基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型研究與應(yīng)用

章義來，彭永康

(景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333001)

基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型研究與應(yīng)用

章義來，彭永康

(景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333001)

分形具有無窮細節(jié)的自相似性。研究提出了基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型，并重點研究了迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS、隨機插值分形在圖案拓撲結(jié)構(gòu)表達中的應(yīng)用，提出并深入討論了基于分形迭代、區(qū)域迭代分割的陶瓷圖案拓撲結(jié)構(gòu)的初始表達及結(jié)構(gòu)的迭代模式f，對構(gòu)圖模型及圖案構(gòu)圖算法的實現(xiàn)等進行了深入研究，并最終應(yīng)用本文的研究成果于陶瓷圖案的構(gòu)圖過程。

分形；陶瓷圖案；迭代；構(gòu)圖模型

0 引 言

20世紀70年代，法國數(shù)學(xué)家Mandelbrot 創(chuàng)立了分形幾何學(xué)[1]。分形(Fractal)一詞用來描述那些不規(guī)則而歐氏幾何又無法描述的幾何現(xiàn)象和物體[2]。分形圖形是在無標度意義下具有無窮細節(jié)的自相似圖形，是無序和變幻無窮的美的體現(xiàn)。利用分形的自相似性，可以構(gòu)造出千變?nèi)f化而又具有任意高分辨率結(jié)構(gòu)的藝術(shù)圖案。

目前，針對分形技術(shù)的研究一方面主要集中于特定領(lǐng)域的分形圖形生成技術(shù)的研究與應(yīng)用，通過分形圖案生成技術(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)在分形迭代過程中引入控制參數(shù)或?qū)⒓y理映射技術(shù)引入分形可獲得高真實自然植物模擬效果[2-5]；通過以3×3、5×5的矩陣為構(gòu)圖模板，基于kroneckor積的分形矩陣構(gòu)圖技術(shù)，實現(xiàn)了一種由模板決定最終圖案構(gòu)成的分形構(gòu)圖技術(shù)[6]。通過對紡織、服飾、平面木雕等行業(yè)的圖案進行分析、歸納與研究，提出了基于分形幾何原理且具有行業(yè)應(yīng)用特征的分形圖案生成算法，實現(xiàn)了行業(yè)應(yīng)用圖案的分形生成或分形重構(gòu)[7，9～11]。另一方面則主要研究在分形圖形的基礎(chǔ)上，提出以分形圖元為圖案的構(gòu)圖單元，應(yīng)用對稱、旋轉(zhuǎn)與融合等規(guī)則來進行圖案構(gòu)圖的研究[8]。

陶瓷圖案的行業(yè)應(yīng)用特點決定了大量的陶瓷圖案具有相似的結(jié)構(gòu)，通過應(yīng)用不同的圖元來生成不同的陶瓷圖案。分形是一種使圖案的整體與局部具有自相似特征的圖案構(gòu)造方法，它將復(fù)雜的圖案集中表示為一組規(guī)則，分形生成的圖案具有高度抽象、復(fù)雜多變的特點。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，提出用分形規(guī)則來描述圖案的拓撲結(jié)構(gòu)，將圖案的拓撲結(jié)構(gòu)歸納表示為一組迭代規(guī)則。由于分形具有的自相似特性，規(guī)則的構(gòu)成決定了圖案的總體結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上提出一種以圖元基礎(chǔ)，分形迭代規(guī)則（IFS變換、L－系統(tǒng)等）為圖案拓撲結(jié)構(gòu)的陶瓷圖案構(gòu)圖模型。

應(yīng)用本文提出的模型生成陶瓷圖案時，以初始圖元為初始圖案，對初始圖元應(yīng)用分形規(guī)則迭代得到另一圖元，著色后加入圖案集合，經(jīng)過多次不同的分形迭代和著色過程可得到一個圖元集合，該圖元集合就構(gòu)成了目標圖案。

1 基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型

基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型將圖案（記為P）表達為構(gòu)圖初元集（簡稱為圖元集，記為U）及圖案拓撲結(jié)構(gòu)（亦稱構(gòu)圖模式，記為S）構(gòu)成的二元組，記為：

1.1 分形迭代圖案的拓撲結(jié)構(gòu)

