鋰離子電池荷電狀態估算及剩余壽命預測

高安同， 張 金， 陳榮剛， 左修偉

（解放軍陸軍軍官學院軍用儀器教研室,安徽合肥 230031）

鋰離子電池作為一種目前廣泛使用且性能非常優異的電池，正受到越來越廣泛的關注。但是，鋰離子電池一旦發生故障，直接導致用電設備無法正常工作，并帶來高額的維修及更換費用，甚至由于過熱和短路導致災難性的爆炸事故。所以，研究鋰離子電池荷電狀態估算和剩余壽命預測方法、優化鋰離子電池維護計劃勢在必行。目前，由于鋰離子電池中的電化學反應采用常規的傳感器無法觀測，導致可分析的數據不足，并且鋰離子電池的工作過程非常復雜，對其監測得到的數據只是電壓、電流和溫度，所以對于鋰離子電池在線荷電狀態估算和剩余壽命的預測就變得異常困難。

1 荷電狀態估算

荷電狀態(SOC)是指在一定的放電倍率條件下，電池的剩余電量與相同條件下額定容量的比值。

1.1 電流積分法

電流積分法是對電流進行積分得到充入電池和從電池放出的電量，該方法需對電池的電量進行長時間的記錄和監測。電流I對時間t積分即為鋰離子電池電量的變化值，記做Qch(當放電時Qch為正值，充電時Qch為負值)。若鋰離子電池的當前剩余電量用Qr表示，鋰離子電池的當前剩余電量Qr與電量的變化值Qch之差，即為經過充放電后電池所剩的電量，那么當前荷電狀態可表示為：

式中：Q0是額定容量，根據不同的充放電效率，電量的變化值Qch可表示為：

式中：i為電池電流；η為充放電效率。此方法是一種簡單的SOC估計方法，其優點是能給出任意時刻電池的電量。但是電流測量的精度將直接影響剩余電量估算結果，需要通過大量實驗來建立電池充放電效率經驗公式，因此不適合于電池SOC的動態估算。

1.2 開路電壓法

在不同的溫度下SOC和開路電壓(OCV)的對應關系表已被電池生產商廣泛采納并使用。一旦足夠的數據表被計算出來，那么從OCV推理到SOC就會變得非常直接。Guiheen提出了一種基于電流曲線斜率和SOC關系的估算方法，作為常規SOC-OCV表的補充以確保其準確性和有效性。這種基于數據表的估算方法很難在現實中找到與之匹配的外界條件，由此導致了SOC估計值和真實值間的巨大差異。

1.3 模糊推理

模糊邏輯方法允許在處理不完整和含有噪聲的數據時存在一定程度的不確定性和模糊性。

Sakind[1]等人基于電化學阻抗譜通過建立Li/SO2電池模糊推理模型進行其SOC估算。該方法精確度很高，誤差幅度僅為其它方法的10%。而且只需少量的電化學參數就可加速阻抗譜測試和減少數據收集過程中的冗余，但是，實驗設備的龐大和高花費限制了該方法的實際應用范圍。

1.4 自回歸滑動平均數

自回歸滑動平均數(autoregressivemoving average，ARMA)模型是一種非常適合時間序列的預測算法。

ARMA模型表示為：

式中：χ是時間序列；α是常量；ε是白噪聲；p指AR（自回歸參數）；q指MA（滑動平均參數）；t和i均為整數，且t大于i；φ和θ是模型的系數。

為了通過阻抗測量來估算SOC，kozlowski[2]建立了一種雙電極電化學模型，模型的輸入包括電解質電阻、電荷轉移阻值和層間電容，這些數據被提取并輸入到ARMA模型來計算SOC。ARMA模型的精確性依賴于先驗數據的完整性和典型性。在現實應用中，原始數據很有可能是不完整的，因此需要用回歸模型來做合理估計和逐步推測。

1.5 電化學阻抗譜

電化學阻抗譜(EIS)被廣泛應用于表達化學電池的內部電化學反應，而這是采用普通感知技術無法測定的。

當電池的容性阻抗和感性阻抗相等時，在一定頻率范圍內SOC和EIS之間有確定的關系，且該頻率范圍是電池SOC單調周期性函數，因此，我們可通過選擇想要的頻率范圍即可確定電池的SOC值，該方法直觀，可靠性高，但阻抗譜分析儀價格昂貴，要求實驗過程中外界條件保持恒定。

1.6 支持向量機

支持向量機(SVM)通過數據映射將低維空間的非線性問題轉化為高維空間的線性問題。

Hansen和Wang[3]使用SVM建立了一個基于實驗的SOC估算模型，輸入向量包括電流、電壓，在上次計算結果和電壓變化的基礎上遞推出當前SOC。該SOC估算模型只使用穩態數據（恒電流脈沖）進行訓練。測得的穩態SOC和動態SOC估算均方根誤差分別為5%和5.76%。但SVM衰減模型需要對實驗參數和誤差進行不斷的調整，而這是一個非常耗時的過程。

