偽譜法在最優(yōu)控制問(wèn)題中的應(yīng)用淺析

王璐

(牡丹江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,黑龍江牡丹江 157000)

偽譜法在最優(yōu)控制問(wèn)題中的應(yīng)用淺析

王璐

(牡丹江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,黑龍江牡丹江 157000)

本文介紹了偽譜法在最優(yōu)控制問(wèn)題中應(yīng)用。該方法是基于正交多項(xiàng)式的偽譜方法,在選取恰當(dāng)?shù)呐渲命c(diǎn)后,將連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng),然后利用非線性規(guī)劃理論進(jìn)行求解,轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是如何選取配置點(diǎn)以及如何構(gòu)造微分方程。

偽譜法 最優(yōu)控制問(wèn)題

最優(yōu)控制問(wèn)題可以追溯到17世紀(jì)，當(dāng)時(shí)約翰伯努利提出了著名的最速降線問(wèn)題。他向同年代的人提出了這樣一個(gè)問(wèn)題，即一個(gè)垂直面上兩點(diǎn)間的一個(gè)物體僅在重力的作用下沿何種路徑下落可以使得下降的時(shí)間最短。之后，多位著名數(shù)學(xué)家，包括戈特弗里德威廉萊布尼茲，馬奎斯，埃塞克牛頓，約翰伯努利，雅各布伯努利等都對(duì)最速降線問(wèn)題提出了解決方案。這些方案建立了最優(yōu)控制理論的雛形。

經(jīng)歷了三百多年的研究探索，最優(yōu)控制領(lǐng)域已經(jīng)取得了諸多的研究成果。包括：1733年由歐拉首次提出的的變分法，后來(lái)該方法以歐拉的名字命名。以及1950年，查理得貝爾曼率先在動(dòng)力學(xué)工程發(fā)現(xiàn)的由哈密爾頓-雅克比-貝爾曼方程式導(dǎo)出的最優(yōu)控制問(wèn)題必要條件。1962年列弗龐特里亞金提出的針對(duì)“ bang-bang”控制問(wèn)題限制條件閉集約束提出的極大值原理。而隨著 20世紀(jì) 50年代計(jì)算機(jī)的發(fā)展，最優(yōu)控制問(wèn)題的解決方法逐漸轉(zhuǎn)向了數(shù)值求解。目前，這類問(wèn)題正吸引著越來(lái)越多的科研工作者的重視，現(xiàn)在以及未來(lái)若干年內(nèi)都將是熱點(diǎn)研究問(wèn)題之一。

現(xiàn)今解決最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值解法在逼近方法和復(fù)雜性上有著很大的不同，這些方法將連續(xù)時(shí)間問(wèn)題離散化為某代數(shù)形式并用所得結(jié)果利用有限維逼近獲得結(jié)果。解決最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值方法主要有以下兩種形式，直接法和間接法。間接法主要是針對(duì)由變分法、龐特里亞金極大值原理獲得的最優(yōu)控制問(wèn)題一階必要條件進(jìn)行探究。該法將必要條件轉(zhuǎn)化為一個(gè)哈密爾頓邊值問(wèn)題( HBVP)，然后獲得最優(yōu)軌跡的數(shù)值解。并發(fā)現(xiàn)該最優(yōu)解就是通過(guò)選擇使性能指標(biāo)最低的極值軌跡。而間接法最大的優(yōu)點(diǎn)就是獲得的解具有很高的精確性并且滿足最優(yōu)控制問(wèn)題一階必要條件。然而，間接法也有以下幾個(gè)缺點(diǎn)。首先， HBVP問(wèn)題的解必須是解析的。其次，間接法是典型的小半徑收斂，恰當(dāng)?shù)某踔颠x擇對(duì)于問(wèn)題的解決非常重要。同時(shí)，間接法需要一個(gè)準(zhǔn)確的對(duì)于協(xié)態(tài)變量的猜測(cè)，而協(xié)態(tài)變量往往沒(méi)有實(shí)際意義，所以難以選取。最后，對(duì)于路徑約束問(wèn)題，得知限制或非限制路徑或可變換結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)知識(shí)也是必要的。 BNDSCO是一種解決乘子邊值問(wèn)題的間接多重打靶法。在直接法中，這個(gè)連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題被離散轉(zhuǎn)化成了一個(gè)有約束條件的非線性規(guī)劃問(wèn)題( NLP)。這個(gè) NLP問(wèn)題可以由 KKT( Karush-Kuhn-Tucker )條件來(lái)獲得解。直接法的優(yōu)點(diǎn)是不用最優(yōu)控制問(wèn)題的一階必要條件，較間接法相比具有較大的收斂半徑，不需要很準(zhǔn)確的初值猜測(cè)，不需要對(duì)協(xié)態(tài)變量的猜測(cè)。重要的是變換結(jié)構(gòu)不需要預(yù)先知道。故而，有較多的應(yīng)用，但缺點(diǎn)是無(wú)法獲得協(xié)態(tài)變量的信息，從而無(wú)法檢驗(yàn)NLP問(wèn)題的解是否真的與原問(wèn)題是等價(jià)的。直接法的種類是非常多的，并且包含了很多不同的方法技術(shù)。兩種常見(jiàn)的離散方法是將最優(yōu)軌線，路徑約束等控制約束參數(shù)化。在控制約束參數(shù)化方法中，將只把控制方程參數(shù)化，用數(shù)值積分來(lái)近似性能指標(biāo)，比如有打靶法和多重打靶法。在控制約束和最優(yōu)軌線參數(shù)化法中，將連續(xù)時(shí)間的控制問(wèn)題離散化，將性能最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值解一直是控制界的難點(diǎn)之一。按照經(jīng)典的最大值原理，最優(yōu)控制問(wèn)題的求解將導(dǎo)致一組微分方程的兩點(diǎn)編制問(wèn)題的計(jì)算。而對(duì)于大規(guī)模的系統(tǒng)而言，數(shù)值計(jì)算如何保證所求000000000000000000解的結(jié)果準(zhǔn)確變得尤為重要，更麻煩的是，如果最優(yōu)控制問(wèn)題存在不等式約束條件，那么數(shù)值計(jì)算變得更為困難。按照經(jīng)典的最大值原理，最優(yōu)控制問(wèn)題的求解將導(dǎo)致一組微分方程的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的計(jì)算。而對(duì)于大規(guī)模的系統(tǒng)而言，數(shù)值計(jì)算如何保證所求解的準(zhǔn)確性變得尤為重要，更麻煩的是，如果最優(yōu)控制問(wèn)題存在不等式約束條件，那么數(shù)值計(jì)算將更為困難。對(duì)于最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值解，許多年來(lái)許多學(xué)者研究如何利用近似方法來(lái)求解，產(chǎn)生了控制向量參數(shù)化法 Chebyshev多項(xiàng)式正交近似法等。

