基于卡爾曼濾波的基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理及分析

李增強 宋 杰

（1.山東魯能菏澤煤電公司 郭屯煤礦，山東 菏澤 274000；2.山東勝宏礦業(yè)有限公司，山東 濟寧 272500）

0 引言

隨著城市建設(shè)的高速發(fā)展，高層建筑越來越多，基坑工程施工朝著開深、工作面窄、周邊房屋及地下管線近的特點發(fā)展。當(dāng)前，基坑變形監(jiān)測與設(shè)計、施工同被列為深基坑工程質(zhì)量安全保證的三大基本要素。一方面，基坑監(jiān)測提供動態(tài)信息來指導(dǎo)施工全過程，并可通過基坑監(jiān)測數(shù)據(jù)來驗證基坑設(shè)計的科學(xué)性，為今后降低工程成本、提高基坑安全性提供設(shè)計依據(jù)。另一方面，基坑監(jiān)測可及時預(yù)報和發(fā)現(xiàn)險情的發(fā)生以及險情的發(fā)展程度，為及時采取安全補救措施提供有力技術(shù)依據(jù)。所以說，基坑變形監(jiān)測已成了工程建設(shè)必不可少的重要環(huán)節(jié)，同時也是指導(dǎo)正確施工，避免安全事故發(fā)生的必要措施，對保證人們生命財產(chǎn)安全具有重要意義。

1 卡爾曼濾波模型介紹

基坑監(jiān)測工程是一個數(shù)據(jù)長期積累的過程，影響觀測量的因素有很多。為了提取主要的影響因素，人們采用各種方法來研究這些變量之間的關(guān)聯(lián)程度，然后根據(jù)相關(guān)性的強弱，利用最小二乘回歸得到一個大體反映該段時間內(nèi)變量之間相互關(guān)系的統(tǒng)計模型。這種模型只能從靜態(tài)狀況做數(shù)學(xué)上的描述，不能體現(xiàn)監(jiān)測體的動態(tài)特征如速率、加速率等?？柭鼮V波就是利用相關(guān)因子及因子的變率作為狀態(tài)因子，利用初始時刻附近的觀測量，構(gòu)建動態(tài)平差模型，進而解出初始狀態(tài)值，然后利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及觀測方程構(gòu)建卡爾曼濾波模型，它的濾波過程反映的是最新時刻與下一時刻之間狀態(tài)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。因此一旦濾波模型構(gòu)成，它就不再依賴用過的數(shù)據(jù)。

1.1 卡爾曼濾波模型構(gòu)建所依賴的基礎(chǔ)方程

（1）狀態(tài)方程

觀測方程

式中Xk、Lk、Δk分別為時刻tk的狀態(tài)向量、觀測向量和觀測噪聲；Φk,k-1、Ωk-1分別為tk-1至 tk時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和動態(tài)噪聲；Гk,k-1、Bk,k-1分別為狀態(tài)方程和觀測方程在tk時刻的系數(shù)矩陣。

離散線性系統(tǒng)的卡爾曼隨機模型為：

其中，當(dāng) k=j時，δkj=1；當(dāng) k≠j時，δkj=0。

所謂離散線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波，就是利用觀測向量L1，L2，…，Lk由相應(yīng)的狀態(tài)方程及隨機模型求tj時刻狀態(tài)向量Xj的最佳估值。通常把 Xj的最佳估值記為

（2）狀態(tài)預(yù)報方程

（3）預(yù)報誤差協(xié)方差

（4）增益矩陣

其中，DΔ（k）為觀測噪聲方差陣，一般假定觀測噪聲的方差是一定的，取DΔ（k）為動態(tài)平差中的觀測值的中誤差協(xié)方差陣。

（5）狀態(tài)濾波方程

（6）濾波誤差協(xié)方差陣

1.2 卡爾曼濾波法的實現(xiàn)步驟

（1）首先確定濾波的初值X0，包括：狀態(tài)向量的初值及其相應(yīng)的協(xié)方差陣Dx（0）、觀測噪聲的協(xié)方差陣和動態(tài)噪聲的協(xié)方差陣DΩ（k）；