1.7 基于支持向量機的擴展卡爾曼濾波

擴展卡爾曼濾波(EKF)是用于非線性變化的卡爾曼濾波的擴展，通過使用偏導數和泰勒級數展開式，EKF使預測和更新部分的當前估計值線性化，剩下的過程類似于傳統卡爾曼濾波。

受限于泰勒級數在高階非線性系統中的誤差，EKF不能處理高階非線性系統問題。為了提高動態SOC估算的準確性，Zhang[4]提出了一個基于物理學的電路模型，名稱為“增強型自我修正模型(ESC)”。這個模型強調了應對滯后反應、溫度和松弛反應帶來的影響。增強型自我修正模型(ESC)表示如下：

式中：yk是待估電壓；k是標識數；z代表SOC；h代表電化學滯后參數；fil(ik)是一些濾波操作數的動態操作；R是電阻；i是電流。這個方法主要的缺點就是需要使用OCV-SOC表，而這個表設計花費大并且難以獲得，此外實際應用時還有一定的誤差。

圖1是簡單的電池電路，OCV代表開路電壓，也叫平均勢能；Rd和Ri是內電阻；Cd相當于層間電容。

圖1 電池電路

圖1是電路模型，公式(5)是電壓估算方程，式中Vk是待測電壓；k 是標志數；Cn，k是電容；Ri是電阻；ik是電流；Vd，k是容抗導致的壓降；SOCk是電池荷電狀態。

OCV的估算依靠優化的OCV-SOC表。為了提高在高階非線性條件下EKF框架的魯棒性，測量噪聲模型對劇烈電壓變化（由極端工作環境及模型簡化帶來的內在變化引起）進行重構。

容量估算的準確性很大程度上依賴于初始值的選定，而不適當的初始化將會導致估計值和真值間明顯的收斂滯后。

對于某些特殊的系統，系統的狀態量和觀測量相同，根據EKF算法的基本方程，過程噪聲矩陣的方差陣Qk必須根據系統的數學模型事先給出，并且一旦Qk數值給定了，那么在以后的整個EKF過程中Qk的數值都將不能變化。這就存在以下問題：鋰離子電池放電模型不可能精確得到、噪聲不可測量、外界環境因素的干擾也可能不同，如果在這些情況中都共用一套噪聲方差陣則顯然是不合理的，所以需要有一種算法可使Qk根據不同的情況自動做出調整。

在進行第一次濾波前，根據鋰離子電池所處環境，預設一組Q0。以后每濾波一次，就用濾波后的值減去觀測值并將這個差值當作過程噪聲保存起來，一共收集n組數據(按數據得到的順序將各組數據記為數據1～數據n)，然后就可根據這n組過程噪聲值計算出實時過程噪聲方差陣。當得到第n+1組數據時,利用第2～(n+1)組數據過程噪聲計算出此時的過程噪聲方差矩陣。依次類推，假設在EKF濾波的第k步時按照這種方法計算出的過程噪聲方差陣為，在EKF濾波的第（k+1）步時要用到的過程噪聲方差矩陣為Qk，且Qk和之間存在如下線性關系：

式中：ω、b分別為滿足方程階數的系數矩陣、常數矩陣。只要設置好SVR理論中的權重因子C、損失函數、誤差ε、核函數，就可通過針對訓練集進行SVR訓練而得到式(6)的支持向量（a，a*），從而有：

Qk即為下次EKF濾波時要用到的過程噪聲方差陣，這樣就得到了一個較為準確的Qk+1陣，實現了過程噪聲方差陣的實時更新，從而能更準確地估算SOC。

2 剩余壽命預測

鋰離子電池剩余壽命(RUL)是指滿容量電池從開始放電到電池輸出電壓下降到終止電壓的時間。剩余壽命預測使得在電池永久損壞前有足夠的時間來采取適當的措施來預防事故的發生，此外，準確的剩余壽命預測還能促進新服務模式的發展并能創造更多機遇和市場，如“智能電池流動服務系統”。鋰離子電池剩余壽命預測應充分考慮當前電池的健康狀態、歷史數據、故障機理和故障傳遞等因素。盡管現在剩余壽命預測還不是文獻研究中的焦點，但是致力于這方面的研究正不斷深入。

