基于卡爾曼濾波的基坑變形監測數據處理及分析

李增強 宋 杰

（1.山東魯能菏澤煤電公司 郭屯煤礦，山東 菏澤 274000；2.山東勝宏礦業有限公司，山東 濟寧 272500）

0 引言

隨著城市建設的高速發展，高層建筑越來越多，基坑工程施工朝著開深、工作面窄、周邊房屋及地下管線近的特點發展。當前，基坑變形監測與設計、施工同被列為深基坑工程質量安全保證的三大基本要素。一方面，基坑監測提供動態信息來指導施工全過程，并可通過基坑監測數據來驗證基坑設計的科學性，為今后降低工程成本、提高基坑安全性提供設計依據。另一方面，基坑監測可及時預報和發現險情的發生以及險情的發展程度，為及時采取安全補救措施提供有力技術依據。所以說，基坑變形監測已成了工程建設必不可少的重要環節，同時也是指導正確施工，避免安全事故發生的必要措施，對保證人們生命財產安全具有重要意義。

1 卡爾曼濾波模型介紹

基坑監測工程是一個數據長期積累的過程，影響觀測量的因素有很多。為了提取主要的影響因素，人們采用各種方法來研究這些變量之間的關聯程度，然后根據相關性的強弱，利用最小二乘回歸得到一個大體反映該段時間內變量之間相互關系的統計模型。這種模型只能從靜態狀況做數學上的描述，不能體現監測體的動態特征如速率、加速率等。卡爾曼濾波就是利用相關因子及因子的變率作為狀態因子，利用初始時刻附近的觀測量，構建動態平差模型，進而解出初始狀態值，然后利用狀態轉移矩陣及觀測方程構建卡爾曼濾波模型，它的濾波過程反映的是最新時刻與下一時刻之間狀態的轉換關系。因此一旦濾波模型構成，它就不再依賴用過的數據。

1.1 卡爾曼濾波模型構建所依賴的基礎方程

（1）狀態方程

觀測方程

式中Xk、Lk、Δk分別為時刻tk的狀態向量、觀測向量和觀測噪聲；Φk,k-1、Ωk-1分別為tk-1至 tk時刻的狀態轉移矩陣和動態噪聲；Гk,k-1、Bk,k-1分別為狀態方程和觀測方程在tk時刻的系數矩陣。

離散線性系統的卡爾曼隨機模型為：

其中，當 k=j時，δkj=1；當 k≠j時，δkj=0。

所謂離散線性系統的卡爾曼濾波，就是利用觀測向量L1，L2，…，Lk由相應的狀態方程及隨機模型求tj時刻狀態向量Xj的最佳估值。通常把 Xj的最佳估值記為

（2）狀態預報方程

（3）預報誤差協方差

（4）增益矩陣

其中，DΔ（k）為觀測噪聲方差陣，一般假定觀測噪聲的方差是一定的，取DΔ（k）為動態平差中的觀測值的中誤差協方差陣。

（5）狀態濾波方程

（6）濾波誤差協方差陣

1.2 卡爾曼濾波法的實現步驟

（1）首先確定濾波的初值X0，包括：狀態向量的初值及其相應的協方差陣Dx（0）、觀測噪聲的協方差陣和動態噪聲的協方差陣DΩ（k）；

（2）建立卡爾曼濾波模型，確定系統狀態轉移矩陣Φk,k-1、動態噪聲矩陣 Гk,k-1和觀測矩陣 Bk，k-1；

（4）輸入一組觀測數據，進行卡爾曼濾波，得出該組觀測值的最佳預測值和方差陣 Dx（k/k）；

（5）再回到（3），進行遞推計算。

1.3 卡爾曼濾波初值的確定

從卡爾曼濾波遞推公式能夠發現，要想確定系統在tk時刻的狀態，首先需要知道系統的初始狀態，即系統的初始值。對于實際問題而言，濾波前系統的初始狀態是不能夠精確得到的，一般只能近似的給定。

濾波的初值包括：初始狀態向量X0及其相應的方差陣Dx（0），動態噪聲的方差陣 DΩ（k）和觀測噪聲的方差陣 DΔ（k）。

對于變形監測的初值問題，可參考文獻[4]確定，在此不再詳述。

2 實例分析

2.1 基坑工程概況

為了滿足XX市環境監控中心的工程施工要求，XX單位于XX年XX月開始對該工程的基坑開挖進行了建筑基坑工程監測，包括沉降觀測和位移觀測。它的四周布設了10個變形監測點，基坑北部已經挖到-5米，南部已經挖到-3米，基坑西邊緊鄰科技館大樓，科技館大樓層高4層。東邊緊鄰鄉村道路。由于觀測數據過多，現將其觀測點中的第10期原始觀測值列見表1。

