】）”的要求.同樣，教師在教學片段【2.5.1】中也做出了類似的決策.當學生S28用“a+35=50”的式子表示了“鉛筆盒和書包一共50元”（【83】）之后，盡管老師強調還可以用其它的式子表示，但是沒有繼續討論下去（【88A】）.因為，在其它表示中，要么運算號在等號的右邊，要么字母在等號的右邊.這些正是梅老師在“潛意識”里認為“絕不深入討論”的方法.

事實上，正如梅老師所認識到的那樣，已有的研究表明：學生對于等式最初的理解確實僅局限在“運算號”和“字母”出現在等號左邊的式子中.一方面，他們只是把等號看成是運算的一種指示，只具備“過程性”的觀念；另一方面，他們無法理解等號表示的是一種等價關系，難于形成“結構性”的觀念[18].但是，代數的學習必然要求學生超越“過程性”的觀念，達到更高的認識水平.因此，為了幫助學生初步建立起關于等號的“結構性”的觀念，教師在教學中可以有意識地讓學生構造一些兩邊都有運算的等式[19].

在訪談中，研究者發現梅老師是一個善于反思的老師，她也已經認識到了這一點.她說：

課后，我也對這一課時的教學進行了重新梳理，做了更加深入地分析和思考.如果現在再教的話，我會把大量的教學精力放在引導學生體會“列方程是表示現實情境中的等量關系”上.至于x是放在左邊還是右邊，這些體現方程非本質屬性的實例，在認識方程的初級階段，更是引導學生體會和感悟概念的非常需要的素材.所以，不會再回避這種方法，相反還要增加，以期幫助學生構建對“相等關系”和“等式”的理解，進一步理解概念的內涵.（【I2-2】）

3.2.2 為何擦去“5+10=15”

在【2.5.3】的教學片段中，梅老師請學生用式子表示“鉛筆盒比鋼筆貴10元”（其中事先假定了鉛筆盒a元，鋼筆5元）.S30列出等式“5+10=15”（【101】），教師在作了一些解釋后，明確地回應道：“當然他求鉛筆盒的價錢是可以的，不過我們暫時不討論這個.”（【108】）然后擦去了黑板上的這個等式.梅老師的這個教學決策引起了許多不同的意見.在評課的過程中，有老師認為，可以引導學生把“5+10=15”中的“15”改成“a”，這樣就得到了一個方程.也有老師認為，這個等式已經正確地表示了情境中的數量關系，應該尊重學生的思考過程，保留等式.梅老師在這一點上，無論是在評課中，還是在接受研究者的訪談時，都表現出了一致的態度.她指出：第一，像“25-10＝x”是不是方程，在小學數學教學界一直存在著極大的爭議.雖然有的著作指出，只要“x＝1”中的x是用來表示所要求的數，即x是未知數，那么“x＝1”就是方程，但仍有很多教師否認這是方程.第二，小學生經常容易列出形如“25-10＝x”的式子，這其實反映了學生算術的思考方式.而方程是學生從算術思維過渡到代數思維的重要載體，在教學中要盡量鼓勵學生使用代數的思維方式思考問題，而不是停留于算術的思維水平.可見，梅老師對數學以及數學方法的理解也是她課堂教學決策的重要源泉.

4 總結與討論

研究者發現，梅老師在課堂教學中主要使用了“快速推進”，以及“要求學生解釋”的教學決策.正如前面所提到的那樣，“快速推進”的教學策略，其作用是兩面性的.雖然，有利于保證教學任務的完成，但是在此過程中，教師關注的焦點似乎是問題的答案，而不是學生本身的思考.對于西方的研究者，他們推崇的是促進學生理解的診斷性教學，比如像梅老師課堂展現的解釋、概括等模式[20].然而，這種教學模式的缺點也是顯然的，即難以保證教學任務的順利完成.在梅老師看來，任何教學方式，本身并無好壞優劣之分，判斷其價值的標準，是看它是否有利于達到教學的目的.她認為，教師的教應當圍繞學生的學展開，其核心是促進學生的發展.因此，課堂要隨時根據學生的表現做出調整；另一方面，教師也要為完成教學計劃做出努力，要采取有效的方式，保證課堂活動圍繞教學重點展開.也就是說，優秀的教師會在課堂中綜合地運用多種模式，使其作用相互補充，既可以保證教學任務的順利完成，又可以提供給學生深入思考的機會，充分展現 “教師主導性”和“學生主體性”的課程基本理念[21～22].

研究者也發現，梅教師之所以能成為專家，應該和她自身善于反思是密不可分的.一方面，課后的反思促使她在不斷自覺地改進教學.比如，梅老師認真思考了“菠蘿切掉一塊”的教學后，她決定以后“不會再回避”其它形式的方程了，相反還要增加，以幫助學生構建對“相等關系”和“等式”的理解.另一方面，課后反思也可能會促使她逐步形成個人的教學思想.比如，在“擦去5+10=15”的教學中，梅老師受到質疑之后，她并沒有迎合眾人的觀點，而是大膽地闡述了自己的教學思想，之所以如此處理，是“為了促進學生從算術思維向代數思維的過渡”.由此可見，教學反思，可以使教師逐步走出“經驗型教學”的圈子，逐漸走向“合理型教學”的目標，最終促使她們成長為一名專家型的教師[23].

最后要指出的是，研究課堂教學決策，也許是促進教師專業發展的一條有效途徑.教師做出教學決策是她們每天課堂教學的重要組成部分，也可能是她們每天所面臨的教學挑戰之一.正如Bishop所說的那樣，教學決策是課堂教學的心臟，課堂教學也正是在教師的教學決策中前進和發展的.然而，課堂教學決策又是教師在瞬間完成的.對于新手教師而言，很多課堂情境是她們所沒有經歷過的；同樣，教學經歷豐富的教師，也會遭遇到學生出乎意料的回答.因此在這些突如其來的場景下，她們在瞬間做出的決策很可能是憑直覺的、完全自發的.不管怎樣，教師的教學決策都可以看作是她們對學生、數學、以及教學法理解在瞬間的一種“涌現”[24].因此，課堂教學決策如果能成為教師專業發展關注的焦點，教師能在真實鮮活的案例中，反思和討論自身或同行的教學決策，促使她們在具體情境中理解學生、數學以及教學法.這必然可以提高她們的教學水平，指導她們的教學實踐.畢竟，教育是指向實踐的.

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