引導學生用“數學的方式”學數學

【編者按】2013年10月24日至27日，江蘇省“星海杯·教海探航”征文頒獎大會暨首屆“蘇派”教學國際研討會在蘇州工業園區星海小學舉行。頒獎大會期間，分語文、數學、英語、體育、音樂5個學科舉行了主題為“為兒童的生長而教”的教學觀摩活動，邀請了蘇派名師和全國著名特級教師為與會教師做了課堂教學展示和討論。本期《課例評析》欄目，我們為大家呈現的是蘇派名師許衛兵老師的《分數的初步認識》和全國著名特級教師林良富老師的《分數的意義》，希望兩篇課例及其思考能給您帶來一些啟迪。

【設計理念】

學習方式的變革是當前課程改革的重點之一，對“學習方式”的理解不能只局限在自主、合作、探究等形式特征上，還要有“學科”視角。在數學課堂上，如何讓學生用“數學的方式”學數學呢？我以為，數學本身是抽象的、邏輯的、理性的、系統的、思辨的……（當然，并不排除形象、直觀、感性，恰恰相反，就小學數學教學而言，往往形象、直觀、感性的特征更明，效用更大）。不同的數學知識都會程度不等地對上述特征有所表現，挖掘數學知識內在的“數學內涵”并和學生的學習現實有效地結合起來，可以讓數學學習有更好的“數學味道”。

本課是小學階段第一次認識分數，在數系中，整數、小數、分數都屬于“數”。當我們從系統的角度來思考分數的初步認識時，就自然會想到：是否有一根“紅線”能貫通所有的“數”呢？我想到了數學大師華羅庚的話：“數起源于數。”的確，以單位“1”為標準量度量，結果如果滿了若干個單位“1”，即可用整數表示；如果不滿一個單位“1”，即可用真分數來表示；如果超過了一個或幾個單位“1”，剩余的又不再滿一個單位“1”，此時可以用假分數或帶分數來表示。也就是說：整數是1的“積”，而分數是1的“分”。這樣的理解，能將整數與分數很好地勾連，體現出了數學的嚴謹邏輯和整體結構。

當然，從學生學習的基礎來看，他們此前對數的認識都僅限于自然數（整數），認識邏輯是：有一個“東西”（如實物、圖形、一米長度等），記為“1”，幾個這樣的“1”記為“幾”。相對說來，這種由“1”到“幾”的遞增思維幾乎進入了自動化的階段，而分數的認識，需要建立的是將“1”均分到“幾分之一”反向思考。三年級學生需要突破原有的思維框架，完成新的建構。

從教學的角度來看，三年級學生對分數的感知也并非一張白紙。有些學生在日常生活中聽到、看到過分數，甚至有意無意地使用過分數。故而，教學要貼近學生的知識基礎和生活經驗，通過有關聯性的學習素材和研究主題，幫助他們把握分數的本質，建立整體思維，滲透模型思想。課堂力求簡約而又深刻，數學而又兒童，“好吃”又有“營養”。

【教學目標】

1.初步認識分數，會讀、寫分數，能用分數表示出一個圖形的幾分之一。

2.經歷“舉例——解釋——建模——應用”的學習過程，了解“先分后數”的分數實質，建立整數和分數之間的聯系，感悟數學的學習方式，滲透模型思想。

3.在富有情趣又層層推進的學習中，感受數學的邏輯魅力和思維力量，激發良好的學習熱情。

【教學過程與意圖】

一、復習，引入

1.說“整數”。

學數學離不開和“數”打交道。（屏幕上出現一個大大的字——“數”）關于“數”，數學家華羅庚爺爺說了這樣一句話：“數起源于數。”（屏幕顯示華羅庚的照片和文字：數起源于數。）

來，讀一讀。（由于沒加拼音，不少學生把最后一個字讀錯了。教師笑而不語，給兩個“數”字分別加上拼音，讓學生再讀：“數（shù）起源于數（shǔ）。”）

同學們會數數嗎？請看屏幕。

屏幕上依此出現1個蘋果、2個蘋果、4個蘋果，1米長度、3米長度，學生一邊數著，屏幕上就同步出示相應的數。

正如華羅庚爺爺所言，我們這一數，就數出了1、2、3、4這些數了（板書1、2、3、4）。這樣的數還有嗎？再說幾個。（接著板書5、6、7……）這樣的數通常用來表示物體的個數，在數學上我們叫做“整數”。（板書）

