《分數的基本性質》的認知過程及思維方式分析

慎立美

(南京市揚子第三小學，江蘇南京，210048)

“分數的基本性質”是小學階段有關分數知識的一個非常重要的內容。這部分內容以分數的意義為基礎，是學生學習約分、通分和異分母分數加減法及其他分數知識的重要前提。了解學生學習“分數的基本性質”的認知過程及思維方式，才能合理地進行教學設計，提高教與學的效果。以下是學生對該內容的三個認知階段。

一、感知和體會“分子、分母都各不相同的分數的大小可以相等”

學生在學習“分數的認識”的過程中，對分數的大小已經有了一些感性理解和簡單歸納，對“大小相等的分數”有初步的感知，但是還沒有形成清晰的認識。學習“分數的基本性質”，首先要進一步感知和體會“分子、分母都各不相同的分數，大小可以相等”。

這一目標可以通過學生充分的體驗感知達成。蘇教版教材首先引導學生發現一些分數的分子分母并不相同但大小卻相等的現象，讓學生形成“大小相等的分數”的直觀表象；接著引導學生利用折紙操作，找出幾個和1/2大小相等的分數，以親歷體驗的方式使學生對“分數等價類”思想獲得初步的感知。分數等價類中每一個表示，各有各的用處，都有特定的價值。分數的這個特點，既有學習難度，又有思想高度，是一個重要的數學思想方法[1]。這一思想方法需要在教學中進行滲透，以有利于它將來的發展。

首先，觀察能力的高低影響學生的水平。例如：學生發現分子分母并不相同但大小卻相等的分數的現象，不僅要注意到分數的大小相等，而且要注意到這些分數的分子分母并不相同，它們是不同的分數。教師要引導學生在形成整體印象的基礎上細致地觀察局部，通過比較來了解事物之間的聯系。

如學生在尋找和1/2大小相等的分數的過程中，不僅僅著眼于如何找到分數，還應該引導學生注意在折紙的過程中正方形的涂色部分分數所發生的變化，為抽象和驗證分數的基本性質建立直觀的表象基礎。

其次，學生親歷操作活動所獲得的經驗有利于思維活動的順利進行。例如：通過涂色來表示1/2這個操作步驟意義重大，學生在涂色的過程中，深化了分數與面積的對應關系，對所涂色區域形成強烈的認同感和很高的關注度，從而給學生留下深刻的印象。如果教師為了節約時間，提供事先已經涂好色的正方形紙片給學生，那是達不到上述效果的。

如折紙的操作讓學生在動手的過程中眼、手、腦都積極地參與到活動中來，使學生為將來形成“分數等價類”的思想做準備。

二、發現和歸納“分數的分子和分母怎樣變化，分數的大小不變”

通過第一階段的觀察和操作，學生發現等式中分子分母變化的規律是比較容易的，主要問題是語言表述的全面、準確與精煉。教師應該引導學生依據細致的觀察分析進行歸納，通過分享交流、比較反思得出明確的結論。

這個階段的教學以引導學生進行歸納推理，發展學生的抽象思維能力為主。

歸納推理是合情推理的一種，合情推理憑借的是經驗和直覺。在這里，僅僅依靠學生的行為操作活動經驗進行歸納推理是不夠的，還要依靠學生的思維操作活動經驗。因此，教材讓學生脫離具體的圖形，直接觀察和分析等式中分數的分子分母的變化情況。教師不能急于求成，應該讓學生具體說一說每個等式的變化情況，并將變化過程清晰地呈現出來，在此基礎上讓學生歸納，較為完整地經歷歸納推理的思維過程。

發現學習策略可能掌握許多重要的技巧，但是發現并不意味著掌握。[2]在歸納推理的過程結束之后，教材要求學生根據分數的基本性質，寫出一組相等的分數，這是“發現”后及時“掌握”所必需的環節，不能忽略。教師可以結合第一階段學生看到的和找到的兩組分數，讓學生再說一說其他和1/3或1/2相等的分數。這一方面達成了及時掌握的目標，同時讓學生清晰地感受到每組中大小相等的分數的個數是無限的，進一步滲透“分數等價類”的思想。

三、驗證和解釋 “為什么分數的分子和分母同時乘或除以相同的數(0除外)，分數的大小不變”

傳統的數學教學缺少兩樣東西：通過條件預測結果能力的培養和依據結論探究成因能力的培養。學生缺少這兩項能力，就無法完成一次真正的創造過程，也不利于創新型人才的成長[3]。通過上述兩個階段的學習，學生看到了現象，也歸納出了規律，學生的思維經歷了從直觀到抽象的過程，通過條件預測結果的能力也得到了提高。但是學生對規律內在成因的感知比較模糊，應該讓抽象的結論再回到直觀的經驗中，并與過去的知識建立聯系，幫助學生進一步理解規律，培養學生依據結論探究成因的能力。

這個階段的教學以指導學生分別運用“轉化”和“數形結合”的思想方法進行驗證和解釋，以滲透數學思想方法為主。

通過歸納推理得出分數大小不變的規律只能算是一種猜想，需要通過驗證才能真正稱為分數的基本性質。小學數學教學可以通過舉例加以驗證，但這并不是科學的驗證方法，充其量就是概念、定理外延的擴展罷了，當然，舉反例另當別論。鑒于小學生認知水平發展的階段性，教材試圖引導學生利用分數與除法內在的密切聯系，將分數的基本性質轉化為商不變的規律，用已有的知識來驗證新知，這是一個非常合理的選擇。實際教學時應該引導學生較為完整地經歷轉化的過程，不能一帶而過。

教材中練習十一的第一題讓學生在同一幅方格圖中尋找表示相同涂色部分的不同分數，教師可以利用這道題幫助學生通過“數形結合”來解釋分數的基本性質。當學生提到1/2=4/8時，腦海中既有兩個對應的圖形，也有分子分母同乘4的算式。但是由于整數認知對分數的干擾，學生會產生疑問：一個分子是1，一個分子是4，它們的大小怎么會相等呢？教師可以利用學生折紙時對1/2形成的深刻印象，將分子分母同乘4的過程通過課件在正方形中畫出來。通過畫圖讓學生直觀地認識到將正方形從平均分成2份變成平均分成8份，就是將其中的每一份都平均分成4份，4/8所表示的“4份”就是原來1/2所表示的“1份”，所以1/2=4/8。

綜上所述，學生學習“分數的基本性質”經歷了感知和體會、發現和歸納、驗證和解釋的認知過程，學生的思維活動由直觀到抽象，再回到直觀。教材的編寫遵循這樣的認知與思維過程，教師教學時應該充分利用教材，根據學生的認知過程和思維方式精心設計教學，切實提高教學的效果。

[1] 張奠宙，等.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 〔美〕戴蒙(Damon，W)，〔美〕勒納(Lerner，R.M).兒童心理學手冊：第二卷上[M].林崇德，李其維，董奇，等，譯.第六版.上海：華東師范大學出版社，2009.

[3] 王瑾，史寧中，等.中小學數學中的歸納推理：教育價值、教材設計與教學實施——數學教育熱點問題系列訪談之六[M].北京：人民教育出版社，2011.