問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)法在數(shù)值分析中的應(yīng)用與研究——以插值法為例

梅 芳 王巧玲 曾春華

（江西農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330045）

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)法是基于問(wèn)題的教學(xué)方法，一種建立在構(gòu)建主義教學(xué)理論基礎(chǔ)上的教學(xué)法，它要求“問(wèn)題”的目標(biāo)性和教學(xué)情景的創(chuàng)建，學(xué)生在老師的幫助下，緊緊圍繞共同的任務(wù)，在強(qiáng)烈的真實(shí)問(wèn)題動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)下，通過(guò)對(duì)資源的積極主動(dòng)應(yīng)用，進(jìn)行自主探索和互動(dòng)協(xié)作的學(xué)習(xí)。

目前國(guó)內(nèi)大學(xué)《數(shù)值分析》課程的教學(xué)改革起步晚，注重純理論教學(xué)。教學(xué)過(guò)程中存在的不足：數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)嚴(yán)密但是教學(xué)枯燥，學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏興趣。國(guó)外《數(shù)值分析》課程的改革走在前沿，美國(guó)工程院院士Cleve Moler在20世紀(jì)70年代提出在學(xué)習(xí)方式上,將教師引導(dǎo)與學(xué)生自主探究、合作交流有機(jī)結(jié)合起來(lái)。注意吸收計(jì)算數(shù)學(xué)中算法研究的最新理論研究成果，讓學(xué)生在真實(shí)的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下，帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)含其中的算法原理,并能運(yùn)用所學(xué)理論分析利用數(shù)學(xué)軟件解決現(xiàn)實(shí)生活中的科學(xué)問(wèn)題。但對(duì)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的解決措施的探討深入不夠。

本文以數(shù)值分析課程的插值法為例，介紹問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)法在整個(gè)章節(jié)課堂教學(xué)中的研究與應(yīng)用。

1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提出問(wèn)題

函數(shù)是描述自然界客觀規(guī)律的重要工具，實(shí)際應(yīng)用中許多函數(shù)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者觀測(cè)得到的，其形式是一張函數(shù)表，作一條曲線，其類型（代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)……）是事先人為給定的，該曲線經(jīng)過(guò)所有點(diǎn)(xi,yi),i=0,1,2,…,n，這就是所謂的插值問(wèn)題。

據(jù)資料記載，某地某年間隔30天的日落時(shí)間如下：

5月1日 5月31日 6月30日日出 4:51 4:17 4:16日落 19:04 19:38 19:50

根據(jù)上述資料，計(jì)算這一年中哪一天白天“最長(zhǎng)”。

2 引導(dǎo)學(xué)生討論交流，解決問(wèn)題

讓學(xué)生查找資料，分組討論，了解插值法的產(chǎn)生背景，中外數(shù)學(xué)家在此問(wèn)題上研究的進(jìn)程，這種古老的分析問(wèn)題數(shù)學(xué)方法應(yīng)用在那些課題中？分析關(guān)于多項(xiàng)式插值的理論依據(jù)是什么？提出問(wèn)題對(duì)于函數(shù)y=f(x)是否存在這樣的多項(xiàng)式函數(shù)P(x)能精確的逼近它呢？經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)的推導(dǎo)得到結(jié)論：滿足給定區(qū)間[a,b]上 n+1 個(gè)點(diǎn) a≤x0＜x1＜…＜xn≤b 上的函數(shù)值為y=f(xi)(i=0,1,…,n)的插值多項(xiàng)式P(x)存在且唯一。

然后得到Lagrange插值法的計(jì)算公式：

其中

插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)：

接下來(lái)，按上面的理論知識(shí)，求解提出的問(wèn)題，建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，用二次等距離插值法計(jì)算求解：

5月1日設(shè)為第0天，則x=0

再設(shè)每一天白天的長(zhǎng)度（日出與日落的時(shí)數(shù)）為14小時(shí)13分+T分

故天數(shù)和它的長(zhǎng)度可用(x,T)表示。有記載的三天數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)于(0,0),(30,68),(60,81)

