橢圓內的常見結論講座

李晶

我們都知道，橢圓與相關問題一直是圓錐曲線中的重點和難點，特別是對于橢圓的研究與學習的情況影響了下面雙曲線、拋物線的學習，而且在近幾年的高考大綱中也提升了橢圓的地位。我在橢圓的定義及標準方程的教學過程中，總結出橢圓里常用的結論，今天與各位做一下交流，我們拿焦點在x軸的橢圓為例，橢圓的標準方程為：（焦點在y軸上時可以仿此推導相應結論）。設橢圓上點P，左焦點F、右焦點F，∠F1PF2=θ

一、橢圓的幾何性質

我們先從橢圓的本身來分析，從橢圓的幾何性質來說主要是長短軸、頂點、離心率、準線方程。特別是離心率是高考的熱點，而如何求離心率的問題也一直是難點，其實只要抓住a與c，利用所給的條件來建立它們之間的關系式，問題就會迎仞而解了。

1.橢圓的長軸長2a，短軸長2b，焦距2c

2.橢圓的頂點坐標焦點坐標

3.橢圓的離心率

4.橢圓的a、b與e的關系

5.橢圓的準線方程

6.橢圓的x、y的取值范圍-a≤x≤a，-b≤y≤b

二、點M（x1，y1）和橢圓的位置關系

我們知道點與圓的位置關系可以直接帶入圓的標準方程中，比較與圓心之間的距離與半徑的大小，那么橢圓呢？要判斷的話只能借助于橢圓的定義式推到，經過推到我們得到了下面的結論，可以發現就是將點帶入橢圓標準方程中比較與1的大小。

1.點M（x1，y1）在橢圓內<1

2.點M（x1，y1）在橢圓上=1

3.點M（x1，y1）在橢圓外>1

這樣如果出現過定點的直線與橢圓一定相交，那就隱含著定點一定在橢圓上或橢圓內部，那么就可以直接帶入求解了。

三、過點作橢圓切線的問題

過一定點作橢圓的切線并求切線方程問題，學生一看見就要設斜率來求解，對于選擇和填空題來說這種計算量較大還容易出現問題，經過總結我們如果用以下的結論就會更便捷。

1.若點M（x1，y1）在橢圓上，則過點M（x1，y1）可作橢圓的一條切線，其方程為（求此方程利用判別式等于零或利用導數）

2.若點M（x1，y1）在橢圓外，則過點M（x1，y1）可作橢圓的二條切線，這兩條切線有兩個切點，過這兩個切點的直線方程為

3.若點M（x1，y1）在橢圓內，則過點M（x1，y1）可作橢圓的任意一條弦，過這條弦的兩個端點引橢圓的兩條切線，如果這兩條切線相交，則交點一定在方程表示的直線上。

四、直線與橢圓位置關系

將直線方程與橢圓聯立，消去y，得關于x得一元二次方程，可利用此方程的判別式以及韋達定理，解得：x1+x2與x1·x2

1.若此方程判別式小于零，則此直線與橢圓相離

2.若此方程判別式為零，則此直線與橢圓相切

3.若此方程判別式大于零，則此直線與橢圓相交。在這種情況下，可解得橢圓弦長

五、相關性質

1.焦點到相應準線距離叫焦參數，用p表示，

2.橢圓上點P（x0，y0）到焦點的距離叫焦半徑，焦點F、F，則|PF1|=||，| PF2|=||（焦半徑公式）

3.過焦點弦長公式（其中a為弦與長軸夾角，用極坐標推導）

4.焦點三角形面積公式=（后者用海倫公式推導）

5.共焦點橢圓方程

共離心率橢圓方程

共x軸頂點橢圓方程

6.橢圓面積公式πab（可以由橢圓是由圓拉伸得到的進行解釋，相關知識：面積攝影定理）

7.以長軸為直徑的圓與以焦半徑為直徑的圓的位置關系為相內切。

8.焦點三角形的旁切圓（三個中有兩個）與橢圓相切與長軸端點。

9.點A在橢圓內，則的最小值為點A到與F1對應的準線距離。

10.點A在橢圓內，則的最小值為，最大值為。

11.點N（n，0）在長軸上，點P到N的距離的最小值不在長軸端點取到，則n的取值范圍為（-ec，ec）

通過總結這些性質我們不僅對于橢圓的認識加深了，而且對于圓錐曲線的把握也更加準確。在解決圓錐曲線問題上會做到事半功倍。