關于角平分線在三角形一章中的研究

任慧英

摘要：在三角形角平分線一章中，經常出現三角形及多邊形中（內、外）角平分線的夾角計算問題，這一問題是學生學習中的重點和難點，學生對此常常不能很好地掌握。本文主要針對這一問題進行研究。

關鍵詞：三角形；角平分線；例題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0100

在三角形這一章的教學過程中，筆者發現有一類典型題經常出現，即：三角形及多邊形中（內、外）角平分線的夾角計算問題，因其過程中涉及的知識較多，綜合性較強，從而成為幾何問題中的一個重點和難點。筆者現就這一問題進行歸納、推導。

問題1：如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點I。請你用數學表達式表示∠A與∠BIC之間具有的數量關系，并證明你的結論。

結論1：∠BIC=90°+■∠A

理由如下：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點I

∴∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB=180°-■（180°-∠A）=90°+■∠A

問題2：如圖，點O是△ABC的外角∠DBC和∠BCE的平分線的交點，請你用數學表達式表示∠A與∠BOC之間具有的數量關系，并證明你的結論。

結論2：∠O=90°-■∠A

證法一（利用三角形內角和定理及其推論）：

∵點O是△ABC的外角∠DBC和∠BCE的平分線的交點

∴∠OBC=■∠DBC，∠OCB=■∠ECB

∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠DBC-■∠ECB=180°-■（180°+∠A）=90°-■∠A

證法二（利用問題1中的結論）：作∠ABC，∠ACB的平分線相交于點I，則顯然有∠BIC=90°+■∠A。由于鄰補角的平分線互相垂直，所以，∠IBO=∠ICO=90°。

在四邊形IBOC中，∠O=180°+180°-∠IBO-∠ICO-∠BIC=90°-■∠A。

問題3：如圖，點D是△ABC的內角∠ABC和外角∠ACE的平分線的交點，請你用數學表達式表示∠A與∠D之間具有的數量關系，并證明你的結論。

結論3：∠D=■∠A。

證法1（利用三角形外角和定理及其推論）：

∵點D是△ABC的內角∠ABC和外角∠ACE的平分線的交點

∴∠DBC=■∠ABC，∠ACD=■∠ACE

∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB

=180°-∠DBC-（∠ACB+∠ACD）

=180°-■∠ABC-∠ACB-■∠ACE

=（180°-∠ABC-∠ACB）-■∠A=∠A-■∠A=■∠A。

證法2：（利用外角的性質）

∵點D是△ABC的內角∠ABC和外角∠ACE的平分線的交點

∴∠DBC=■∠ABC，∠DCE=■∠ACE

∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠DCE=∠D+∠DBC

∴∠DCE=■∠ACE=■（∠A+∠ABC）=■∠A+■∠ABC=■∠A+∠DBC∴∠D=■∠A

證法3：（利用問題1中的結論）

作∠ACB的平分線交BD于I。由結論①可知，∠BIC=90°+■∠A。

由于鄰補角的平分線互相垂直，所以∠ICD=90°。

又∠BIC=∠ICD+∠D，故∠D=∠BIC-∠ICD=（90°+■∠A）-90°=■∠A。

應用舉例：例1. 已知：如圖，∠XOY=90°，點A、B分別在射線OX、OY上移動，BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點C，試問∠ACB的大小是否變化？如果保持不變，請給出證明；如果隨點A、B的移動發生變請求出變化范圍。

推廣一：推廣到三角形內角的n等分線的夾角

問題4：如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等平分線相交于點I。并且∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB請你用數學表達式表示∠A與∠BIC之間具有的數量關系，并證明你的結論。

結論4：∠BIC=120°+■∠A。理由如下：

∵∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB=180°-■（180°-∠A）=120°+■∠A。

問題5：如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等平分線相交于點I。并且∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB，請你用數學表達式表示∠A與∠BIC之間具有的數量關系，并證明你的結論。

結論5：∠BIC=60°+■∠A。

理由如下：∵∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB=180°-■（180°-∠A）=60°+■∠A。

問題6：如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的n等平分線相交于點I。并且∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■ACB，并且-1≤m≤n-1請你用數學表達式表示∠A與∠BIC之間具有的數量關系，并證明你的結論。