2.說“分數”。

歷史上，人們也曾像我們今天這樣，通過數一數來表示數。當然，數的“大家庭”的成員也不少，除了整數，還有其他的數。今天，我們一起來學習一種新的數——“分數”。（板書）

【對每一節數學課來說，尋找學習的起點很重要。本課開始倒回到“整數”的計數、讀寫，生動、具體、形象，低起點，難度小，但是學生參與廣、熱情高。不但有趣、幽默，也有濃濃的數學味兒。站到數系的高度來引出“分數”，可以打開學生的學習視野，拓展其思維空間，也為本課后半段的整體建構奠定了基礎。】

二、探究，新授

當“分數”這兩個字出現在你的眼前時，老師想你們腦子里一定有很多疑問，（屏幕上顯示很多的“？”）都有些什么問題呢？

（學生發言后，教師提示解決問題的方法有很多種，從生活中學習就是很好的一條路。）

1.研究“ ”。

在日常生活中，同學們見過或聽到過分數嗎？你能不能說出一個分數？

（學生舉例后，教師在黑板上寫下“二分之一”。）

（1）說一說。你能聯系生活，舉個例子說說什么是“二分之一”嗎？

（學生可能聯想到切一個蘋果、一塊蛋糕等，講述時，教師緊扣“怎么切？”“切成幾份？”“哪一部分是它的二分之一？”等關鍵點追問，并在黑板上畫下平均分和不平均分的圖示輔助學生的講述，同時，板書“平均分”“共2份”“其中的1份”。）

概括：通過大家的舉例，可以看出一樣東西，只要平均分成2份，其中的1份就是它的二分之一。

（2）折一折。拿出長方形紙，想辦法找出它的二分之一。

（學生完成操作后，交流折法，屏幕動態呈現：左右對折，上下對折，斜著折）

思考：這三種表示“二分之一”的方法，看起來并不相同，共同點是什么？

再次回顧板書：平均分→共2份→其中的1份。

（3）寫一寫。剛才我們說了“二分之一”，也動手做了“二分之一”，但是“二分之一”這個分數怎么寫呢？你能創造出一種寫法，把我們剛才說的、做的這些注意點都包含進去嗎？

學生集體創造寫法，然后交流不同的寫法是如何體現“平均分”“共2份”“其中的1份”的，最后統一寫法。介紹分數線、分子、分母。再在紙上規范地寫下“ ”。

（4）拓一拓。表示這張紙的二分之一，屏幕上的三種方法其實是有聯系的，也可以看成一種。動畫演示三根折痕相交的中心點，然后一根橫線繞著中心點旋轉，變化成左右對折、上下對折、對角線斜著折、任意角度梯形分割等多種平均分成2份的圖示。

凸顯：只要平均分成2份，其中的1份就是它的 。

【 雖然是一個分數，表示分的“結果”，但每個分數都是“過程”和“結果”的統一。結果的意義就在過程之中。因此，本環節注重讓學生聯系日常生活經驗，嘗試著用自己的語言來講述 的產生過程，從生活的、直觀的、樸素的理解中提取分數的本質內涵。在學生對分數的感覺逐步加強后，再通過創造寫法來凸顯分數的本質，使得分數的形式特征和內在意義實現了有機統一，有因有果，有理有據，形神兼備，形象融合抽象，感性伴著理性，教學的過程就豐滿了，學生的認識也更加清晰了。】

2.聯想“ ”。

觀看老師操作“左右對折”產生 后，再對折一次。打開后數一數，平均分成了幾份？其中的1份是多少？為什么？

指明：平均分，共4份，其中的1份。

四分之一怎么寫就能把這些意思都包含進去呢？試著寫一寫。

每個數都有大小，分數也不例外，對照兩個分數的圖形（見下左圖），說一說大小關系。

3.類推“ ”。

將長方形紙對折三次，其中的1份可以用多少來表示？（屏幕顯示圖形，并寫上分數）

對照表示 和 的圖形（見上右圖），說一說大小關系。你還能想出一個比 小的分數嗎？

嘗試解釋：為什么分子是1，分母越大時分數就越小了？（比如，一張紙，平均分的份數越多，每一份就越小；一塊蛋糕，吃的人越多，每人分到的就越小；一間教室，學生越多，每個人的空間就越小。）

【鄭毓信教授說，真正的數學學習都存在著一個對教師組織下所學內容的“理解”或“消化”過程。這里的“理解”并非只是指弄清楚教師的“本意”，而首先是指學習者必須依據自身已有的知識和經驗去對教師的話語做出“解釋”，使其對他們自身來說是有意義的；這里的“消化”則是學生把新的學習內容納入已有的認知框架，使其成為他們整個結構的有機組成部分。對三年級學生而言，圖像、直觀、生活化的理解是數學學習的重要支撐， 和 的學習與 因學材（一張長方形紙）相同而連成一體，因思路相同而順理成“章”，簡約，凝練，豐富而深刻。】

