解決函數問題——定義域優先

王海春

摘要：函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終，函數的定義域是函數三要素（定義域、值域、對應關系）的關鍵要素，是解決所有函數問題必須考慮的先決條件。也就是說，求解函數問題必須樹立“定義域”優先的原則。在解決任何函數問題中，若不加以注意，學生常常誤入“歧途”。在解函數問題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維能力也是十分有益的。

關鍵詞：定義域；解析式；值域；單調性；奇偶性；周期

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0119

通過定義域對函數解析式、值域、單調性、奇偶性、周期的影響來提高學生對函數定義域的重視程度，學生不但加深了對函數概念的理解，提高了解題能力，還拓寬了他們的思維空間，培養了他們的思維能力。

一、定義域對函數解析式的影響，

分析：在已知f [g（x）]的解析式，求f（x）的解析式，一種常見的解法是將f [g（x）]解析式中拼湊出g（x）的整體。再將g（x）換成x從而求f（x）得的解析式。但容易忽略f（x）的定義域，從而導致錯誤。

注：正解中采用換元的辦法，換元法是高中處理數學問題的常用方法。換元學生就能注意到新元的取值范圍，而不易丟掉定義域。

二、定義域對函數值域的影響

剖析：經換元后，應有t≥0，而函數y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函數，所以當t=0時，ymin=1。故所求的函數值域是[1， +∞）。

注：變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。

三、定義域對函數單調性的影響

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。

例3. 判斷函數f（x）=log3（x-2x-3）的單調性。

錯解：函數f（x）=log3（x-2x-3）是由u=x2-2x-3y=log3u復合而成，由復合函數的單調性遵循同增異減的原則，二次函數u=x2-2x-3的單調減區間（-∞，1），單調增區間（1，+∞）；在y=log3u定義域上單調增，所以原函數的單調減區間為（-∞，1），單調增區間為（1，+∞）。

正解：先求定義域x2-2x-3>0得x<-1或x>3

所以函數的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞）

u=x2-2x-3知在（-∞，-1），u單調減；在（3，+∞）單調增

又y=log3u在（0，+∞）單調增

所以，原函數f（x）=log3（x2-2x-3）的減區間為（-∞，-1），增區間為（3，+∞）。

注：如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，沒有理解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。

四、定義域對函數奇偶性的影響

函數的奇偶性是函數的整體特征是對整個函數定義域而言的，所以考查函數的奇偶性一定是函數的定義域優先。

正解：由函數f（x）=■有意義得1-x2≥0x-2≠2得函數的定義域{x -1≤x≤1且x≠0}所以f（x）=■，則f（-x）=■=-f（x），所以函數f（x）=■為奇函數

五、函數的定義域對函數周期的影響

分析：由題 f（0）有意義，而f（π）不存在，所以 f（0+π）≠f（0）。由周期函數的定義，若定義域中存在x0使f（x0+T）≠f（x0）則T不是函數 f（x）周期，所以π不是函數的周期。原因是化簡前后函數的定義域發生變化，在函數的定義域下畫出函數 f（x）=tanx圖像，知函數f（x）周期為2π。

通過以上的論述，在求解函數解析式、值域、單調性、奇偶性、周期性等問題中，函數的定義域都有舉足輕重的作用。在解題中能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免錯誤的發生。這也為高中數學學習奠定了堅實的基礎。

（作者單位：黑龍江省雞西實驗中學 158100）