結論6：∠BIC=（1-■）180°+■∠A。

理由如下：∵∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB

=180°-■（180°-∠A）=（1-■）180°+■∠A。

推廣二：推廣至外角n的等分線的夾角

問題7：如圖，點O是△ABC的外角∠DBC和∠BCE的n等分線的交點，并且∠OBC=■∠DBC，∠OCB=■∠ECB，并且1≤m≤n-1，請你用數學表達式表示∠A與∠BOC之間具有的數量關系，并證明你的結論。

結論7：∠O=（1-■）180°-■∠A。

理由如下：∵∠OBC=■∠DBC，∠OCB=■∠ECB

∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠DBC-■∠ECB

=180°-■（180°-∠ABC+180°-∠ACB）

=180°-■（180°+∠A）=（1-■）180°-■∠A。

推廣三：推廣至內、外角n的等分線的夾角

問題8：如圖，點D是△ABC的內角∠ABC和外角∠ACE的n等分線的交點，并且∠DBC=■∠ABC，∠DCE=■∠ACE，并且1≤m≤n-1，請你用數學表達式表示∠A與∠D之間具有的數量關系，并證明你的結論。

結論8：∠D=■∠A。

理由如下：

∵∠DBC=■∠ABC，∠DCE=■∠ACE

∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠DCE=∠D+∠DBC

∴∠DCE=■∠ACE=■（∠A+∠ABC）=■∠A+■∠ABC=■∠A+∠DBC∴∠D=■∠A

推廣四：推廣至四邊形的鄰角平分線的夾角

問題9：在ABCD中，BO是∠B的平分線，CO是∠C的平分線，試求∠O與∠A，∠D的關系。

結論9：∠O=■（∠A+∠D）

理由如下：∵∠ABC、∠DCB的平分線相交于點O

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠DCB

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠ABC-■∠DCB

=180°-■（360°-∠A-∠D）=■（∠A+∠D）

應用舉例：在ABCD中，BO是∠B的平分線，CO是∠C的平分線，并且∠A+∠D=200°，求∠BOC的度數。

問題10：在ABCD中，BO是∠B的n等分線，CO是∠C的n等分線，并且∠OBC=■∠ABC，∠OCB=■∠DCB，其中1≤m≤n-1，試求∠O與∠A，∠D的關系。

結論10：∠O=（1-■）180°+■（∠A+∠D）

理由如下：∵∠OBC=■∠ABC，∠OCB=■∠DCB

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠ABC-■∠DCB

=180°-■（360°-∠A-∠D）=（1-■）180°+■（∠A+∠D）

推廣五：推廣至凹四邊形的對角平分線的夾角

問題11：如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點P，假∠A>∠D，求∠P與∠A、∠D的關系。

結論11：∠P=■（∠A-∠D）

理由如下：∵∠ABD、∠ACD的角平分線交于點P

∴∠ACD=2∠ACP，∠ABD=2∠ABP

又∵∠ACD=∠A+∠D+∠ABD

∴2∠ACP=∠A+∠D+2∠ABP

（上接第101頁）

∴∠ACP-∠ABP=■（∠A+∠D）∵∠AEP=∠ACP+∠P，∠AEP=∠ABP+∠A

∴∠P=∠A+∠ABP-∠ACP=∠A-（∠ACP-∠ABP）=∠A-■（∠A+∠D）=■（∠A-D）

應用舉例：如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點P，若∠A=50°，∠D=10°，則∠P的度數為（ ）

A. 15° B. 20°

C. 25° D. 30°

解題規律能幫助學生打開解題思路，加快解題速度。因此，學生在平時的學習中要重視對知識的積累、提煉、總結與提高。這五個推廣前四個會自然而然想到，第五個推廣是在做題中遇到的，當然還有一些情況沒有討論。比如推廣四中照樣可以推廣到四邊形外角平分線的夾角及內外角平分線的夾角的情況，還可以推廣到等分線的情況，這里不再討論。筆者相信掌握了這些解題方法，就可以觸類旁通，快速找到解題思路。

（作者單位：山西省長治市沁源縣太岳中學 046500）