三、深化，鞏固

1.用分數表示涂色部分。

動態呈現每個圖形（如上圖）從整體到均分再到涂色的過程，讓學生邊數份數邊寫分數。最后一幅圖從不平均分為2份→添加兩根虛線引申出 。

2.尋找聯系。

回憶華羅庚爺爺的話——“數起源于數”，分數和“數”（shǔ）有關聯嗎？剛才寫分數的過程中，你們數了嗎，數了什么？（數的是份數——平均分的份數、涂色的份數）

因為份數是平均分后產生的，所以也有人說，分數就是先“分”再“數”的數。

3.整體建構。

（1）觀看月餅圖。先把1個月餅疊加，1個、3個、4個，得到更多整數。再把1個月餅平均分為2份、4份、6份，用分數表示其中的1份。

（2）觀察米尺圖。從1米到3米，得到整數。如果想得到分數，怎么辦呢？均分1米，分別得到 、 、 這三個分數，并比較大小。

（4）發揮想象，嘗試為分數“ ”畫一幅圖。學生畫完后交流。教師出示“冰山一角”圖（如右圖），介紹：冰山露在海面上的部分通常只占整座冰山的 。

【一個“數”（shǔ）字，將分數和整數緊密地聯系了起來，將動作、過程、變化、意義等串聯起來。學生感悟到的是數學的整體、聯系、邏輯，而不是孤獨的分數。此外，分數和整數一樣，每一個分數都具有模型意義，即每個分數都有豐富多樣的表現形式，讓學生嘗試為 畫圖，可以將這種豐富多樣性展示出來，凸顯模型思想。盡管學生想到的大多是均分一個長方形、一個圓形、一根線段等，“冰山一角”為均分一個整體的單位“1”（小學階段第二次認識分數）做了很好的滲透。使得整節課前伸后展，大氣又開闊，數學又兒童。】

四、總結，激疑

讓學生回顧本節課，思考：最大的收獲是什么？最棒的表現是什么？還對分數的哪些方面感興趣？簡要介紹分數的歷史，結束全課。

【下課不是畫句號。讓學生總結收獲，盤點得失，肯定自我，增強自信，帶著更多的疑問走出課堂，走向課后的自主探究，是課堂教學的大境界。也只有這樣，課堂教學的三維目標才能得到有效的落實。】

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗小學）

思考：這三種表示“二分之一”的方法，看起來并不相同，共同點是什么？

再次回顧板書：平均分→共2份→其中的1份。

（3）寫一寫。剛才我們說了“二分之一”，也動手做了“二分之一”，但是“二分之一”這個分數怎么寫呢？你能創造出一種寫法，把我們剛才說的、做的這些注意點都包含進去嗎？

學生集體創造寫法，然后交流不同的寫法是如何體現“平均分”“共2份”“其中的1份”的，最后統一寫法。介紹分數線、分子、分母。再在紙上規范地寫下“ ”。

（4）拓一拓。表示這張紙的二分之一，屏幕上的三種方法其實是有聯系的，也可以看成一種。動畫演示三根折痕相交的中心點，然后一根橫線繞著中心點旋轉，變化成左右對折、上下對折、對角線斜著折、任意角度梯形分割等多種平均分成2份的圖示。

凸顯：只要平均分成2份，其中的1份就是它的 。

【 雖然是一個分數，表示分的“結果”，但每個分數都是“過程”和“結果”的統一。結果的意義就在過程之中。因此，本環節注重讓學生聯系日常生活經驗，嘗試著用自己的語言來講述 的產生過程，從生活的、直觀的、樸素的理解中提取分數的本質內涵。在學生對分數的感覺逐步加強后，再通過創造寫法來凸顯分數的本質，使得分數的形式特征和內在意義實現了有機統一，有因有果，有理有據，形神兼備，形象融合抽象，感性伴著理性，教學的過程就豐滿了，學生的認識也更加清晰了。】