由微積分中的最值原理T'(x)=0,得到x≈52.09，也就是最長(zhǎng)的一天為5月1日以后的第52天，即6月22日，T=83分，這一天日出與日落之間的時(shí)數(shù)為14小時(shí)13分+83分=15小時(shí)36分。與每年的夏至節(jié)氣日期相吻合。

然后拓展數(shù)值分析插值法數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，計(jì)算一年中的24節(jié)氣所在的具體日期。

3 解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步了解插值法在理論和實(shí)踐上發(fā)展，應(yīng)用的廣泛性，提出新問(wèn)題和知識(shí)延拓

Lagrange插值公式結(jié)構(gòu)緊湊，思路清晰，程序編制容易，但是增減節(jié)點(diǎn)時(shí)，計(jì)算要全部重新計(jì)算，很不方便，增加計(jì)算量，我們希望在增加新的節(jié)點(diǎn)時(shí)，原先計(jì)算的結(jié)果對(duì)后來(lái)的計(jì)算過(guò)程仍然有用，那如何改進(jìn)？于是我們得到Newton插值多項(xiàng)式

其中 ωn+1(x)由（5）式定義。

插值多項(xiàng)式要求插值節(jié)點(diǎn)相等，而實(shí)際問(wèn)題中還經(jīng)常要求節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值相等，甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等，于是課題條件改變了，我們討論新的解決問(wèn)題的方法Hermite插值法。這類型的一般問(wèn)題顯然會(huì)具有些令人感興趣的困難，在稱為伯格霍夫插值的專題中奉獻(xiàn)了大量的近期研究文獻(xiàn)，學(xué)生可以查閱。

其它的插值法，早期的板材曲線切割時(shí)，常常把富有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條（樣條）固定在樣點(diǎn)上，比方說(shuō)航空造船等工程設(shè)計(jì)的需要，要求樣條曲線二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，三次樣條函數(shù)插值是被認(rèn)為一種有效的數(shù)學(xué)工具，并且學(xué)生將看到，插值法的算法有很多種，針對(duì)問(wèn)題選擇方法十分關(guān)鍵，正確選擇算法的前提是對(duì)方法的理解、分析、評(píng)價(jià)和鑒賞。

4 歸納解決問(wèn)題中的知識(shí)點(diǎn)，強(qiáng)化系統(tǒng)認(rèn)知能力，完善問(wèn)題的結(jié)論，總結(jié)規(guī)律，提出更深一步的問(wèn)題

插值法是一個(gè)古老而實(shí)用的方法，作為逼近函數(shù)的構(gòu)造方法，是數(shù)值微積分，函數(shù)逼近，微分方程數(shù)值解的基礎(chǔ)。因?yàn)楦叽尾逯档腞unge現(xiàn)象，隨著信息量的增加，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與直觀的想象不吻合，它也是數(shù)值計(jì)算研究中值得高度重視的一類現(xiàn)象，也就是說(shuō)Lagrange插值多項(xiàng)式的次數(shù)不可能無(wú)限制的增大，所以它沒(méi)有實(shí)用性，采用分段低次插值，特別是三次樣條插值，具有良好的收斂性與穩(wěn)定性，理論上和應(yīng)用上意義重要，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有重要應(yīng)用。

數(shù)值分析是研究用數(shù)學(xué)方法處理信息的學(xué)科，僅僅是實(shí)用信息量大，如果使用方法不當(dāng)，也不能保證所得結(jié)果的正確性，在教學(xué)過(guò)程中提出一種知識(shí)建模化的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法，把學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中感興趣的相關(guān)問(wèn)題，引入數(shù)值分析算法的教學(xué)之中，將問(wèn)題驅(qū)動(dòng)與數(shù)值分析的各種算法技術(shù)相結(jié)合，加深對(duì)《數(shù)值分析》這門課程的有關(guān)算法和結(jié)論的理解，激發(fā)學(xué)生積極思考和避免一些常犯易犯的錯(cuò)誤，提出一種實(shí)用有效的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，讓數(shù)值分析的學(xué)習(xí)更高效。

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