問題驅動式教學法在數值分析中的應用與研究——以插值法為例

梅 芳 王巧玲 曾春華

（江西農業大學 理學院，江西 南昌 330045）

問題驅動式教學法是基于問題的教學方法，一種建立在構建主義教學理論基礎上的教學法，它要求“問題”的目標性和教學情景的創建，學生在老師的幫助下，緊緊圍繞共同的任務，在強烈的真實問題動機的驅動下，通過對資源的積極主動應用，進行自主探索和互動協作的學習。

目前國內大學《數值分析》課程的教學改革起步晚，注重純理論教學。教學過程中存在的不足：數學理論推導嚴密但是教學枯燥，學生學習缺乏興趣。國外《數值分析》課程的改革走在前沿，美國工程院院士Cleve Moler在20世紀70年代提出在學習方式上,將教師引導與學生自主探究、合作交流有機結合起來。注意吸收計算數學中算法研究的最新理論研究成果，讓學生在真實的問題驅動下，帶著問題去學習領會蘊含其中的算法原理,并能運用所學理論分析利用數學軟件解決現實生活中的科學問題。但對驅動問題的解決措施的探討深入不夠。

本文以數值分析課程的插值法為例，介紹問題驅動式教學法在整個章節課堂教學中的研究與應用。

1 創設問題情境，提出問題

函數是描述自然界客觀規律的重要工具，實際應用中許多函數是通過實驗或者觀測得到的，其形式是一張函數表，作一條曲線，其類型（代數多項式函數，三角函數，指數函數……）是事先人為給定的，該曲線經過所有點(xi,yi),i=0,1,2,…,n，這就是所謂的插值問題。

據資料記載，某地某年間隔30天的日落時間如下：

5月1日 5月31日 6月30日日出 4:51 4:17 4:16日落 19:04 19:38 19:50

根據上述資料，計算這一年中哪一天白天“最長”。

2 引導學生討論交流，解決問題

讓學生查找資料，分組討論，了解插值法的產生背景，中外數學家在此問題上研究的進程，這種古老的分析問題數學方法應用在那些課題中？分析關于多項式插值的理論依據是什么？提出問題對于函數y=f(x)是否存在這樣的多項式函數P(x)能精確的逼近它呢？經過數學的推導得到結論：滿足給定區間[a,b]上 n+1 個點 a≤x0＜x1＜…＜xn≤b 上的函數值為y=f(xi)(i=0,1,…,n)的插值多項式P(x)存在且唯一。

然后得到Lagrange插值法的計算公式：

其中

插值余項與誤差估計：

接下來，按上面的理論知識，求解提出的問題，建立一個簡單的數學模型，用二次等距離插值法計算求解：

5月1日設為第0天，則x=0

再設每一天白天的長度（日出與日落的時數）為14小時13分+T分

故天數和它的長度可用(x,T)表示。有記載的三天數據對應于(0,0),(30,68),(60,81)

由微積分中的最值原理T'(x)=0,得到x≈52.09，也就是最長的一天為5月1日以后的第52天，即6月22日，T=83分，這一天日出與日落之間的時數為14小時13分+83分=15小時36分。與每年的夏至節氣日期相吻合。

然后拓展數值分析插值法數學實驗，計算一年中的24節氣所在的具體日期。

3 解決問題的基礎上，進一步了解插值法在理論和實踐上發展，應用的廣泛性，提出新問題和知識延拓

Lagrange插值公式結構緊湊，思路清晰，程序編制容易，但是增減節點時，計算要全部重新計算，很不方便，增加計算量，我們希望在增加新的節點時，原先計算的結果對后來的計算過程仍然有用，那如何改進？于是我們得到Newton插值多項式

其中 ωn+1(x)由（5）式定義。

插值多項式要求插值節點相等，而實際問題中還經常要求節點上的導數值相等，甚至高階導數值也相等，于是課題條件改變了，我們討論新的解決問題的方法Hermite插值法。這類型的一般問題顯然會具有些令人感興趣的困難，在稱為伯格霍夫插值的專題中奉獻了大量的近期研究文獻，學生可以查閱。

其它的插值法，早期的板材曲線切割時，常常把富有彈性的細長木條（樣條）固定在樣點上，比方說航空造船等工程設計的需要，要求樣條曲線二階導數連續，三次樣條函數插值是被認為一種有效的數學工具，并且學生將看到，插值法的算法有很多種，針對問題選擇方法十分關鍵，正確選擇算法的前提是對方法的理解、分析、評價和鑒賞。

4 歸納解決問題中的知識點，強化系統認知能力，完善問題的結論，總結規律，提出更深一步的問題

插值法是一個古老而實用的方法，作為逼近函數的構造方法，是數值微積分，函數逼近，微分方程數值解的基礎。因為高次插值的Runge現象，隨著信息量的增加，實驗的結果與直觀的想象不吻合，它也是數值計算研究中值得高度重視的一類現象，也就是說Lagrange插值多項式的次數不可能無限制的增大，所以它沒有實用性，采用分段低次插值，特別是三次樣條插值，具有良好的收斂性與穩定性，理論上和應用上意義重要，在計算機圖形學中有重要應用。

數值分析是研究用數學方法處理信息的學科，僅僅是實用信息量大，如果使用方法不當，也不能保證所得結果的正確性，在教學過程中提出一種知識建模化的問題驅動式教學方法，把學生在現實生活中感興趣的相關問題，引入數值分析算法的教學之中，將問題驅動與數值分析的各種算法技術相結合，加深對《數值分析》這門課程的有關算法和結論的理解，激發學生積極思考和避免一些常犯易犯的錯誤，提出一種實用有效的問題驅動的教學內容結構設計，打破傳統的教學模式，讓數值分析的學習更高效。

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