2.1 Rakhmatov模型

如果把電化學反應中活性物質的運動抽象為有限區域上的一維擴散問題，則根據法拉第定律和菲克定律，就能推導出負載電流i(τ)和電池壽命L的關系式[5]：

式中：α和β為電池參數，α的物理意義是電池可輸出的最大容量；β表示在電極表面活動載流子被補償的速率，它可用來衡量電池放電特性，β越大，電池放電特性越好。

對于常數負載。設電流 i（t）=I，把它代入式（8），如果β2L≥1，則可近似得到：

對于變化負載，用某一寬度的常數負載來近似變化負載。設U(t)為階梯函數，則[0，t]時間內的可變i（t）可用N步階梯函數來近似，表達式為：

式中：Ik是[tk，tk+1]時間內的平均負載。

該模型能精確地預測電池的剩余壽命，但需要大量的指數運算。

2.2 粒子濾波

粒子濾波(particle flter，PF)是一種序列蒙特卡羅方法，通過粒子及其權重系數來估算概率分布函數的狀態。粒子的遞推分兩階段：預測階段和更新階段。預測階段，下一步粒子值通過前一步的信息來估算的，而與測量和觀察無關；更新階段，預測階段通過估算得到的粒子與測量結果進行比較并相應更新。

Saha運用粒子濾波來估算電解液阻抗和電荷轉移阻抗指數增長模型的系數，建立了電解液阻抗、電荷轉移阻抗和容量之間的函數關系，根據估算的電解液阻抗和電荷轉移阻抗來推斷電池未來容量，最終計算出剩余壽命。阻抗測量的高花費和嚴格的外界約束條件參數限制了這種方法的實際應用。在不測量電化學阻抗譜條件下，Saha和Goebel建立了一個考慮庫侖效能因素和松弛作用的容量實驗模型。該方法采用粒子濾波來估算電池模型的不同組成部分，未來容量被用來推算電池的剩余使用時間。

2.3 關聯向量機

當用于衰減問題時，關聯向量機(relevance vectormachine，RVM)具有控制“過擬合”和“欠擬合”的能力。RVM衰減問題可表示為：

式中：tn是由平均數y和方差σ2決定的衰減目標（輸出）；x是輸入；y是無噪聲的衰減模型；w是衰減系數。

Saha提出了一種基于電化學模型推導出的電池內部參數的RVM衰減模型。隱含的假設是電荷轉移阻抗、電解液阻抗等內部參數隨電池退化而緩慢變化。RVM被用來準確跟蹤退化趨勢。為預測剩余壽命，粒子濾波算法被用來選擇合適的RVM模型系數，根據最新的退化模型預測剩余壽命終結點。

當關聯向量機的輸入為任意分布的隨機變量時，關聯向量機的輸出為：

式中：p(x*)為隨機變量x*的分布密度函數，x*∈Rq，q為隨機變量x*的維數，p（y*│x*）為關聯向量機模型在輸入為x*時的輸出結果分布。

一般情況下，上述積分是無法以解析形式求解的。若對輸入隨機變量x*采樣N個獨立同分布的樣本粒子xj*，則上述積分結果可表示為：

式中：p（y*│xi*）為關聯向量機模型在輸入為確定值xj*時的輸出結果的分布p（y*│xi*）具有高斯分布形式，并且由其均值和方差唯一確定。式（13）表明，當關聯向量機回歸模型的輸入為一任意分布的隨機變量時，其預測輸出的分布可由一組高斯分布隨機變量的加權和形式給出。

關聯向量機不僅能夠反映輸出結果的不確定信息，且擁有學習算法簡單，易實現等優點。

3 結論

相信隨著科技的發展，鋰離子電池的自身性能會不斷改善，隨之配套的各種預測研究方法一定會更加科學精確，我們比較研究了鋰離子電池在荷電狀態估算和剩余壽命預測的方法、模型和算法，并根據其優缺點確定了各種方法的適用范圍和條件，希望能夠幫助讀者更深入地了解鋰離子電池健康監測及剩余壽命預測方面的研究成果及最新進展。

[1]SALKIND A J，FENNIE C，SINGH P.Determination of state-of charge and state-of-health of batteries by fuzzy logic methodology[J].Journalof Power Sources，1999，80(1/2)：293-300.

[2]KOZLOWSKI J.Electrochemical cell prognostics using online impedance measurements and model-based data fusion techniques[C]//2003 IEEE Aerospace Conference.Anonymous：2003 IEEE AC，2003：3257-3270.

[3]HANSEN T，WANG C J.Support vector based battery state-of charge estimator[J].Journal of Power Sources,2005，141(2)：351-358.

[4]ZHANG JL，LEE J.A review on prognostics and health monitoring of Li-ion battery[J].Journal of Power Sources，2011，196(15)：6007-6014.

[5]DALER R．A model for battery lifetime analysis for organizing applications on a pocket computer[J]．IEEE Trans on VLSl Syaem，2003，11(6)：1019-1030．