漸進(jìn)均勻化理論在復(fù)合材料力學(xué)性能中的應(yīng)用

蔣春霞，黃志成

(廣東理工學(xué)院，廣東 肇慶 526100)

0 前 言

復(fù)合材料是由兩種或多種材料按一定的配合比經(jīng)過特定的規(guī)則復(fù)合而成的新型材料，復(fù)合材料在物理和化學(xué)性能上比其他的組成材料都有無法比擬的優(yōu)點(diǎn)，因而廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。為了更好地掌握復(fù)合材料的配合比，很多專家做了很多實(shí)驗(yàn)得出了如自洽法、代表體元法、有限元法、均勻化方法等多種方法。每一種方法有各自的優(yōu)點(diǎn)和適用范圍，自洽法一般用來分析結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的復(fù)合材料，代表體元法的結(jié)果比較粗略但其簡(jiǎn)單易行，均勻化方法是近代才開始提出的，在國(guó)內(nèi)外很多專家都對(duì)它展開了比較多的研究。本文是利用有限元方法進(jìn)行數(shù)學(xué)求解，從周期性分布的單胞出發(fā)，將宏、微觀變量利用小參數(shù)進(jìn)行耦合，對(duì)碳纖維增強(qiáng)木質(zhì)復(fù)合材料的力學(xué)性能進(jìn)行漸進(jìn)均勻化方法應(yīng)用研究。

1 復(fù)合材料制備

本次實(shí)驗(yàn)用的制備復(fù)合材料的原材料有短切碳纖維、木質(zhì)纖維、脲醛膠粘劑、異氰酸樹脂膠和固化劑等。用不會(huì)對(duì)原材料的性能產(chǎn)生影響的異氰酸樹脂膠把攪拌均勻的原材料粘好，然后成型。將成型后的復(fù)合材料放入實(shí)驗(yàn)室設(shè)定的特定溫度和濕度的環(huán)境中，待溫度和材料質(zhì)量達(dá)到恒定，記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，制圖得出圖1所示的宏觀圖。其中圖1(a)為普通木纖維板，其他的為碳纖維增強(qiáng)木質(zhì)復(fù)合材料板。

(a)普通木纖維(MDF)板

(b)SCFRW板(F/M=1∶10)

(d)SCFRW板(F/M=3∶10)

(e)SCFRW板(F/M=4∶10)

(f)SCFRW板(F/M=5∶10)

2 測(cè)試復(fù)合材料的性能

實(shí)驗(yàn)室采用萬能力學(xué)實(shí)驗(yàn)機(jī)測(cè)定碳纖維增強(qiáng)木質(zhì)復(fù)合材料板的彈性模量，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1。 其中F 為碳纖維質(zhì)量，M 為木纖維質(zhì)量。彈性模量計(jì)算公式為：

式中，l為支座間的距離; b為試件寬度; h 為試件厚度; Δf 為內(nèi)力增加量; Δs 為變形量。

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

3 利用漸進(jìn)均勻化理論計(jì)算

漸進(jìn)均勻化理論是利用漸進(jìn)擴(kuò)展和周期性假設(shè)來求解帶有快速振蕩參數(shù)的微分方程，一般情況下，復(fù)合材料在宏觀結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為均質(zhì)性，在微觀上呈現(xiàn)出非均質(zhì)性。如圖2。

圖2 復(fù)合材料的微觀圖

與材料的宏觀幾何尺度(用x表示)相比，單胞尺度(用y 表示)是很小的量，結(jié)算時(shí)用小參數(shù)ε( 0<ε<1) 來代表單胞特征尺寸，小參數(shù)ε=x/y。把位移場(chǎng)量u 以ε 作漸進(jìn)級(jí)數(shù)展開，得到關(guān)于宏觀變量x和微觀變量y的位移場(chǎng)函數(shù),公式為：

u(x)=u(x,y)=u°(x,y)+εu1(x,y)+ε2u2(x,y)+O(ε3)

式中，u° ( x，y) 、u1( x，y ) 和u2( x，y) 分別為第一、二和三項(xiàng)基底函數(shù); O 表示高階無窮小，計(jì)算時(shí)趨近于0。

圖3為周期性排列的微觀結(jié)構(gòu)及單胞。

圖3 周期性排列的微觀結(jié)構(gòu)及單胞

周期結(jié)構(gòu)單胞的等效彈性模量為：

解上面方程式的方法可以用有限元方法，可以先求解出單胞施加載荷與周期性邊界條件，最后再計(jì)算特征位移。

4 仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

周期性邊界條件：利用周期性分布假設(shè)計(jì)算單胞內(nèi)的節(jié)點(diǎn)位移場(chǎng)公式：

彈性模量：建立微觀單胞模型對(duì)微觀單胞上各節(jié)點(diǎn)的彈性模量進(jìn)行求解。求解特征位移，如果是單胞，對(duì)其z方向的節(jié)點(diǎn)施加單位位移載荷，對(duì)其求解可得單位節(jié)點(diǎn)反力，再把周期性邊界條件加進(jìn)去，得到單位節(jié)點(diǎn)反力施加到單胞節(jié)點(diǎn)上的效果，經(jīng)求解后即可得到特征位移，其等值線分布如圖4所示。

圖4 特征位移的等值線分布

最后可對(duì)單胞施加均勻應(yīng)變時(shí)，觀察到碳纖維的應(yīng)力值大于基體應(yīng)力值，且在這個(gè)變化過程中，碳纖維承受了復(fù)合材料形變中的主要應(yīng)力。由此得出碳纖維的加入大大提高了復(fù)合材料的力學(xué)性能。

5 結(jié) 論

進(jìn)行漸進(jìn)均勻化理論計(jì)算必須有滿足一定要求的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，與其他的一般計(jì)算方法如工程經(jīng)驗(yàn)法相比，在計(jì)算上雖然復(fù)雜了很多，但在精度等很多方面都有了很大的提高。本方法建立了微觀單胞模型，可以利用計(jì)算機(jī)來簡(jiǎn)化復(fù)雜的計(jì)算過程。通過以上的實(shí)驗(yàn)可以得出以下幾個(gè)觀點(diǎn)：①仿真數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本一致，這說明了漸進(jìn)均勻化理論計(jì)算方法可行；②為了計(jì)算的簡(jiǎn)化，采用了周期性假設(shè)在本實(shí)驗(yàn)中是可以的；③本文的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算方法為復(fù)合材料的工業(yè)化設(shè)計(jì)和生產(chǎn)提供了一定的參考意義；④本文在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過程中采用一定的假設(shè)和近似計(jì)算，也沒有考慮內(nèi)結(jié)合強(qiáng)度對(duì)材料力學(xué)性能的影響，所以其數(shù)據(jù)結(jié)果與實(shí)際數(shù)值還是有一點(diǎn)的誤差。

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