圖案拓撲結(jié)構(gòu)S決定了圖元在圖案中的組織與呈現(xiàn)方式。圖案的拓撲結(jié)構(gòu)S由IFS系統(tǒng)的仿射變換集合W及迭代模式f二者構(gòu)成，記為：

1.1.1 仿射變換集W

仿射變換集W的元素表述了圖案分形迭代構(gòu)圖過程中，圖元的變換處理規(guī)則，記為 。

1.1.2 圖案分形迭代模式f(W，k)

圖案分形迭代模式f是一個仿射變換集W、W的元素數(shù)k為參數(shù)的二元函數(shù)。迭代模式f的迭代過程見式4所示。W(k)的值可用式4所示的迭代過程計算：

1.2 區(qū)域迭代分割圖案的拓撲結(jié)構(gòu)

在陶瓷圖案區(qū)域迭代分割生成圖案的過程中，圖案構(gòu)圖矩形區(qū)域 是圖案構(gòu)造的起點。圖案的拓撲結(jié)構(gòu)S由構(gòu)圖區(qū)域集D與區(qū)域分割模式f二者構(gòu)成，如式5所示：

區(qū)域分割模式S=D，k的功能是將區(qū)域D分割為k個不相交的子集的集合，且分割生成的區(qū)域子集滿足條件

1.2.1 構(gòu)圖區(qū)域D

區(qū)域Di的邊界Ri是一個由直線段首尾相接形成的封閉回路。結(jié)構(gòu)R可歸納為式6所述。

其中，區(qū)域的邊的權(quán)值wht取向量的模長表示，則區(qū)域邊界R的每個頂點均有兩條邊相連，頂點的度deg(vi)=2。

如果區(qū)域V中的端點矢量 按回路中引用該矢量的先后次序排列，則式6所示的區(qū)域邊界R可用式7所述的格式來表達。

1.2.2 區(qū)域的k－SEGMENT迭代模式

區(qū)域分割就是應(yīng)用模式g(D，k)將區(qū)域D劃分成k（k＞1）個不相交的子集Di，i=1，...，k的過程。

式8的遞歸表示如下：

D(i)為區(qū)域第i次分割后的子區(qū)域集，是對區(qū)域第k-1次k分后的區(qū)域集D(k-1)的第1子區(qū)域集。

本文將以k=2為例分析區(qū)域分割的原理與算法。

1.3 圖元構(gòu)成

圖元有陣列圖元A（亦稱像素圖元）、矢量圖元Fu兩類。陣列圖元通常以圖像形式集中存儲，以Am×n表示之。矢量圖元Fu是根據(jù)圖元的幾何特性來繪制圖元，由點、線、區(qū)域等構(gòu)圖要素按一定順序構(gòu)成。矢量圖元的特點是圖元縮放處理后不失真，圖元占用空間較小。

矢量圖元是由構(gòu)圖要素v組成的n元組，用式9所示。

構(gòu)圖要素vi（簡稱圖素）指圖元構(gòu)成的基本元素，通常是一個有窮元素ej的集合。ej可用式7中的四元組(op，d，a，pr)來表示，其中op－矢量類型，可以點、線（直線、曲線等），d－矢量數(shù)據(jù)，a－矢量的附加屬性數(shù)據(jù)，如顏色、區(qū)域處理（透明、不透明等），pr－優(yōu)先級等。

矢量圖元依圖元構(gòu)成情況分為單一函數(shù)圖元、復(fù)合矢量圖元兩類。

單一函數(shù)圖元指用一個函數(shù)即可完整描述的圖元，如直線段、圓和橢圓、各類曲線（二次曲線、正葉線、星茫線、多邊形等）。復(fù)合圖元指由點、線、區(qū)域等圖素的綜合。

2 分形圖案構(gòu)圖模型應(yīng)用

2.1 再論IFS迭代分形構(gòu)圖碼w

在仿射變換應(yīng)用的等概率假設(shè)下，IFS分形構(gòu)圖碼W的元素w=(a，b，c，d，e，f)。

設(shè)圖元中心為（0，0），則w還可用矩陣表示：

式中s1，s2為圖元的縮放因子，角度θ為圖元的旋轉(zhuǎn)角度，角度θ為正，表示逆時針方向旋轉(zhuǎn)，反之順時針旋轉(zhuǎn)。tx，ty為圖元的平移距離。