（2）建立卡爾曼濾波模型，確定系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φk,k-1、動態(tài)噪聲矩陣 Гk,k-1和觀測矩陣 Bk，k-1；

（4）輸入一組觀測數(shù)據(jù)，進行卡爾曼濾波，得出該組觀測值的最佳預(yù)測值和方差陣 Dx（k/k）；

（5）再回到（3），進行遞推計算。

1.3 卡爾曼濾波初值的確定

從卡爾曼濾波遞推公式能夠發(fā)現(xiàn)，要想確定系統(tǒng)在tk時刻的狀態(tài)，首先需要知道系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即系統(tǒng)的初始值。對于實際問題而言，濾波前系統(tǒng)的初始狀態(tài)是不能夠精確得到的，一般只能近似的給定。

濾波的初值包括：初始狀態(tài)向量X0及其相應(yīng)的方差陣Dx（0），動態(tài)噪聲的方差陣 DΩ（k）和觀測噪聲的方差陣 DΔ（k）。

對于變形監(jiān)測的初值問題，可參考文獻[4]確定，在此不再詳述。

2 實例分析

2.1 基坑工程概況

為了滿足XX市環(huán)境監(jiān)控中心的工程施工要求，XX單位于XX年XX月開始對該工程的基坑開挖進行了建筑基坑工程監(jiān)測，包括沉降觀測和位移觀測。它的四周布設(shè)了10個變形監(jiān)測點，基坑北部已經(jīng)挖到-5米，南部已經(jīng)挖到-3米，基坑西邊緊鄰科技館大樓，科技館大樓層高4層。東邊緊鄰鄉(xiāng)村道路。由于觀測數(shù)據(jù)過多，現(xiàn)將其觀測點中的第10期原始觀測值列見表1。

表1 第10期原始觀測值（僅列出部分數(shù)據(jù)）

基準(zhǔn)點、工作基點及監(jiān)測點的分布為圖1。

2.2 數(shù)據(jù)處理

該基坑邊坡監(jiān)測點共有10個，分別為J1，J2，...，J10，每個點觀測了20期，觀測周期視開挖狀況確定。通過采用卡爾曼濾波對完整采集的數(shù)據(jù)J3監(jiān)測點進行濾波，運用建立好的模型依次對以后各期數(shù)據(jù)進行濾波并進行預(yù)測，通過對濾波后的數(shù)據(jù)進行對比，分析觀測值與濾波值和預(yù)報值的區(qū)別。

各監(jiān)測點觀測20期經(jīng)整理后的數(shù)據(jù)見表2和表3。

圖1 基準(zhǔn)點、工作基點及監(jiān)測點的分布

表2 監(jiān)測點觀測20期經(jīng)整理后的數(shù)據(jù)（只列出J3點）

對于基坑的變形監(jiān)測來說，影響變形的因素比較多，比如基坑所在地的工程地質(zhì)、水文地質(zhì)和氣候條件以及基坑自身的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，噴灌的混凝土應(yīng)力、及溫度、降水等。所以在進行沉降數(shù)據(jù)處理和分析的時候，為了使結(jié)果和實際情況更符合，也應(yīng)該考慮這些影響因子，把它們當(dāng)成狀態(tài)參數(shù)的一部分。但是因為上述影響因子的數(shù)據(jù)難以獲取，所以狀態(tài)參數(shù)只考慮水平量和速率。由于這個變形體的動態(tài)系統(tǒng)是2維的，觀測系統(tǒng)是1維的，所以觀測點的狀態(tài)向量就是。對J3點觀測數(shù)據(jù)進行濾波處理，由前兩期的觀測數(shù)據(jù)通過初值確定方法可知X0=[170.36053 0.00005 ]T，Dx動態(tài)噪聲矩陣觀測噪聲矩陣 DΔ（k）=0.012，時間間隔 Δt，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣觀測矩陣B=[10]。使用的方法為用Excel進行矩陣計算，其結(jié)果如下表3。