2.聯想“ ”。

觀看老師操作“左右對折”產生 后，再對折一次。打開后數一數，平均分成了幾份？其中的1份是多少？為什么？

指明：平均分，共4份，其中的1份。

四分之一怎么寫就能把這些意思都包含進去呢？試著寫一寫。

每個數都有大小，分數也不例外，對照兩個分數的圖形（見下左圖），說一說大小關系。

3.類推“ ”。

將長方形紙對折三次，其中的1份可以用多少來表示？（屏幕顯示圖形，并寫上分數）

對照表示 和 的圖形（見上右圖），說一說大小關系。你還能想出一個比 小的分數嗎？

嘗試解釋：為什么分子是1，分母越大時分數就越小了？（比如，一張紙，平均分的份數越多，每一份就越小；一塊蛋糕，吃的人越多，每人分到的就越小；一間教室，學生越多，每個人的空間就越小。）

【鄭毓信教授說，真正的數學學習都存在著一個對教師組織下所學內容的“理解”或“消化”過程。這里的“理解”并非只是指弄清楚教師的“本意”，而首先是指學習者必須依據自身已有的知識和經驗去對教師的話語做出“解釋”，使其對他們自身來說是有意義的；這里的“消化”則是學生把新的學習內容納入已有的認知框架，使其成為他們整個結構的有機組成部分。對三年級學生而言，圖像、直觀、生活化的理解是數學學習的重要支撐， 和 的學習與 因學材（一張長方形紙）相同而連成一體，因思路相同而順理成“章”，簡約，凝練，豐富而深刻。】

三、深化，鞏固

1.用分數表示涂色部分。

動態呈現每個圖形（如上圖）從整體到均分再到涂色的過程，讓學生邊數份數邊寫分數。最后一幅圖從不平均分為2份→添加兩根虛線引申出 。

2.尋找聯系。

回憶華羅庚爺爺的話——“數起源于數”，分數和“數”（shǔ）有關聯嗎？剛才寫分數的過程中，你們數了嗎，數了什么？（數的是份數——平均分的份數、涂色的份數）

因為份數是平均分后產生的，所以也有人說，分數就是先“分”再“數”的數。

3.整體建構。

（1）觀看月餅圖。先把1個月餅疊加，1個、3個、4個，得到更多整數。再把1個月餅平均分為2份、4份、6份，用分數表示其中的1份。

（2）觀察米尺圖。從1米到3米，得到整數。如果想得到分數，怎么辦呢？均分1米，分別得到 、 、 這三個分數，并比較大小。

（4）發揮想象，嘗試為分數“ ”畫一幅圖。學生畫完后交流。教師出示“冰山一角”圖（如右圖），介紹：冰山露在海面上的部分通常只占整座冰山的 。

【一個“數”（shǔ）字，將分數和整數緊密地聯系了起來，將動作、過程、變化、意義等串聯起來。學生感悟到的是數學的整體、聯系、邏輯，而不是孤獨的分數。此外，分數和整數一樣，每一個分數都具有模型意義，即每個分數都有豐富多樣的表現形式，讓學生嘗試為 畫圖，可以將這種豐富多樣性展示出來，凸顯模型思想。盡管學生想到的大多是均分一個長方形、一個圓形、一根線段等，“冰山一角”為均分一個整體的單位“1”（小學階段第二次認識分數）做了很好的滲透。使得整節課前伸后展，大氣又開闊，數學又兒童。】

四、總結，激疑

讓學生回顧本節課，思考：最大的收獲是什么？最棒的表現是什么？還對分數的哪些方面感興趣？簡要介紹分數的歷史，結束全課。

【下課不是畫句號。讓學生總結收獲，盤點得失，肯定自我，增強自信，帶著更多的疑問走出課堂，走向課后的自主探究，是課堂教學的大境界。也只有這樣，課堂教學的三維目標才能得到有效的落實。】

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗小學）

思考：這三種表示“二分之一”的方法，看起來并不相同，共同點是什么？

再次回顧板書：平均分→共2份→其中的1份。

（3）寫一寫。剛才我們說了“二分之一”，也動手做了“二分之一”，但是“二分之一”這個分數怎么寫呢？你能創造出一種寫法，把我們剛才說的、做的這些注意點都包含進去嗎？

學生集體創造寫法，然后交流不同的寫法是如何體現“平均分”“共2份”“其中的1份”的，最后統一寫法。介紹分數線、分子、分母。再在紙上規范地寫下“ ”。

（4）拓一拓。表示這張紙的二分之一，屏幕上的三種方法其實是有聯系的，也可以看成一種。動畫演示三根折痕相交的中心點，然后一根橫線繞著中心點旋轉，變化成左右對折、上下對折、對角線斜著折、任意角度梯形分割等多種平均分成2份的圖示。