表1 第10期原始觀測值（僅列出部分數據）

基準點、工作基點及監測點的分布為圖1。

2.2 數據處理

該基坑邊坡監測點共有10個，分別為J1，J2，...，J10，每個點觀測了20期，觀測周期視開挖狀況確定。通過采用卡爾曼濾波對完整采集的數據J3監測點進行濾波，運用建立好的模型依次對以后各期數據進行濾波并進行預測，通過對濾波后的數據進行對比，分析觀測值與濾波值和預報值的區別。

各監測點觀測20期經整理后的數據見表2和表3。

圖1 基準點、工作基點及監測點的分布

表2 監測點觀測20期經整理后的數據（只列出J3點）

對于基坑的變形監測來說，影響變形的因素比較多，比如基坑所在地的工程地質、水文地質和氣候條件以及基坑自身的內部結構，噴灌的混凝土應力、及溫度、降水等。所以在進行沉降數據處理和分析的時候，為了使結果和實際情況更符合，也應該考慮這些影響因子，把它們當成狀態參數的一部分。但是因為上述影響因子的數據難以獲取，所以狀態參數只考慮水平量和速率。由于這個變形體的動態系統是2維的，觀測系統是1維的，所以觀測點的狀態向量就是。對J3點觀測數據進行濾波處理，由前兩期的觀測數據通過初值確定方法可知X0=[170.36053 0.00005 ]T，Dx動態噪聲矩陣觀測噪聲矩陣 DΔ（k）=0.012，時間間隔 Δt，狀態轉移矩陣觀測矩陣B=[10]。使用的方法為用Excel進行矩陣計算，其結果如下表3。

2.3 精度分析

從表2至表4，圖2至圖3中可以看出，卡爾曼濾波值、卡爾曼預報值與原始觀測值數據曲線的變化逐漸趨向接近，卡爾曼濾波值與原始觀測值的最大差值：J3點為0.17mm；單位權方差σ2的估值最大值為0.21，平均為0.13；卡爾曼預報值與原始觀測值的最大差值：J3點為0.26mm。相比濾波值其預報值有一定的誤差，因為其觀測時序較短，影響變形的因子沒有一定的變化規律，所以其預報值精度有所降低。

綜上說明所建立的卡爾曼濾波模型是合理的、可靠的，較好地模擬了動態目標系統的變化規律。從圖表中還可以看到，隨著觀測點數的增加，觀測值與濾波值、預報值的殘差越來越趨近于零，也說明模型隨著點數的增加不斷的進行自身的修正，模型越來越逼近監測系統。

3 總結

本文通過對卡爾曼濾波技術理論的研以及對基坑監測數據進行處理和數據分析，可得出如下幾點結論：

（1）卡爾曼濾波是一種對動態系統進行數據處理的有效方法，可以較好地用來處理變形監測數據，也可實時地獲得監測系統的當前狀態。由于卡爾曼濾波除了可掌握系統的當前狀態外，還可以較好的預測系統的未來，因此，對于基坑變形監測來說，卡爾曼濾波是一個重要的研究方法。

（2）在基坑變形監測中，由于濾波方程是一組遞推計算公式，計算過程是一個不斷預測、修正的過程；在求解時，具有能夠求解出速度參數，修正干擾引起的突變；并且當得到新的觀測數據時，可隨時計算新的濾波值，便于實時處理觀測成果，把參數估計和預報有機地結合來。因此，Kalman濾波特別適合基坑變形監測動態數據的處理。

表3 J3點卡爾曼濾波值與觀測值對比

表4 J3點卡爾曼預報值與觀測值對比

圖2 J3點卡爾曼濾波結果對比

圖3 J3點觀測值與濾波值和預報值的殘差對比

（3）通過文中的分析可以看出，Kalman濾波采用了用殘差反求動態噪聲的協方差，代入濾波方程改正濾波過程中的原動態噪聲協方差，能夠較準確的描述變形體的變形狀況。

［1］陸如華.卡爾曼濾波方法在天氣預報中的應用[J].氣象，1994，2:13-216.

［2］于劍飛.某深基坑工程的監測與分析[J].山西建筑，2001,1:22-23.

［3］黃立人.深基坑施工中的變形監測[J].測繪工程,1997,3:7-13.

［4］陸如華,徐傳玉,張玲,毛衛星.卡爾曼濾波的初值計算方法及其應用[J],應用氣象學報，1997,2:1-8.

［5］王永，等.基于分形的線要素綜合數據處理方法[J].礦山測量，2009,10.

［6］李奕,高雅萍,穆建鋒.自適應卡爾曼濾波在基坑變形監測中的應用[J].陜西國土測繪工程院,2006,10:23-27.

［7］王永，等.利用 Excel繪制誤差橢圓的方法[J].礦山測量，2008,12.