生成分形圖案時，碼元素的分布規(guī)律，稱為軌道。例如圖1所示的分形圖案，碼元素平均分布在一個圓周上，其軌道為圓周（且圓周半徑r=1）。

碼元數(shù)量Lt(W)=7，亦即將圓周七等分，相鄰碼元的迭代計算中心與圖案中心點（0，0）的圓心角夾角 =360/7=51.42°。分形碼元wi(i=1，…，7)的處理中心為則有

如果碼元wi(i=1，…，7)的局部坐標系的x軸通過圖案中心（0，0），則圖元在wi(i=1，…，7)處的旋轉(zhuǎn)角度 。

圖1所示的分形圖案的碼元集W為(見表1)。

圖1 分形圖案Fig.1 Pattren fractal

表1 分形圖案碼元集WTab.1 Pattern fractal element-code set

2.2 圖案區(qū)域2—SEGMENT迭代分割

2.2.1 區(qū)域的2－SEGMENT模式g(D，2)過程

在區(qū)域2分分割法生成圖案過程中，g(D，2)亦可寫成g(R， 2)，g(R， 2)的原理是：

(1）在區(qū)域D的邊界R（如式11）中，任取兩邊，分別為e1＝(vi，vi+1)，e2=(vj，vj+1)；

(2）在邊e1，e2中各取一點，分別記為p1，p2，構(gòu)造邊e=(p1，p2)加入R，可將R分割為兩個區(qū)域R1，R2，且

邊（vi，vj）上的點p可采用來計算，其中k取值須滿足條件0≤k≤1，可采用黃金分割法或隨機法確定它的值。在黃金分割法下，k=0.618。在隨機取值法下，k=rnd(1)為0～1間的隨機數(shù)。

2.2.2 區(qū)域的2－SEGMENT迭代

基于區(qū)域2－SEGMENT模式的區(qū)域迭代分割過程，可將式8簡化為式10。

式10表明，從圖案的初始區(qū)域開始，每次以前一次調(diào)用R(k-1)=g(Rk-2，2)的執(zhí)行結(jié)果為基礎(chǔ)，繼續(xù)調(diào)用R(k)=g(Rk-1，2)來對Rk-1中的子區(qū)域進行2－SEGMENT分割，如此不斷重復(fù)迭代，直到達到規(guī)定的結(jié)果為止，即可完成區(qū)域的2－SEGMENT分割，最后再對分割產(chǎn)生的子區(qū)域進行構(gòu)圖的最終處理即可得到分形圖案。

式10的遞歸形式表示如下（見式11）。

3 基于分形規(guī)則的圖案構(gòu)圖算法

應(yīng)用本文提及的構(gòu)圖模型來進行圖案構(gòu)圖時，需指定構(gòu)圖的類型ptype（指分形迭代構(gòu)圖or 區(qū)域迭代構(gòu)圖）、圖元U、初始圖案拓撲結(jié)構(gòu)S（值為W或者D）及常數(shù)k四個參數(shù)。應(yīng)用模型構(gòu)圖的算法描述如下：