2.3 精度分析

從表2至表4，圖2至圖3中可以看出，卡爾曼濾波值、卡爾曼預(yù)報值與原始觀測值數(shù)據(jù)曲線的變化逐漸趨向接近，卡爾曼濾波值與原始觀測值的最大差值：J3點為0.17mm；單位權(quán)方差σ2的估值最大值為0.21，平均為0.13；卡爾曼預(yù)報值與原始觀測值的最大差值：J3點為0.26mm。相比濾波值其預(yù)報值有一定的誤差，因為其觀測時序較短，影響變形的因子沒有一定的變化規(guī)律，所以其預(yù)報值精度有所降低。

綜上說明所建立的卡爾曼濾波模型是合理的、可靠的，較好地模擬了動態(tài)目標(biāo)系統(tǒng)的變化規(guī)律。從圖表中還可以看到，隨著觀測點數(shù)的增加，觀測值與濾波值、預(yù)報值的殘差越來越趨近于零，也說明模型隨著點數(shù)的增加不斷的進行自身的修正，模型越來越逼近監(jiān)測系統(tǒng)。

3 總結(jié)

本文通過對卡爾曼濾波技術(shù)理論的研以及對基坑監(jiān)測數(shù)據(jù)進行處理和數(shù)據(jù)分析，可得出如下幾點結(jié)論：

（1）卡爾曼濾波是一種對動態(tài)系統(tǒng)進行數(shù)據(jù)處理的有效方法，可以較好地用來處理變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，也可實時地獲得監(jiān)測系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)。由于卡爾曼濾波除了可掌握系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)外，還可以較好的預(yù)測系統(tǒng)的未來，因此，對于基坑變形監(jiān)測來說，卡爾曼濾波是一個重要的研究方法。

（2）在基坑變形監(jiān)測中，由于濾波方程是一組遞推計算公式，計算過程是一個不斷預(yù)測、修正的過程；在求解時，具有能夠求解出速度參數(shù)，修正干擾引起的突變；并且當(dāng)?shù)玫叫碌挠^測數(shù)據(jù)時，可隨時計算新的濾波值，便于實時處理觀測成果，把參數(shù)估計和預(yù)報有機地結(jié)合來。因此，Kalman濾波特別適合基坑變形監(jiān)測動態(tài)數(shù)據(jù)的處理。

表3 J3點卡爾曼濾波值與觀測值對比

表4 J3點卡爾曼預(yù)報值與觀測值對比

圖2 J3點卡爾曼濾波結(jié)果對比

圖3 J3點觀測值與濾波值和預(yù)報值的殘差對比

（3）通過文中的分析可以看出，Kalman濾波采用了用殘差反求動態(tài)噪聲的協(xié)方差，代入濾波方程改正濾波過程中的原動態(tài)噪聲協(xié)方差，能夠較準(zhǔn)確的描述變形體的變形狀況。

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［3］黃立人.深基坑施工中的變形監(jiān)測[J].測繪工程,1997,3:7-13.

［4］陸如華,徐傳玉,張玲,毛衛(wèi)星.卡爾曼濾波的初值計算方法及其應(yīng)用[J],應(yīng)用氣象學(xué)報，1997,2:1-8.

［5］王永，等.基于分形的線要素綜合數(shù)據(jù)處理方法[J].礦山測量，2009,10.

［6］李奕,高雅萍,穆建鋒.自適應(yīng)卡爾曼濾波在基坑變形監(jiān)測中的應(yīng)用[J].陜西國土測繪工程院,2006,10:23-27.

［7］王永，等.利用 Excel繪制誤差橢圓的方法[J].礦山測量，2008,12.