由于控制問(wèn)題在工程中有著廣泛的應(yīng)用，國(guó)內(nèi)外有許多的學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)投身于相應(yīng)的研究中。 Harpold最早為美國(guó)的航天飛機(jī)再入提供方案，在滿足再入走廊的前提下，建立阻力加速度相對(duì)于速度的標(biāo)稱軌跡，通過(guò)對(duì)待飛航程的預(yù)測(cè)和優(yōu)化實(shí)現(xiàn)最優(yōu)再入軌跡?；贖arpold思想， Axel等人做出改進(jìn)，建立阻力加速度相對(duì)于能量的標(biāo)稱軌跡。我國(guó)的陳士櫓院士及其他一些學(xué)者，都曾求解過(guò)以最小加熱量為最優(yōu)性能指標(biāo)的再入軌跡。 Shen提出更為實(shí)用的機(jī)載實(shí)時(shí)計(jì)算再入軌跡的方法。 Betts和Tang等學(xué)者利用直接法分別求解了有約束條件下的軌跡優(yōu)化問(wèn)題和星際轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問(wèn)題。

偽譜方法在最優(yōu)控制問(wèn)題上的最早應(yīng)用是1980年。1998年，美國(guó)海軍研究生院的學(xué)者 Fahroo和Qi等人對(duì)由 Vlassenbroeck和Elnagar引入最優(yōu)控制求解領(lǐng)域的偽譜方法( PseudoSpectral Method)進(jìn)行了大量的研究和完善。研究表明，偽譜方法對(duì)于求解最優(yōu)控制問(wèn)題具有良好的收斂性和較低的初值敏感度。隨著應(yīng)用領(lǐng)域的一系列成功和多種新型偽譜方法的提出。偽譜方法成為最優(yōu)控制數(shù)值求解領(lǐng)域最為活躍的分支。近年來(lái)許多學(xué)者有對(duì)該方法進(jìn)行研究，例如，勒讓德( Legendre)偽譜法等。而目前較為通用的是 Gauss偽譜法， Gauss偽譜法是偽譜法的一種變化形式，是求解非線性優(yōu)化控制的一種新方法，首先由 Elnagar等引入，并由 Ross等構(gòu)造完成以求解優(yōu)化控制問(wèn)題。 Benson從理論上證明了高斯偽譜法的 KKT條件準(zhǔn)確等于最優(yōu)一階必要條件的離散形式，因而保證了所求解與間接法所求解的一致，NLP問(wèn)題應(yīng)用 KKT乘子向量得到的協(xié)態(tài)變量是準(zhǔn)確的，并且狀態(tài)變量和控制變量的誤差隨著離散點(diǎn)的增多而迅速減小。高斯偽譜法( Gauss Pseudo spectral Method)是一種正交計(jì)算方法，它的配置點(diǎn)是勒讓德-高斯( Legendre-Gauss，簡(jiǎn)稱LG)點(diǎn)，這種方法將狀態(tài)演化和控制規(guī)律通過(guò)用多項(xiàng)式參數(shù)化，微分方程用正交多項(xiàng)式近似。高斯偽譜法是一種基于譜方法的算法，它比其他方法具有更快的收斂速率，他最初使用 Chebyshev多項(xiàng)式，高斯偽譜法與其它偽譜法不同之處在于動(dòng)態(tài)約束不在邊界點(diǎn)配置。

課題名稱：高職高專創(chuàng)新型人才培養(yǎng)質(zhì)量評(píng)估體系研究，課題類別：黑龍江省職業(yè)教育學(xué)會(huì)“十二五”規(guī)劃課題，課題編號(hào)：GG0470。