淺析天體運動中的四個模型

利用萬有引力定律分析天體的運動是高中物理的核心內(nèi)容，也是高考的熱點、重點。縱觀各省市歷年考題可知，有關(guān)天體運動的考查是必有的，考查的角度、形式多種多樣。由此對天體運行的教與學(xué)自然成為師生共同關(guān)注的焦點。

天體運動核心模型高中物理利用萬有引力定律分析天體的運動是高中物理的核心內(nèi)容，也是高考的熱點、重點。縱觀各省市歷年考題可知，有關(guān)天體運動的考查是必有的，考查的角度、形式多種多樣。由此對天體運行的教與學(xué)自然成為師生共同關(guān)注的焦點。

本人通過多年的教學(xué)實際，通過對大量學(xué)生學(xué)習(xí)實情的調(diào)研，總結(jié)歸納出了天體問題的四個模型，可以說構(gòu)建四個模型便可透天體。

第一個模型是環(huán)繞模型如圖。把天體的運動看做勻速圓周運動，萬有引力提供了向心力。因此該部分的核心方程為

F引=GMm1r2=GMm1（R+h）2=mg′=ma向=mv21r=mω2r=4π2mr1T2；

在中心天體表面上，且忽略中心天體的自轉(zhuǎn)時有F引=GMm1R2=mg；

對中心天體有M=ρ4πR313。其中M、R、ρ、g表示中心天體的質(zhì)量、半徑、密度、中心天體表面上的重力加速度，關(guān)于中心天體的這些量都可以成為被求的量；其中m、r、v、T、ω、h表示環(huán)繞天體的質(zhì)量、軌道半徑、線速度、周期、角速度、環(huán)繞天體距中心天體表面的高度，環(huán)繞天體的質(zhì)量m是無法分析，而r、v、T、ω、h都可成為被求量，r是核心的環(huán)繞量。分析該類問題時，畫好環(huán)繞模型，明確已知的環(huán)繞天體量及中心天體量，明確要求的是環(huán)繞天體量還是中心天體的量，把環(huán)繞模型作為構(gòu)思的載體，便可快速選取出相應(yīng)的公式求之。

第二個模型是變軌道模型如圖。1、3軌道為勻速圓周運動的低軌道和較高軌道，2軌道是橢圓軌道，A、B為軌道的相切點。在1軌道上萬有引力恰好全部提供向心力，做勻速圓周運動。在A點突然加速，機械能突然增大，萬有引力小于所需的向心力，便做離心運動由A點運動到B點；由A點到B點的過程中，動能減小，重力勢能增大，機械能不變，這便是天體由低軌道向高軌道躍遷的規(guī)律；在B點萬有引力大于所需的向心力，便做向心運動由B點運動到A點，該過程動能增大，重力勢能減小，機械能不變，這便是天體由高軌道向低軌道躍遷的規(guī)律；由此環(huán)繞天體的軌跡便是一個橢圓軌道如圖2。若在B點突然加速，使所需的向心力恰好等于萬有引力，則環(huán)繞天體便在軌道3上做勻速圓周運動。以上便是由較低軌道1變軌為較高軌道3的過程，相反若由較高軌道3變軌為較低軌道1，只需在B點、A點恰當減速便可?？v觀1、2、3軌道，它們有這樣的關(guān)系，速度大小關(guān)系為v2A>v1>v3>v2B，能量關(guān)系為E1a2B=a3。其實衛(wèi)星的發(fā)射與回收的過程也遵守以上規(guī)律。遇到變軌道問題，對應(yīng)好變軌道模型，選擇恰當?shù)慕嵌确治雠卸ā?/e2

第三個模型是同步衛(wèi)星模型。如圖地球質(zhì)量為M，半徑為R，赤道地面上的物體1隨地球一起轉(zhuǎn)動；近地衛(wèi)星2環(huán)繞地球勻速圓周運動；同步衛(wèi)星3也做勻速圓周運動，軌道半徑為r，并且相對地面靜止。假設(shè)1、2、3的質(zhì)量都為m，它們雖然都做勻速圓周運動，其規(guī)律既有聯(lián)系又有區(qū)別，可通過對比法理解掌握。對物體1來講，F(xiàn)=GMm1R2>>F向心=mv211R=mω21R=m4π2R1T21，萬有引力遠大于隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力。對近地衛(wèi)星2來講，F(xiàn)=GMm1R2=F向心=mv221R=mω22R=m4π2R1T22，萬有引力全部提供了向心力。對同步衛(wèi)星3來講，F(xiàn)=GMm1r2=F向心=mv231r=mω23r=m4π2r1T23，萬有引力也是全部提供了向心力。對比1、2、3可知它們的向心加速度關(guān)系是a1

例題：關(guān)于“亞洲一號”地球同步通訊衛(wèi)星，下述說法正確的是（）

A.已知它的質(zhì)量是1.24 t，若將它的質(zhì)量增為2.84 t，其同步軌道半徑變?yōu)樵瓉淼?倍

B.它的運行速度為7.9 km/s

C.它可以繞過北京的正上方，所以我國能利用其進行電視轉(zhuǎn)播

D.它距地面的高度約為地球半徑的6倍，所以衛(wèi)星的向心加速度約為其下方地面上物體的重力加速度的1149

解析：所謂地球同步衛(wèi)星是指相對于地面靜止的人造衛(wèi)星，它的周期T=24h.要使衛(wèi)星同步，同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方某一確定高度h.由GMm1（R+h）2=m4π21T2（R+h）得h=314π21GMT2-R=3.6×104km=5.6R，R表示地球半徑。答案選D。

第三個模型是雙星模型如圖。兩天體m1、m2繞著它們連線上的一點轉(zhuǎn)動，它們間的萬有引力提供了各自的向心力，分析它們的規(guī)律是 F=Gm1m21L2=F向心=m1v211R1=mω21R1=m4π2R11T21=m2v221R2=mω22R2=m4π2R21T22。

由此可見在雙星模型中，它們的周期、角速度都相等，質(zhì)量大的天體半徑、線速度都小，質(zhì)量小的天體半徑、線速度都大。

例題：雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動。研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為：

A.n31k2TB.n31kTC.n21kT D.n1kT

解析：由萬有引力提供向心力有Gm1m21L2=m1r1（2π1T）2，Gm1m21L2=m2r2（2π1T）2，又L=r1+r2，M=m1+m2，聯(lián)立以上各式可得T2=4π2L31GM，故當兩恒星總質(zhì)量變?yōu)閗M，兩星間距變?yōu)閚L時，圓周運動的周期T'變?yōu)閚31kT，本題選B。

由以上分析可知，只要把握好天體中的環(huán)繞模型，變軌道模型，同步衛(wèi)星模型，雙星模型這四個經(jīng)典模型，對于天體問題，便可輕松入手，迎刃而解。模型法解題是一種科學(xué)有效的解題方法。