1)圖案拓撲結(jié)構(gòu)生成模式選擇生成，通過ptype的值來選擇。

如果ptype=分形迭代構(gòu)圖，則圖案拓撲結(jié)構(gòu)C＝f(S， k)；

否則為區(qū)域迭代構(gòu)圖模式，C＝g(S， k)；

2) for each e in C do begin

p← h(U，e)；//h(U，e)應(yīng)用規(guī)則e對圖元U進行處理

P←P∪{p}；

end for；

3)調(diào)用ShowPattern(P) 顯示圖案P，結(jié)束。

4 算法生成的圖案

5 分形圖案的連續(xù)性

5.1 分形迭代法生成圖案的連續(xù)性

陶瓷圖案分形迭代構(gòu)圖時，圖案的拓撲結(jié)構(gòu)是由圖元仿射變換集W和分形迭模式f兩者共同表達。其中，W側(cè)重表述了一次迭代過程中圖元的變換構(gòu)圖規(guī)則，分形迭代模式f描述表達了圖案的迭代運算規(guī)則。W的元素具有確定性、多變性的特點。確定性是指W的元素一旦確定，即便選擇不同的圖元進行構(gòu)圖，算法生成的圖案仍擁有相同的結(jié)構(gòu)，如圖2中a～b所示的圖案，多變性是指W中的元素個數(shù)、它的每個碼元的值都是可變的，上述可變因素的任何變化，均可生成不同結(jié)構(gòu)的圖案（如h所示的圖案，具有明顯的平面特征，適用于建筑陶瓷行業(yè)產(chǎn)品尤其是瓷磚的裝飾。該方法生成的圖案應(yīng)用于建陶瓷磚生產(chǎn)中，產(chǎn)品的二方、四方連續(xù)要求也是需要考慮的問題。區(qū)域分割采用隨機插值的原理進行分割，其生成的圖案具有明顯的隨機性。對圖案的二方、四方連續(xù)的要求，可以通縮小圖案初始區(qū)域，應(yīng)用對稱原理將區(qū)域迭代分割產(chǎn)生的圖案對稱變換分布到整個圖案空間來滿足。

圖2 分形圖案示例Fig.2 Examples of fractal patterns

圖3 構(gòu)圖區(qū)域Fig.3 Pattern composition domain

圖案的二方連續(xù)有水平、垂直兩種連續(xù)方式，以水平二方連續(xù)為例，構(gòu)圖的初始區(qū)域為 ，區(qū)域涵蓋圖3所示區(qū)域劃分中的子區(qū)域①和④。

圖4 具有連續(xù)特征的區(qū)域迭代分割圖案Fig.4 Continuous pattern generated via iterative domain decomposition

對子區(qū)域②和③中的每個點q，可用下式建立其與子區(qū)域①和④中的點p的映射：

同理，對圖案四方連續(xù)可用圖案中心對稱處理生成，可使初始區(qū)域為 ，區(qū)域為圖3所示區(qū)域劃分中的子區(qū)域①。區(qū)域②、③和④的點與區(qū)域①的點的映射關(guān)系如下：

區(qū)域②與區(qū)域1的映射：

區(qū)域③與區(qū)域1的映射：

區(qū)域④與區(qū)域1的映射：

應(yīng)用上述改進后的區(qū)域迭代算法，生成的符合連續(xù)要求的圖案如圖4所示。

6 結(jié) 論

本文提出的基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型，首次將分形技術(shù)應(yīng)用于圖案拓撲結(jié)構(gòu)的描述與表達。應(yīng)用本模型進行陶瓷圖案構(gòu)圖時，模型使用分形模型（或分形規(guī)則）來描述圖案的拓撲結(jié)構(gòu)，選用不同的圖元可生成結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變、具有整體與局部自相似特征的陶瓷圖案。本文的研究成果是對行業(yè)應(yīng)用中的圖案構(gòu)圖方法的拓展。基于本文方法生成的圖案可用于日用及建筑陶瓷產(chǎn)品裝飾，研究的理論及算法具有理論及實踐意義。本文的研究成果已成功應(yīng)用于陶瓷圖案生成系統(tǒng)，文中的分形圖案均由本系統(tǒng)生成。

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Research and Application of the Ceramic Pattern Composition Model Based on the Fractal Rule

ZHANG Yilai PENG Yongkang
(Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen 333001, Jiangxi, China)

A fractal is a self-similar pattern with infnite detail. This paper proposes a ceramic pattern composition model based on the fractal rule. It mainly discusses the application of iterated function system and randomized interpolation fractal to the representation of a pattern’s topology. An initial visualization of a ceramic pattern topology is realized via fractal iteration and iterative domain decomposition and the iterative mode f is obtained. The construction of the model with its pattern composition algorithms is described in detail, and is fnally applied to the practical generation of ceramic patterns.

fractal; ceramic pattern; iteration; pattern composition model

ZHANG Yilai(1965-),male,Ph.D.,Professor.

TQ174.79

A

1000-2278(2014)01-0071-07

2013-10-20。

2013-10-28。

國家科技支撐計劃資助項目(編號:2012BAH25F02)；國家自然科學(xué)基金資助項目(編號:61262038)；國家科技支撐計劃資助項目(編號:2013BAF02B01)

章義來(1965-),男，博士，教授。

Received date:2013-10-20. Revised date:2013-10-28.

E-mail:jdzzyl@163.com