凸顯：只要平均分成2份，其中的1份就是它的 。

【 雖然是一個分數，表示分的“結果”，但每個分數都是“過程”和“結果”的統一。結果的意義就在過程之中。因此，本環節注重讓學生聯系日常生活經驗，嘗試著用自己的語言來講述 的產生過程，從生活的、直觀的、樸素的理解中提取分數的本質內涵。在學生對分數的感覺逐步加強后，再通過創造寫法來凸顯分數的本質，使得分數的形式特征和內在意義實現了有機統一，有因有果，有理有據，形神兼備，形象融合抽象，感性伴著理性，教學的過程就豐滿了，學生的認識也更加清晰了。】

2.聯想“ ”。

觀看老師操作“左右對折”產生 后，再對折一次。打開后數一數，平均分成了幾份？其中的1份是多少？為什么？

指明：平均分，共4份，其中的1份。

四分之一怎么寫就能把這些意思都包含進去呢？試著寫一寫。

每個數都有大小，分數也不例外，對照兩個分數的圖形（見下左圖），說一說大小關系。

3.類推“ ”。

將長方形紙對折三次，其中的1份可以用多少來表示？（屏幕顯示圖形，并寫上分數）

對照表示 和 的圖形（見上右圖），說一說大小關系。你還能想出一個比 小的分數嗎？

嘗試解釋：為什么分子是1，分母越大時分數就越小了？（比如，一張紙，平均分的份數越多，每一份就越小；一塊蛋糕，吃的人越多，每人分到的就越小；一間教室，學生越多，每個人的空間就越小。）

【鄭毓信教授說，真正的數學學習都存在著一個對教師組織下所學內容的“理解”或“消化”過程。這里的“理解”并非只是指弄清楚教師的“本意”，而首先是指學習者必須依據自身已有的知識和經驗去對教師的話語做出“解釋”，使其對他們自身來說是有意義的；這里的“消化”則是學生把新的學習內容納入已有的認知框架，使其成為他們整個結構的有機組成部分。對三年級學生而言，圖像、直觀、生活化的理解是數學學習的重要支撐， 和 的學習與 因學材（一張長方形紙）相同而連成一體，因思路相同而順理成“章”，簡約，凝練，豐富而深刻。】

三、深化，鞏固

1.用分數表示涂色部分。

動態呈現每個圖形（如上圖）從整體到均分再到涂色的過程，讓學生邊數份數邊寫分數。最后一幅圖從不平均分為2份→添加兩根虛線引申出 。

2.尋找聯系。

回憶華羅庚爺爺的話——“數起源于數”，分數和“數”（shǔ）有關聯嗎？剛才寫分數的過程中，你們數了嗎，數了什么？（數的是份數——平均分的份數、涂色的份數）

因為份數是平均分后產生的，所以也有人說，分數就是先“分”再“數”的數。

3.整體建構。

（1）觀看月餅圖。先把1個月餅疊加，1個、3個、4個，得到更多整數。再把1個月餅平均分為2份、4份、6份，用分數表示其中的1份。

（2）觀察米尺圖。從1米到3米，得到整數。如果想得到分數，怎么辦呢？均分1米，分別得到 、 、 這三個分數，并比較大小。

（4）發揮想象，嘗試為分數“ ”畫一幅圖。學生畫完后交流。教師出示“冰山一角”圖（如右圖），介紹：冰山露在海面上的部分通常只占整座冰山的 。

【一個“數”（shǔ）字，將分數和整數緊密地聯系了起來，將動作、過程、變化、意義等串聯起來。學生感悟到的是數學的整體、聯系、邏輯，而不是孤獨的分數。此外，分數和整數一樣，每一個分數都具有模型意義，即每個分數都有豐富多樣的表現形式，讓學生嘗試為 畫圖，可以將這種豐富多樣性展示出來，凸顯模型思想。盡管學生想到的大多是均分一個長方形、一個圓形、一根線段等，“冰山一角”為均分一個整體的單位“1”（小學階段第二次認識分數）做了很好的滲透。使得整節課前伸后展，大氣又開闊，數學又兒童。】

四、總結，激疑

讓學生回顧本節課，思考：最大的收獲是什么？最棒的表現是什么？還對分數的哪些方面感興趣？簡要介紹分數的歷史，結束全課。

【下課不是畫句號。讓學生總結收獲，盤點得失，肯定自我，增強自信，帶著更多的疑問走出課堂，走向課后的自主探究，是課堂教學的大境界。也只有這樣，課堂教學的三維目標才能得到有效的落實。】

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗小學）