關于《常微分方程》課程教學模式的探究

田春紅

（南京航空航天大學金城學院，江蘇 南京 210016）

常微分方程（Ordinary Differential Equations）,是本科數學專業的核心基礎課程，是學習泛函、偏微、微分幾何等課程的基礎，是數學在工程技術中發揮作用的拳頭之一。內容包括：微分方程建模、初等積分法、線性系統、常系數線性系統、若干振動問題、一般理論、定性理論初步。

1 教學模式的合理安排

微分方程是一門基礎課，教材[1]中的內容大多是一些以理論分析和理論推導為主的純數學知識，但是，如果就把微分方程看成一門只講基礎知識和方程解法的純理論性課程，教學效果就比較差。微分方程都有一定的實際背景和實際應用，因此，我們要結合新的教學實際，努力改革教學模式，不斷提高教學質量。這里提出“基礎+提高+應用”三位一體的教學模式。

“基礎”是指抓好基本理論和基本技能（解題技巧）的教學工作。理論教學必須有一定的高度和深度。

“提高”包括三個方面。一是習題課教學，通過習題課來消化理解并加深理論知識和基本技能，從而達到提升理論水平的效果。二是課外答疑。通過答疑輔導，來掃除學生學習中的障礙。三是抓好兩頭，促進中間。就不同層次進行分類指導，特別是要給學習成績比較突出的同學留出學習空間，而給學習相對薄弱的同學及時補習，達到共同提高的目的。

“應用”是指盡可能在每一部分的引入中，以切實可行的實際問題為背景引導出所需要的微分方程，讓學生親身體會方程的來源。同時，結合數學建模，在教學過程中適當加入模型分析，利用教學軟件，進行數值模擬。一方面可以提高學生的學習興趣，避免枯燥地講授理論和繁雜的數學計算；另一方面還可以通過應用加深對理論知識的理解。

2 教學內容的合理安排

課本中只有教學的基本內容，教師可根據學生的實際情況和教學大綱的要求，特別是按照課程教學模式的要求，對教學內容進行合理安排。以王高雄等主編《常微分方程》（高等教育出版社）為例。

首先，在教學內容方面，加強構造積分因子技巧的訓練并將計算首次積分同計算Hamilton能量函數以及構造Lyapunov函數的需要聯系在一起；加強常數變易法和微分不等式的內容并與進一步學習非線性微分方程的漸近性態聯系在一起；加強Euler指數函數法和特征理論并與微分方程平衡點分類聯系在一起;加強Picard逼近的思想并與微分方程數值解法以及動力系統中的迭代行為聯系在一起。這四個聯系象四條線索一樣把整個常微分方程的課程內容串在一起，形成一個有機的整體；

其次，在吃透教材的基礎上，對教材的基本內容進行適當處理。例如，對第三章一階微分方程的解的存在定理中的部分定理（如解對初值的連續性和可微性定理）只介紹定性的條件與結論，不作證明，考慮課時的需要，在教學內容上，可以適當的減輕高階方程，Riccati方程教學任務，減輕級數展開法及解析理論的習題量，在初等解法一章中，內容較淺顯且研究方法相近的內容可以壓縮，適當增加常微分方程新的可積類型，差分方程的部分內容和常微分方程的建模內容。

再次，要結合教學模式的設計，合理安排教學模塊。一是理論模塊。這些理論除了第三章一階微分方程的存在定理、第四章線性方程的解的結構理論、第五章線性方程組的解的結構理論以及第六章解的穩定性理論外，有些理論是分散在各章的，應注意及時整理總結。二是解方程模塊，這是理論模塊的落腳點之一，其內容分散在各章中，類型多，內容雜，要及時歸類，并加強訓練。三是應用模塊。除在每章或某一節的引入中通過實際問題建立模型外，要適當補充數學建模的內容，強化微分方程的數學建模作用，人們通過“數學建模”的問題解決來學習數學，應用數學和掌握數學。

最后，要向學生講清微分方程與數學分析、高等代數、解析幾何、偏微分方程和物理學的關系，例如可十分簡潔向學生介紹微分方程的局部理論能平行地搬到微分幾何中的微分流形上去。這既可以理清知識的脈絡，將數學看成一個整體來學習，并在適當的地方向學生介紹當今微分方程的學術研究進展和應用前景，使學生能從宏觀上把握微分方程的地位和作用。同時，在課堂教學的過程中，適當介紹對微分方程有重要貢獻的人物及其他們是如何解決微分方程中的某一問題的[2]，如歐拉、柯西、伯努利、皮卡、李亞普諾夫等等。以此來進一步提高學生的綜合素質和學習興趣。

3 采用多樣化教學手段與教學方式

對數學教學來說，我們贊成以“黑板+粉筆”為主的教學手段。因為數學需要一步步推演，而思維有一種“時滯”現象，這種推演的過程正好是學生思考理解的過程。因此，在教學中“黑板+粉筆”仍舊是無法替代的，這種教學方式靈活性強，可隨時根據學生的情況進行調整，并能增加師生的交互性，其推導的過程能吸引學生的注意力，引導學生思考。由于微分方程與實際問題的聯系比較密切，結合三位一體的教學模式，我們采用了如下做法。

3.1 將教案作成課件

凡問題的引入、背景分析、定理和定義的表述以及例題和習題都用多媒體教學。凡定理的證明和例題講解用黑板。課件要求簡潔直觀、圖文并茂、人機交互，這樣既節省了課時，增大了信息量，又保證了教學質量。

3.2 采用師生互動式教學

每一章節學習完畢，要求學生完成一篇章節內容的總結報告，對于總結較好，想法新穎的學生應及時給以鼓勵，這一過程，不僅加強了學生對新知識的掌握程度，同時也鍛煉了他們的自學能力，特別是對于學習自覺性不是很高的學生有著很好的督促作用，提高了課堂教學的效率。

3.3 教學上注意抓好兩頭

首先是對學有余力的同學開設學術討論班。開設了學生的學術研討班，以老師指導為主，學生與老師互動，并開展大學科研立項，收效很好。其次是對后進生，采取個別輔導和集中補習的方式，讓他們掌握這門課程的基本理論、基本技能和基本方法，及時趕上。這可作為教學方式的必要補充。

4 制定靈活的評價機制

評價機制是學習的向導，客觀的評價機制對于調動學生的學習積極性，挖掘學習潛能具有很強的指導作用。期末考試采用閉卷筆試的形式，占總成績的70%。在考核內容上突出三點：一是對基本概念的掌握程度，以30分填空題（共15個空）來體現。這一部分覆蓋面很廣，有一定的深刻，要求學生切實理解基本概念。二是分析問題與解決問題的綜合能力，以20分至30分大題目來實現。一方面要考查學生數學的推演能力，另一方面要考查學生從實際出發，建立模型，求解問題并解釋問題的能力。三是解方程的技巧。占40分至50分，主要考核學生求解方程的技巧和能力。平時成績占總成績的30%。這包括到課率（10%），上課紀律（5%），上課回答問題情況（5%），作業情況（10%）。多種考核方式的結合，可以激勵學生更加積極地參與課堂練習。

常微分方程教學模式的改革，增強了教師與學生的互動交流，提高了教學效果，也突破固有的，單一的教學模式，把常微分方程的課堂教學內容延伸到課外，更好的適應學生的發展需要。

［1］王高雄,周立銘,等.常微分方程[M].3 版.北京：高等教育出版社，2006.

［2］韓祥臨.數學史簡明教程[M].杭州：浙江教育出版社，2003.